VARIATIONS DUNE FONCTION
On a représenté ci-dessous dans un repère la fonction définie par ( ) = 5 ? . Lorsqu'on se promène sur la courbe en allant de la gauche vers la
FONCTIONS POLYNÔMES DE DEGRÉ 2
On considère la fonction définie sur ? par ( ) = 2( ? 2)( + 4). Déterminer : a) l'intersection de la courbe de avec l'axe des abscisses.
LES FONCTIONS DE REFERENCE
I. Fonctions affines et fonctions linéaires. 1. Définitions. Une fonction affine f est définie sur ? par ( ). f x ax b. = + où a et b sont deux nombres.
FONCTIONS DE REFERENCE
Définitions : Soit f une fonction définie sur un intervalle I. La courbe de la fonction carré est appelée une parabole de sommet O.
NOMBRE DERIVÉ
1) Soit la fonction f définie sur ??;0 Soit A et B deux points de la courbe représentative de f d'abscisses respectives a et.
DÉRIVATION
L est appelé le nombre dérivé de f en a. 2) Tangente à une courbe. Soit une fonction f définie sur un intervalle I et dérivable en un nombre réel a.
de la 1`ere S `a la TS. Chapitre 4 : Études de fonctions Exercice n?1
4. Dresser le tableau de variations de f. 5. Tracer la courbe représentative de f. Corrigé. Exercice n?2: Soit la fonction définie sur R ? {1} par f(x) =.
LES FONCTIONS DE RÉFÉRENCE
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. LES FONCTIONS DE RÉFÉRENCE Définition : Une fonction dont la courbe est symétrique.
CONVEXITÉ
La fonction f est convexe sur I si sur l'intervalle I
Les fonctions
5x-1 construit la courbe représentative de la fonction mais ne définit pas la La liste des fonctions mathématiques prédéfinies dans GeoGebra est ...
1Définir une fonction2Des fonctions particulières3Fonctions définies par contraintes4Extrema locaux d"une fonction5Zéros d"une fonction6Dérivées et primitives7Courbe paramétrée et courbe implicite8Manipulations géométriques sur les courbes9Fonctions et séquences10L"inspecteur de fonctionQR Codehttp://url.univ-irem.fr/ft33GeoGebrase comporte comme un excellent grapheur : de nombreuses manipulations sur les fonctions et
leur courbe représentative sont rendues possibles par le logiciel.Nous n"aborderons pas, dans cette fiche, les manipulations liées à la vueGraphique(modification du repère,
graduation des axes, affichage et paramétrage de la grille, ...). Celles-ci sont décrites dans la fiche techniqueLa vue
graphique, page 425.1Définir une fonction Pour définir une fonction et obtenir sa courbe représentative dansGeoGebra:Positionner le curseur dans le champ de sai-
sie. I nscrire,pa rex emple: f(x)=2x2+5x-1.V alideren app uyantsur la t ouche.MéthodeLes fonctions483
Une fonction peut aussi être définie depuis la vueCalcul formelà condition d"utiliser l"opérateur d"affecta-
tion ":=» à la place de "=» :O uvrirla vu eCalcul formel.P ositionnerl ec urseursur u nel ignevi erge.
I nscrire,pa rexemp le: f(x):=x^3-3x^2+1.
V alideren app uyantsu rla t ouche.Méthode
Remarque :
Par défaut, dansGeoGebra, toute fonction est définie sur le plus grand domaine de défini- tion possible. Dans le champ de saisie, on peut se contenter d"inscrire l"expression algébrique d"une fonction sans la nommer.GeoGebraattribue alors automatiquement un nom à la fonction dès la validation après appui sur la touche. Les fonctions ainsi définies sont considérées comme des objets libres parGeoGebradans le sens où l"utilisateur a la possibilité de déplacer librement la courbe dans le vueGra- phique à l"aide de l"outil. L"expression algébrique de la fonction est alors modifiée en conséquence dans la vueAlgèbre. GeoGebradifférencie une fonction de sa courbe représentative. Par exemple, saisiry=2x2+ 5 x- 1 construit la courbe représentative de la fonction, mais ne définit pas la fonction (le logiciel considère que l"utilisateur a voulu construire une parabole et non une fonction). La liste des fonctions mathématiques prédéfinies dansGeoGebraest disponible en annexe, pour définir une nouvelle fonction. Il est bien entendu possible de créer des fonctions dont l"expression dépend d"un ou plusieurs paramètres et dont les valeurs sont pilotables par des curseurs. Une fonction peut aussi être définie depuis la vueAnalyse de donnéeslors de l"utilisation de l"outilStatistiquesàdeuxvariables: en effet, lorsque l"on copie dans la vueGraphique le modèle d"ajustement associé à un nuage de points,GeoGebracrée une fonction et affiche sa courbe représentative.484 commission inter T REM CE2Des fonctions particulièresGeoGebrapermet de définir des fonctions restreintes à un intervalle à l"aide de la commandeSi(voir la fiche
techniqueLes valeurs booléennes, page 593 pour la syntaxe de cette commande).Pour définir la fonctionf:x7-→x2sur [-1;3] :P ositionnerl ec urseurda nsle ch ampd es aisie.
I nscrire: f(x)=Si[-1<=x<=3,x2].V alideren app uyantsu rla t ouche.MéthodeUne syntaxe alternative existe et permet d"éviter de recourir à l"utilisation de la commandeSi:P ositionnerl ec urseurd ansle ch ampde saisi e.
I nscrire: f(x)=x2, -1<=x<=3.
L"utilisation de la virgule permet de séparer l"ex- pression algébrique de la fonction de son domaine de définition.V alideren app uyantsur la t ouche.Méthode
Autres exemples :
✎f(x)=Si[x>3,x2]définitf:x7-→x2sur ]3;+∞[. ✎f(x)=3x-5, -2Exemple(s)Remarque :
Les fonctions définies à l"aide de la commandeSisont consistantes avec les ensembles de définitions de leurs fonctions associées,x7-→f(x+k) en particulier. La tentative de calcul de l"image d"un nombre par une fonction, hors du domaine de définition de celle-ci, n"engendre pas d"erreur mais aboutit à la création d"une variable numérique non définie. Les fonctions définies à l"aide de la commandeSisont des objets libres : le déplacement de la courbe représentative dans la vueGraphiqueentraîne la redéfinition algébrique de la fonction (l"amplitude de l"intervalle de définition reste la même).Les fonctions485La commandeFonction[ fonction Afin d"éviter d"imbriquer des commandesSi, on peut utiliser une syntaxe spécifique aux fonctions de la Le dernier paramètre (optionnel) sur chaque intervalle puis une fonction égale à leur somme.f_1(x)=Si[x<3,2x+1]f_2(x)=Si[3<=x<=10,-x+10]f_3(x)=Si[x>10,(x-10)2]f(x)=f_1(x)+f_2(x)+f_3(x) fonction à partir d"une autre et qui ne prend que les valeurs positives de cette dernière. Sifest une fonction donnée, on obtient la fonctiongtelle queg(x)=f(x) lorsquef(x)⩾0 en écrivant : De la même façon, il est possible de mettre en valeur la partie d"une courbe située au-dessus Placer un point libre sur la représentation graphique d"une fonction définie par morceaux à l"aide de la commandeSipeut s"avérer délicat dans la mesure oùGeoGebrapermet de déplacer le point hors du domaine de définition de la fonction. Celui-ci devient alors non défini (et, par conséquent, est rendu invisible), et, au cas où l"utilisateur relâche le bouton gauche de la souris après déplacement du point hors de la courbe représentative de la fonction, la seule possibilité pour le rendre de nouveau visible consiste à demander le recalcul des objets de la Pour contourner le problème et faire en sorte qu"un point libre, placé sur la représentation graphique d"une fonctionf, soit "bloqué» aux extrémités de la courbe représentative def, on peut recourir aux scripts et employer inscrire, dans le champ de saisie :xmin=-2, puis,xmax=3.P ourc réerla f onctionf, inscrire, dans le champ de saisie :f(x)=Si[xmin<=x<=xmax,x2].À l "aidede l "outil, placer un pointMsur la courbe représentative de la fonctionf. n"est pas affecté par le script, sinon, il se voit contraint de prendre la position du pointN.Méthode Il est facile de composer des fonctions avecGeoGebra. Par exemple, pour obtenir la fonctionh=f◦gà partir de deux fonctionsfetgpréalablement définies :P ositionnerl ec urseurda nsle ch ampd es aisie. GeoGebrapermet de définir des fonctions de deux variables.P ositionnerl ec urseurd ansle ch ampde saisi e. La surface représentative d"une fonction à deux variables n"apparaît que dans la vueGraphique courbe représentative passe par les points d"une liste bouton droit de la souris pour faire apparaître le menu contextuel.D ansl emen uc ontextuel,ch oisirCréer·Liste de points. de type "fonction à main levée». Les deux premières valeurs de la liste définissent les bornes de l"ensemble de définition de la fonction et les autres valeurs correspondent aux images prises par la fonction lorsque l"ensemble de définition est divisé à intervalles réguliers.P ositionnerl ec urseurda nsle ch ampd es aisie. certaines manipulations (calcul d"images, inspecteur de fonction, calcul d"intégrales).Cli quersur l "icône. GeoGebrapermet de déterminer (numériquement) les éventuels extrema locaux d"une fonction préalable- contraire, seuls les extrema locaux situés entre les bornes inférieures et supérieures de laRemarque :
GeoGebra"traduit» automatiquement une commandeFonctionen une commandeSi. L esobjets créé sav ecla comma ndeFonctionne sont pas des objets libres. GeoGebrapermet de définir des fonctions par morceaux en utilisant la commandeSiet en imbriquant éventuellement plusieurs de ces commandes.
Pour définir la fonctionf:x7-→
2x+1 Six<3 -x+10 Si 3⩽x⩽10 (x-10)2Six>10:P ositionnerl ec urseurda nsle ch ampd es aisie. I nscrire:
f(x)=Si[x<3,2x+1,Si[3<=x<=10,-x+10,(x-10)2]].V alideren app uyantsu rla t ouche.Méthode Exemple(s)486
commission inter T REM CE ✎Si[x<=0,x,x2]définit la fonction x7-→(xSix⩽0 x 2Six>0
✎Si[-1Remarque :
La commandeSipropose une syntaxe très souple, et il est, par exemple, simple de définir une Les fonctions
487
D ansl ec hampde saisie ,insc rire:
N=PointPlusProche[{(xmin, f(xmin)),(xmax, f(xmax))},M] Cette commande permet de créer un pointNdont la position varie entre l"une ou l"autre des extrémités de la courbe, en fonction de la position du pointM. C acherl ep ointN.
P ourb loquerle poi ntMaux extrémités de la courbe : o uvrirle pan neaudes p ropriétésdu p ointM; dans l "ongletScript, ongletPar actualisation, inscrire :SoitValeur[M,Si[xmin<=x(M)<=xmax,M,N]] v alideren cli quantsu rle bou tonOKOK. De cette manière, lorsque l"abscisse deM,x(M), est comprise entrexminetxmax, le pointM Ouvrir le fichier exemple
488
commission inter T REM CE Remarque :
2+x+1.3Fonctions définies par contraintes
La fonctionPolynôme[Inscrire :Polynôme[{(1, -1), (2,3 ), (3,4 ), (
4 7 5 2 ].V alideren app uyantsur la t ouche.Méthode Les fonctions489
On peut également saisir ces points dans le tableur : U tiliserl acomman deAffichage·Tableurpour afficher la vueTableur. S aisirl esab scissesdan su necolonn e.
S aisirl esor donnéesd ansla c olonneimmédiatemen tà s adr oite. Sélectionner la plage de cellules contenant la liste des valeurs et effectuer un clic avec le Inscrire, par exemple :f(x)=Fonction[{-2,2,0,1,
0 1 0 1 Valider en appuyant sur la touchepour créer
[-2;2].Méthode 490
commission inter T REM CE 4Extrema locaux d"une fonction
Cliq uers url "icône.
Sélectionner la courbe représentative de la
fonctionf. GeoGebracrée alors de nouveaux points sur
la courbe représentative de la fonctionf dont les abscisses sont des extrema locaux de la fonctionf.Méthode Remarque :
Si la fonction est polynomiale,GeoGebradétermine tous les extrema locaux. Dans le cas
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