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Article REPERES algèbre groupe SESAMES

1 Utilisation des programmes de calcul pour introduire l'algèbre au collège Christophe Alves, Lycée Saint Exupéry , Lyon 4

Vincent Duval , Collège F. Truffaut, Lyon 1

Alexandra Goislard, Collège J. Duclos, Vaulx en Velin Hélène Kuhman, Collège Lamartine, Villeurbanne Sylvie Martin Dametto Centre Alain Savary, IFE, ENS lyon Claire Piolti Lamorthe, Collège Ampère, Lyon 2

Sophie Roubin, Collège Ampère, Lyon 2

Sylvie Coppé

IUFM de Lyon, Université Lyon 1

UMR ICAR (Université Lyon 2, CNRS, ENS Lyon)

Dans cet article, nous souhaitons rendre compte d'une partie du travail que nous faisons dans le cadre d'une recherche collaborative intitulée SESAMES (Situations d'Enseignement Scientifique :

Activités de Modélisation, d'Evaluation, de Simulation) qui a pour but la production collaborative

(par des enseignants et des chercheurs, chacun apportant une expertise dans son domaine) de

ressources pour les enseignants et les formateurs de mathématiques favorisant la mise en activité

des élèves et leur prise de responsabilité vis-à-vis des savoirs enseignés. Notre thème est celui de

l'enseignement de l'algèbre au collège. Ces documents produits sont disponibles sur le site

http://pegame.ens-lyon.fr/. Nous avons également travaillé dans le cadre du projet européen S-

TEAM (Science Teacher Education Advanced Methods) qui vise à étudier l'évolution des pratiques

des enseignants vers la mise en place des séances qui permettent aux élèves d'être plus actifs dans

leurs apprentissages notamment en utilisant les démarches d'investigation ou des dispositifs

proches.

Le travail fait dans le groupe consiste à élaborer et à diffuser des documents pour les professeurs

et les formateurs de mathématiques. Les documents proposés sont constitués d'une part d'activités

ou de séances/séquences de classe, conformes aux instructions officielles actuelles à la fois en

termes de savoirs enseignés et de démarches pédagogiques (rubrique "Enseigner" du site). Ils sont

destinés à aider les professeurs dans leur pratique quotidienne pour qu'ils élaborent des séances de

classe dans lesquelles l'activité mathématique des élèves et leur responsabilité face aux

apprentissages mathématiques sont favorisées. Nous décrivons également la gestion de classe

associée qui doit permettre d'une part pour les élèves, d'avoir des temps de recherche,

d'expérimentation, d'argumentation et de mise en commun et d'autre part, pour le professeur,

d'organiser des institutionnalisations qui sont en lien avec ce qui a été fait. En d'autres termes, nous

travaillons particulièrement sur la dialectique dévolution/institutionnalisation.

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D'autres documents (rubrique " Se former » du site) ont pour objectif d'aider à l'appropriation des

premiers en explicitant et justifiant les choix faits ou en donnant à voir des productions d'élèves.

Toutes ces ressources prennent en compte des résultats de recherche portant sur les conceptions des

élèves, des analyses épistémologiques sur le savoir, des hypothèses d'apprentissage, des hypothèses

sur le langage et sur les représentations symboliques. Dans cet article, nous souhaitons montrer des utilisations des programmes de calcul pour

introduire et travailler des éléments relatifs à l'algèbre. Tout d'abord précisons ce que nous

entendons par introduction de l'algèbre. Pour cela, nous reprenons une citation de Vergnaud, 1989 qui pose le problème : Par "introduction à l'algèbre", on peut entendre plusieurs choses distinctes : - mise en équation de problèmes arithmétiques simples et résolution par l'algèbre ; - règles élémentaires de traitement et de transformation des équations ; - première explicitation des concepts de fonction et de variable ;

- mise en évidence de certaines propriétés structurales des ensembles de nombres, notamment

l'ensemble des relatifs et de l'ensemble des rationnels ; - etc...

Il est raisonnable de penser que c'est un savant équilibre de ces différentes composantes conceptuelles et

des situations qui leur donnent du sens qui peut permettre aux élèves de comprendre en profondeur la

fonction, la structure et le fonctionnement du raisonnement algébrique. Mais quel équilibre ? (Vergnaud,

1989, op.cite)

Bednarz, Kieran et Lee, 1996 repèrent quatre entrées pour l'introduction et le développement de

l'algèbre dans le secondaire : - une perspective de généralisation (par la construction de formules) - une perspective de résolution de problèmes (par les équations) - une perspective de modélisation - une perspective fonctionnelle.

On voit bien ici que d'une part, l'entrée dans l'algèbre ne se limite pas au travail sur les techniques

de calcul algébrique et à la mise en équation, et que d'autre part, l'algèbre est aussi un outil pour

résoudre des problèmes qui permettront de donner du sens aux notions et aux objets rencontrés. On

retrouve là la dialectique outil/objet au sens de Douady, 1986. A. Origines de ce travail et du groupe de recherche

Comme nous l'avons dit, à l'origine de ce travail, il y avait une volonté d'élaborer et de diffuser

des activités pour la classe permettant aux élèves d'être actifs dans la construction de leurs

connaissances. Nous avons choisi l'algèbre car c'est un thème enseigné tout au long du collège, qui

conditionne les apprentissages futurs, notamment celui de l'analyse, mais dont l'enseignement nous

semble trop souvent centré sur les aspects techniques (pour preuve, dans les manuels, une majorité

d'exercices portant sur développer, réduire ou factoriser des expressions littérales). Nous avions

également connaissance de certaines difficultés des élèves et du fait que les professeurs de lycée se

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plaignent car les élèves ne sont pas capables d'introduire une lettre dans un problème si elle n'est

pas explicitement demandée.

Il nous a donc fallu trouver des éléments d'explication de ces premiers constats. C'est ce que nous

allons faire dans la partie suivante. Notre étude s'appuie principalement sur l'analyse des

programmes de 2005 et 2008 et des manuels. Pour les programmes, nous avons déterminé la nature

et la place des notions algébriques. Pour les manuels, nous avons étudié principalement les activités

d'introduction de la lettre ainsi que la place des éléments théoriques.

1. Un émiétement de l'algèbre dans les programmes du collège

Chevallard, 1985, en analysant l'évolution des programmes jusqu'à ceux de 1978 (contre réforme

des mathématiques modernes) a montré que l'algèbre en tant que secteur a disparu au profit du

numérique.

Ce qui disparaît, en fait, à l'exception notable - répétons-le - des problèmes pratiques ce n'est pas

l'arithmétique (même si le mot lui-même ne renvoie plus qu'à une des parties du corpus arithmétique

traditionnel), mais la dialectique de l'arithmétique et de l'algèbre. Or cet affaissement d'une structuration

traditionnelle va moins peser sur la composante arithmétique que sur la composante algébrique des

mathématiques enseignées au collège : c'est l'algèbre (entendue au sens traditonnel de ce mot à ce niveau

des études mathématiques) qui va se trouver le plus violemment mise en cause par les changements

opérés. (Chevallard, op.cite) C'est encore le cas actuellement et dans des articles plus récents, Chevallard et Bosch, 2012 parlent de " la péjoration culturelle de l'algèbre en tant qu'oeuvre ».

Ainsi actuellement, rappelons que pour l'ensemble du collège, les programmes sont découpés en

quatre secteurs et qu'aucun d'entre eux n'est intitulé " algèbre ».

1. Organisation et gestion de données. Fonctions

2. Nombres et calculs

3. Géométrie

4. Grandeurs et mesures. Ce dernier secteur est apparu dans le programme de 2005.

Notons aussi que le terme " calcul littéral » n'apparaît qu'en classe de 4ème ; on peut donc se

demander quel est le statut des calculs avec des lettres qui sont faits en 5ème.

Commençons par déterminer où se trouve ce qui relève de l'algèbre élémentaire et, rapidement,

quels sont les contenus classe par classe. Tout ce qui concerne la notion de fonction et donc de

variable est dans le secteur 1, ce qui est indiqué explicitement dans le titre (ce qui ne veut pas dire

qu'on ne va pas utiliser les fonctions dans les autres domaines).

Les formules et leur utilisation sont mentionnées dans la dernière partie " Grandeurs et

mesures ». Par exemple, en classe de 6ème, on trouve une injonction à introduire des écritures

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littérales à partir des formules " Le travail sur les périmètres permet aussi une initiation aux

écritures littérales ». Ceci montre que les auteurs des programmes envisagent bien une entrée

progressive dans l'algèbre depuis le début du collège voire de l'école primaire puisque les formules

y ont déjà été rencontrées.

Depuis 2005, en classe de 5ème, les formules de distributivité simple sont dans la partie 2 alors que

l'on trouve des injonctions à utiliser les expressions littérales dans la partie 1 " Utiliser/produire

une expression littérale » et dans la dernière " De nombreux thèmes du programme (grandeurs et

mesures) conduisent à utiliser des expressions littérales (formules) ». Le propos est donc plus précis

qu'en classe de 6ème puisqu'au delà de l'injonction, il y a une indication d'un type de tâches à

réaliser sans que la finalité soit vraiment précisée (on ne sait pas pourquoi on produit une

expression littérale, ni dans quels cas on pourrait l'utiliser). En classe de 4ème, on indique qu'il faut

" savoir choisir l'écriture appropriée d'une ... expression littérale suivant la situation ». Enfin,

dans la partie 2, (Calcul numérique), on introduit la notion de programme de calcul mais sur du

numérique. On peut certainement voir, là encore, une passerelle vers une activité algébrique mais

pourquoi seulement sur du numérique ?

En classe de 4ème, nouvelle précision de ce qui est désigné par des " axes » dont le dernier a été

introduit dans le programme de 2008 : Le travail proposé s'articule autour de trois axes : - utilisation d'expressions littérales donnant lieu à des calculs numériques ;

- utilisation du calcul littéral pour la mise en équation et la résolution de problèmes divers ;

- utilisation du calcul littéral pour prouver un résultat général (en particulier en arithmétique).

(BO, 2008)

Depuis 95, en classe de 5ème le programme donne explicitement le type de tâches : " Tester si une

égalité comportant un ou deux nombres indéterminés est vraie lorsqu'on leur attribue des valeurs

numériques. » mais, ceci dans le cadre des équations alors qu'il pourrait aussi être mis en relation

avec le calcul littéral. On peut penser que les contrôles de l'équivalence des expressions ne seront

pas ou peu encouragés car le type de tâches " tester une égalité » reste isolé.

Tout ceci nous amène à une première conclusion : les notions algébriques sont disséminées dans les

différents secteurs du programme et il y a un risque que l'on perde la cohérence de l'ensemble des

tâches algébriques et de leur finalité. Dans ce cas, on risque d'avoir des organisations

mathématiques locales avec des types de tâches isolées et sans finalité.

Un autre point est le découpage dans le temps. Par exemple, pour le calcul littéral, en 5ème et 4ème on

met en avant les types de tâches de développement (soit avec des expressions du type k(a+b) soit

(a+b)(c+d)), puis en classe de 3ème, on introduit les factorisations d'expressions littérales. On

constate donc qu'il y a un découpage dans le temps entre certaines notions et certains types de

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tâches. Or, il faut bien noter que lorsqu'on travaille sur les expressions littérales (par exemple dans

les types de tâches développer, réduire ou factoriser) on utilise la propriété de distributivité. Par

exemple, quand on passe de l'écriture de 3x +5x à 8x, on le justifie en factorisant par x. Donc la

technique associée à ce type de tâches est bien de factoriser par x et la propriété de distributivité en

est un élément technologique.

Si on comprend bien la volonté de progressivité dans les apprentissages, on peut cependant penser

que ce découpage entre les différentes années risque d'avoir une influence sur les organisations

mathématiques (au sens de Chevallard, 1998, 1999) mises en place par les professeurs. On peut

penser que cela risque de provoquer un enseignement de l'algèbre élémentaire assez découpé, un

émiettement des notions, un rabattement sur des types de tâches techniques et une non visibilité des

éléments technologiques et donc, peut empêcher les élèves de voir la puissance de l'outil algébrique

ainsi que ses finalités, comme le soulignait déjà Chevallard, 1985, 1989.

Ceci est également montré dans des études portant sur les situation de classe et sur le professeur

comme dans les thèses de El Mouhayar, 2007 sur les phases de correction en algèbre, Coulange,

2000 sur les systèmes d'équations ou bien Lenfant, 2002 et Ben Nejma, 2009 sur les pratiques

d'enseignement en algèbre. Les conclusions vont dans le même sens. D'une part, les activités

proposées aux élèves portent le plus souvent sur les techniques algébriques ; il y a donc une

centration sur l'aspect objet de l'algèbre plutôt que sur l'aspect outil. D'autre part, les techniques ne

sont pas toujours justifiées par des éléments théoriques comme la propriété de distributivité de la

multiplication sur l'addition.

2. Introduire la lettre

Comme nous le disons plus haut, les élèves de 2nde (élèves de 15-16 ans) semblent avoir des

difficultés importantes pour mobiliser leurs connaissances algébriques pour résoudre des problèmes.

En particulier, il semble que les élèves des classes de 3ème (élèves de 14-15 ans) ou de 2nde ont du

mal à introduire une lettre dans un problème si on ne la leur donne pas (voir par exemple, Coulange,

2000). Ceci provient certainement du fait que, d'une part, l'aspect modélisation est peu mis en

avant actuellement lors de l'introduction de l'algèbre élémentaire et que, d'autre part, les types de

tâches portant sur l'aspect purement technique du calcul algébrique prennent le pas sur d'autres

types de tâches qui donneraient du sens à la pratique algébrique. Nous pensons donc que les notions

algébriques sont plutôt enseignées comme des objets que comme des outils, notamment de

modélisation mais pas seulement (repéré aussi par Grugeon, 1995).

Or, dans les manuels, les exercices proposés sont très guidés, ils imposent le plus souvent la

variable ou l'inconnue (" appelle x le ... ») et proposent de nombreuses questions intermédiaires

qui ne permettent pas de recherche personnelle et de prise d'initiatives.

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Cependant depuis plus de 30 ans (début de la contre réforme des mathématiques), les programmes

de collège et de lycée insistent sur la mise en activité des élèves comme condition à l'acquisition

des connaissances mathématiques. La résolution de problèmes a pris ainsi une place importante

dans les discours institutionnels, à la fois pour l'introduction des notions nouvelles et pour leur

réinvestissement. Plus récemment en 2005, la démarche d'investigation a été introduite dans les

programmes du collège pour les disciplines scientifiques. Celle-ci est présentée comme une

démarche d'enseignement basée sur la mise en questionnement et en activité des élèves, avec

cependant des différences épistémologiques suivant les disciplines : pour les mathématiques, on

insiste sur la résolution de problèmes et la validation par la démonstration. Tout ceci suppose des

changements importants dans les pratiques professionnelles des enseignants pour laisser davantage

de responsabilité aux élèves sur le savoir. Mais les pratiques se modifient très lentement parce que

les représentations du métier évoluent peu et parce que les outils à disposition des professeurs sont

encore peu satisfaisants. Les professeurs doivent en effet élaborer des activités motivantes,

ouvertes, qui constituent de vrais problèmes, et mettre en place une gestion de classe adaptée qui

permette aux élèves de prendre des responsabilités dans l'avancée du savoir, de pouvoir

expérimenter, argumenter.

On peut voir toutefois que les sujets du brevet des collègues ont un peu évolué dans ce sens en

proposant notamment des exercices comme celui-ci (Brevet de collèges 2012).

Exercice 1

Le dessin ci-dessous représente une figure composée d'un carré ABCD et d'un rectangle DEFG.

E est un point du segment [AD].

C est un point du segment [DG].

Dans cette figure la longueur AB peut varier mais on a toujours : AE = 15 cm et CG = 25 cm.

2. Peut-on trouver la longueur AB de sorte que l'aire du carré ABCD soit égale à l'aire du rectangle DEFG?

Si oui, calculer AB. Si non, expliquer pourquoi.

Si le travail n'est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche. Elle sera prise en compte dans la notation.

Mais les résultats restent encore faibles : la question 2 est réussie par seulement 13% des élèves et,

tout aussi important, 44% des élèves n'ont pas abordé la question.

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3. Passage arithmétique/algèbre

Le passage de l'arithmétique à l'algèbre est une question de recherche importante sur laquelle

portent plusieurs études questionnant l'articulation, en termes de ruptures et de continuités, entre les

deux comme l'indique Vergnaud, 1988 :

" L'algèbre constitue pour les élèves une rupture épistémologique importante avec l'arithmétique. Cette

rupture mérite une analyse détaillée, car beaucoup d'élèves n'entrent pas facilement dans le jeu des

manipulations symboliques ». (Vergnaud op.cite) Chevallard, 1985, 1989, 1990 ou Gascon, 1994 montrent que souvent l'algèbre élémentaire est

assimilée à une arithmétique généralisée dans le sens où le symbolisme algébrique serait seulement

un prolongement et une généralisation du langage arithmétique. Or selon eux, ce n'est pas le cas car

les symboles employés (lettres, signe égal, signes opératoires, etc) n'ont pas le même statut et les

types de problèmes que l'algèbre permet de résoudre sont différents. Kieran, 1990 parle de fausses

continuités et discontinuités. Vergnaud, 1989 a distingué les procédures arithmétiques et

algébriques dans la résolution des problèmes (repris par Schmidt et al, 1997).

Or de nombreux exercices de manuels imposent à l'élève des méthodes de résolution utilisant, par

exemple, les équations sans que cela soit indispensable, c'est-à-dire que l'élève peut résoudre le

problème avec ses connaissances anciennes, notamment des procédures arithmétiques. Ainsi le

problème suivant que l'on trouve assez souvent dans les manuels :

Je pense à un nombre, je lui ajoute 34, je multiplie par 7 le résultat et je trouve 112. Quel était le nombre

de départ ?

Ce problème peut facilement être résolu par une procédure arithmétique qui consiste à "remonter"

les calculs : ainsi, on calcule 112 : 7 = 16 et 16 - 34 = - 18. Les élèves ont l'habitude de faire ce

genre de raisonnement notamment à l'école primaire. On voit bien sur cet exemple que l'emploi des

équations ne se justifie pas ici et que cet exercice ne nous semble pas être un bon candidat pour

introduire l'outil équation. Il est donc nécessaire d'élaborer des problèmes dans lesquels l'utilisation

de la lettre se révèle être une méthode sinon nécessaire mais au moins performante. On pouvait déjà

trouver des idées dans Combier et al., 1996.

De plus, les objets sur lesquels on travaille (lettres, signe égal, signes opératoires, etc) sont les

mêmes mais leur utilisation doit être modifiée. Ainsi des travaux de recherche ont porté sur les

statuts de ces différents objets comme ceux de Kieran, 1990, Schmidt, 1996. D'autres portent sur les erreurs (Behr et al., 1980, Booth, 1985, Drouhard, 1992, Grugeon, 1995 et Kirshner et al., 2004) en prenant notamment en compte les dimensions sémantiques et syntaxiques. Par exemple,

Drouhard, 1992 distingue le sens et la dénotation des expressions : ainsi les deux expressions (x+1)2

et x2 + 2x +1 ont la même dénotation mais le sens est différent ; par exemple, dans la première on

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" verra » un carré ce qui n'est pas le cas pour la deuxième. De plus il sera plus aisé d'utiliser l'une

ou l'autre suivant les problèmes.

Sfad, 1991 propose une distinction entre les dimensions structurales et opérationnelles des concepts.

Ainsi en algèbre, une même expression peut avoir différentes interprétations selon les contextes. Par

exemple 2n+1 peut être interprétée comme un processus (je choisis un nombre, je le multiplie par 2

et j'ajoute 1) ou bien comme l'écriture d'un nombre impair quelconque.

Nous soulignons là l'importance de travailler ces différentes dimensions qui jouent encore une fois

sur la dialectique outil/objet.

4. La place des justifications

A partir d'une analyse de manuels de 5ème, nous avons montré (Assude, Coppé et Pressiat, 2012)

que les éléments théoriques qui permettent les justifications et les contrôles ne sont pas clairement

affichés; notamment la propriété de distributivité de la multiplication sur l'addition n'est pas

toujours mise en avant comme la justification de la validité des calculs littéraux.

Il en résulte que la propriété de distributivité perd sa prépondérance technologique pour justifier et valider

les calculs. Il y a donc un risque que les élèves ne l'utilisent pas et se rabattent sur des techniques portant

sur les transformations d'écritures exclusivement basées sur des ostensifs, avec des critères de vérification

peu opérationnels portant sur la forme. (Assude et al., op cite)

La propriété de distributivité de la multiplication sur l'addition est introduite formellement en

5ème, dans la partie 2, mais il n'y a que peu de types de tâches en lien et elle peut donc être assez vite

oubliée par les élèves puisqu'ils ne voient pas son utilité. Or, c'est elle qui permet de justifier toutes

les règles de calcul littéral, de développement et de factorisation. Il revient donc au professeur de

faire vivre cette formule pour qu'elle prenne tout son sens, c'est-à-dire autrement que pour faire des

calculs de différentes façons.

De plus, elle est donnée avec ses deux formulations (addition et soustraction) : en 5ème cela

s'explique puisque la multiplication des relatifs n'est pas au programme, mais en 4ème on pourrait

n'en garder qu'une. Ceci montre, selon nous, que la rupture entre arithmétique et algèbre n'est pas

complètement assumée (la formulation était la même en 95).

Il y a là une ambiguïté qui n'est pas levée par le programme. En effet, si la formule est utilisée

dans un cadre arithmétique, il est essentiel d'avoir les deux égalités, elle peut alors apparaître

comme un élément de technologie dans le cadre d'un type de tâches de calcul mental comme 101x

24 ou 99 x 32. En revanche, si l'on travaille dans un cadre algébrique avec des nombres relatifs,

seule l'égalité avec l'addition est nécessaire. Nous pensons que donner ces deux formules peut se

révéler être une difficulté pour les élèves notamment pour les procédures de contrôle sur les signes.

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Enfin, l'étude des manuels de 5ème montre que, dans le cours, la distributivité n'est pas mise en

évidence comme par exemple, les théorèmes de géométrie :

La propriété de distributivité est institutionnalisée avec différentes désignations : règle, propriété, égalité

vraie, identité ou bien seulement citée et entourée par un cadre avec une importante utilisation

d'ostensifs : flèches, couleurs pour distinguer somme et produit. C'était également le cas dans les

manuels de la période précédente. L'ensemble de référence des nombres sur lequel porte la propriété n'est

pas toujours indiqué : par exemple, " a, b et k représentent 3 nombres ». Enfin, la distributivité n'est pas

toujours première, elle peut être précédée par le type de tâches " développer ou factoriser une expression

littérale donnée ». Ces deux types de tâches sont séparés, la distributivité pouvant être spécifiée selon

chacun. Ceci contribue, selon nous, à accentuer l'atomisation des tâches. (Assude et al., ibid)

Il est étonnant de constater qu'un travail didactique important est fait pour les démonstrations en

géométrie, en exigeant notamment l'énoncé explicite des théorèmes ; or ce travail n'est pas repris en

algèbre comme si les règles, les théorèmes étaient alors moins importants ou comme si le calcul

fonctionnait sans règles. Bien sûr, nous touchons là un point important qui concerne les

automatismes de calcul. D'une part, il est important que les élèves acquièrent des automatismes de

calcul qui leur permettent de faire des calculs rapidement sans avoir à citer les règles : c'est le

propre des automatismes. Mais d'autre part, on peut penser que durant l'apprentissage des règles du

calcul algébrique, le professeur porte une attention particulière à la justification des calculs par les

règles.

B. Les programmes de calcul

En prenant en compte ces constats, nous avons élaboré des activités qui permettent notamment

d'introduire la lettre dans des problèmes qui le nécessitent mais également de donner des éléments

de justifications des calculs algébriques. Les problèmes que nous proposons sur le site comportent

en général une seule question, la démarche n'est pas indiquée et il n'y a pas d'injonction sur

l'emploi d'une lettre comme inconnue, variable ou indéterminée.

Enfin, plus récemment, nous avons travaillé sur la question du lien entre sens et technique et sur la

conception non plus d'activités isolées mais de séries d'activités liées entre elles proposant une

progression dans l'avancée du savoir. En effet, nous pensons que le travail montrant l'aspect outil

de l'algèbre doit être mené en même temps que celui portant sur les techniques de calcul littéral et

non pas successivement. En effet si l'on travaille d'abord sur la technique (ce qui est souvent le cas)

les élèves ne peuvent pas voir la finalité de ce qu'ils font (et ils ne comprennent pas pourquoi

brusquement on travaille avec des lettres) et si l'on ne travaille que le sens, il est difficile de

proposer des problèmes intéressants puisque le manque de maîtrise des techniques de calcul fait

obstacle. Ce point est particulièrement difficile à gérer en ce qui concerne l'algèbre élémentaire du

collège.

Pour cela nous avons élaboré des séries d'activités utilisant les programmes de calcul, c'est ce que

nous allons montrer dans la partie suivante.

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La gestion de classe associée est particulière (elle est décrite dans Piolti et Roubin, 2010, et Martin

Dametto et al., 2013). Ces activités sont proposées aux élèves en tout début de séance pendant 15 à

20 minutes (parfois davantage si nécessaire). Les élèves ont un temps de recherche personnel qui se

termine par une mise en commun des résultats ou des procédures et enfin des éléments

d'institutionnalisation sont co-construits par le professeur et les élèves. Ceux-ci sont ensuite

réinvestis dans des activités proposées aux séances suivantes. Ceci se déroule avant pour introduire

ou après pour réinvestir le chapitre en jeu. L'organisation didactique, consiste donc en une

alternance de moments de première rencontre et de travail de la technique, entrecoupés de moments

d'institutionnalisation voire d'évaluation. Avant de donner ces exemples, voici quelques références sur les programmes de calcul.

Notons tout d'abord que le terme programme de calcul en algèbre n'apparaît pas dans les

programmes scolaires de 2008. En revanche, ils sont présentés à l'aide de deux exemples dans le

document d'accompagnement " Du numérique au littéral », 20081 et développés dans le " Vade-

mecum des principaux éléments mathématiques », 20092. Drouhard, 2005 introduit la notion de programme de calcul dans ses travaux sur la didactique de l'algèbre, en prenant le point du vue du langage, en référence à Frege.

Le sens d'une écriture nous permet de voir comment elle est faite, comment on peut la calculer (" mode

de donation de l'objet » ; il nous permet également d'avoir des informations sur ce qu'on peut en faire

(telle forme est factorisable, telle autre est développable, dans le cadre de la résolution d'une équation

telle forme est préférable etc.) (Drouhard, op.cite)

Chevallard, 2007 consacre une partie de ses cours aux professeurs de mathématiques stagiaires à

la notion de programme de calcul. Nous ne reprenons pas ici les exemples donnés, nous invitons le lecteur à s'y référer (p.167-171).

Il est de même usuel de parler d'expression algébrique, sans que l'on sache ce que cette " expression »

exprime ! Pour qu'il en aille autrement, il convient de partir de ce dont nous parle l'algèbre : 3x2, par

exemple, est l'expression algébrique (ou littérale) d'un certain programme de calcul, à savoir le

programme de calcul qui, étant donné un nombre x, " renvoie » le nombre 3x2, et qui, donc, pour x = 1,

renvoie 3, pour x = 4 renvoie 48, etc. L'algèbre élémentaire est ainsi la science des programmes de calcul

(sur les nombres), et en particulier la science du calcul sur les programmes de calcul. La notion de

programme de calcul se construit aujourd'hui à l'école primaire et dans les premières années du collège :

elle formalise l'idée de " faire un calcul », c'est-à-dire le fait d'opérer sur des nombres d'une manière

déterminée, selon un certain programme. (Chevallard, op.cite)

Enfin dans Assude et al., 2012, nous développons l'idée de la potentialité de l'utilisation des

programmes de calcul pour travailler sur les expressions littérales. Il faut remarquer aussi que les

textes décrivant les programmes sont simples à travailler pour les élèves.

1DOCUMENT RESSOURCES "DU NUMERIQUE AU LITTERAL" (2008)

Site du Ministère : http://media.eduscol.education.fr/file/Programmes/17/3/du_numerique_au_litteral_109173.pdf

2 Site du Ministère : http://eduscol.education.fr/cid45766/mathematiques-pour-le-college-et-le-lycee.html#lien1

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Les programmes de calcul conservent la fonction didactique de support d'exercices, sans apparaître

comme un objet paramathématique contribuant à la construction de l'organisation mathématique. Nous

faisons ainsi l'hypothèse que, dans le curriculum officiel, l'introduction des programmes de calcul ouvre

des potentialités qui restent inexplorées. (Assude et al., op.cite) Nous pensons donc que les programmes de calcul constituent un outil pour les professeurs (et pour

les élèves, bien sûr) qui devrait permettre de travailler sur l'introduction de l'algèbre au collège

notamment en ce qui concerne d'une part la résolution d'équation et d'autre part les activités de

preuve. Notons que dans cet article, nous choisissons de séparer ces deux types de tâches mais on

peut aussi envisager qu'ils n'en forment qu'un seul comme : étant donné deux programmes de

calcul savoir s'ils donnent toujours le même résultat pour tous les nombres d'un ensemble donné et

sinon, déterminer pour quelles valeurs c'est le cas. Une des techniques peut être de faire des essais,

puis d'émettre une conjecture et de la prouver en utilisant les règles du calcul algébrique qui

fonctionneront bien alors comme des éléments de justification pour transformer les expressions.

C. Des exemples d'utilisation des programmes de calcul Nous allons maintenant montrer l'utilisation des programmes de calcul dans les deux types de

tâches citées ci-dessus. Dans cet article, nous ne donnons qu'un exemple simple et sur le même

modèle pour chacun des programmes. Bien sûr, en classe, des programmes plus complexes sont

proposés. Les propriétés relevant de la distributivité sont mises en place parallèlement à ces

programmes.

Enfin, nous précisons à nouveau que l'activité algébrique ne se limite pas à ces types de

problèmes. D'autres entrées sont travaillées notamment celle de la modélisation.

1. Pour résoudre des équations

Nous proposons une organisation mathématique au sens de Chevallard, 1998, 1999 pour la

résolution d'équation au cours du collège. Rappelons rapidement qu'une organisation mathématique

est constituée d'un ensemble de types de tâches, des techniques associées qui peuvent évoluer et des

éléments technologico théoriques qui sont donnés le plus explicitement possible quand c'est

possible. Les programmes de calcul sont introduits dès la classe de sixième, tout d'abord dans le but de

familiariser les élèves avec cet outil mais aussi en mettant l'accent sur la pratique du calcul et la

réversibilité des opérations. Le travail est poursuivi en classe de cinquième pour que les élèves

progressent de l'opération " à trou » vers l'utilisation de la lettre et de la distributivité. En classe de

quatrième, si la présentation des problèmes sous forme de programme de calcul fait alors partie de

la pratique quotidienne des élèves, un obstacle est la recherche des opérations qui conservent

l'égalité et permettent de trouver les solutions. A chaque niveau, l'attention portée aux variables

Article REPERES algèbre groupe SESAMES

12

didactiques permet de faire évoluer les techniques pour construire des connaissances nouvelles (cela

peut être aussi un moyen de s'adapter au niveau des élèves).

En classe de 6ème, nous utilisons les programmes de calcul pour travailler sur la réversibilité des

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