[PDF] CQP 099 - Mathématiques de base - Chapitre 4 Équations et

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CQP 099 - Mathématiques de base

Chapitre 4

Équations et inéquations

Olivier Godin

Université de Sherbrooke

15 août 2018

Chapitre 4 - Équations et inéquations1 / 71

Introduction

Dans ce chapitre, nous verrons comment résoudre une équation ou une inéquation linéaire à une variable. De plus, nous verrons comment trouver l"ensemble solution d"un système d"équations linéaires à deux variables. Nous verrons également comment résoudre une équation quadratique à une variable. Nous utiliserons aussi la factorisation pour résoudre certaines inéquations quadratiques à une variable et nous analyserons des équations et des inéquations contenant des fractions algébriques.

Chapitre 4 - Équations et inéquations2 / 71

Plan du chapitre

1Résolution d"équations linéaires à une variable

2Résolution d"un système d"équations linéaires à deux variables

3Résolution d"équations quadratiques à une variable

4Résolution d"équations à une variable contenant des fractions algébriques

Chapitre 4 - Équations et inéquations3 / 71

Plan du chapitre

5Résolution d"inéquations linéaires à une variable

6Résolution d"inéquations quadratiques à une variable

7Résolution d"inéquations à une variable contenant des fractions algébriques

8Références

Chapitre 4 - Équations et inéquations4 / 71

Résolution d"équations linéaires à une variable

1Résolution d"équations linéaires à une variable

2Résolution d"un système d"équations linéaires à deux variables

3Résolution d"équations quadratiques à une variable

4Résolution d"équations à une variable contenant des fractions algébriques

Chapitre 4 - Équations et inéquations5 / 71

Résolution d"équations linéaires à une variable Uneéquationest une égalité qui contient un ou plusieurs variables. Les valeurs du domaine qui transforment une équation en une égalité vraie composent l"ensemble solutionde l"équation.Chapitre 4 - Équations et inéquations6 / 71 Résolution d"équations linéaires à une variable

Exemple interactif

Ensemble-solution d"un système d"équations ou d"une inéquation

Chapitre 4 - Équations et inéquations7 / 71

Résolution d"équations linéaires à une variable On s"intéresse premièrement auxéquations linéaires à une variable, qui sont des équations contenant uniquement des polynômes de degré 1. Pour résoudre celles-ci, on utilise les propriétés énoncées dans le tableau suivant.[3]

Chapitre 4 - Équations et inéquations8 / 71

Résolution d"équations linéaires à une variable

Question éclair 4.1

Résolvez les équations linéaires suivantes. a)

4 (x+3)3(2x+7) =9

b)

4 (3t2)6(2t) =5(2t5)Chapitre 4 - Équations et inéquations9 / 71

Résolution d"équations linéaires à une variable Une équation qui est vraie pour toutes les valeurs de son domaine est uneidentité.

À l"opposé, une équation dont l"ensemble solution est vide est unecontradiction.Chapitre 4 - Équations et inéquations10 / 71

Résolution d"équations linéaires à une variable

Question éclair 4.2

Résolvez les équations linéaires suivantes. a)

4 (t2)(2t1) =2t6

b)

3 (2x+1)2(4x3) =92xChapitre 4 - Équations et inéquations11 / 71

Résolution d"équations linéaires à une variable

Exercices 4.1

Chapitre 4 - Équations et inéquations12 / 71 Résolution d"un système d"équations linéaires à deux variables

1Résolution d"équations linéaires à une variable

2Résolution d"un système d"équations linéaires à deux variables

Méthode de substitution

Méthode de comparaison

Méthode de réduction3Résolution d"équations quadratiques à une variable

4Résolution d"équations à une variable contenant des fractions algébriques

Chapitre 4 - Équations et inéquations13 / 71 Résolution d"un syst;me d"équations linéaires à deux variables Un système d"équations est un ensemble d"équations qui décrivent différentes propriétés d"une même situation. On s"intéresse premièrement auxsystèmes d"équations linéaires à deux variables: a

1x+b1y=c1

a

2x+b2y=c2

Un couple(u;v)est unesolution du systèmes"il est une solution commune aux deux équations. Le regroupement des solutions forme l"ensemble solution du système d"équations linéaires. Un système qui admet au moins une solution sera ditcompatible, et à l"inverse il sera ditincompatibles"il ne possède aucune solution.Chapitre 4 - Équations et inéquations14 / 71

Méthode de substitution

1Résolution d"équations linéaires à une variable

2Résolution d"un système d"équations linéaires à deux variables

Méthode de substitution

Méthode de comparaison

Méthode de réduction3Résolution d"équations quadratiques à une variable

4Résolution d"équations à une variable contenant des fractions algébriques

Chapitre 4 - Équations et inéquations15 / 71

Méthode de substitution

La résolution d"un système d"équations linéaires par laméthode de substitution consiste à isoler une ou des variables dans l"une des équations et à substituer cette valeur à la même variable dans l"autre équation. La résolution d"un système d"équations linéaires par la méthode de substitution s"effectue en suivant ces étapes :1On isole une des variables dans l"une des équations.

2On substitue cette expression à la variable dans l"autre équation.

3On résout cette nouvelle équation.

4Si cette dernière équation possède une seule solution, on substitue cette solution à

la variable dans l"équation obtenue à la première étape, afin de trouver la valeur de l"autre variable.5La solution du système est alors le couple dont les coordonnées vérifient simultanément les deux équations. Chapitre 4 - Équations et inéquations16 / 71

Méthode de substitution

Question éclair 4.3

Résolvez les systèmes d"équations suivants en utilisant la méthode de substitution. a) 2xy=7

4x3y=19

b)

4a+2b=8

2a3b=12Chapitre 4 - Équations et inéquations17 / 71

Méthode de substitution

Question éclair 4.4

Résolvez les systèmes d"équations suivants en utilisant la méthode de substitution. a)

6u12v=3

4u+8v=1

b)

4x2y=8

5x52 y=10Chapitre 4 - Équations et inéquations18 / 71

Méthode de substitution

Exercices 4.2

Chapitre 4 - Équations et inéquations19 / 71

Méthode de comparaison

1Résolution d"équations linéaires à une variable

2Résolution d"un système d"équations linéaires à deux variables

Méthode de substitution

Méthode de comparaison

Méthode de réduction3Résolution d"équations quadratiques à une variable

4Résolution d"équations à une variable contenant des fractions algébriques

Chapitre 4 - Équations et inéquations20 / 71

Méthode de comparaison

La résolution d"un système d"équations linéaire par laméthode de comparaison

consiste à isoler la même variable dans les deux équations et à poser l"égalité entre les

deux expressions obtenues. On compare ainsi deux expressions de la même variable. La résolution d"un système d"équations linéaires par la méthode de comparaison

s"effectue en suivant ces étapes :1On isole la même variable dans chacune des deux équations.

2On pose l"égalité entre les deux expressions obtenues et on résout d"équation.

3Si cette dernière équation possède une seule solution, on la substitue à la variable

dans l"une des équations initiales pour trouver la valeur de l"autre variable.4La solution du système est le couple dont les coordonnées vérifient simultanément

les deux équations. Chapitre 4 - Équations et inéquations21 / 71

Méthode de comparaison

Question éclair 4.5

Résolvez les systèmes d"équations suivants en utilisant la méthode de comparaison. a)

10x2y=31

8xy=31

b)

4a3b=7

5a+4b=1Chapitre 4 - Équations et inéquations22 / 71

Méthode de comparaison

Question éclair 4.6

Résolvez les systèmes d"équations suivants en utilisant la méthode de comparaison. a)

6u3v=2

4u2v=1

b)

3x+2y=6

92
x3y=9Chapitre 4 - Équations et inéquations23 / 71

Méthode de comparaison

Exercices 4.3

Chapitre 4 - Équations et inéquations24 / 71

Méthode de réduction

1Résolution d"équations linéaires à une variable

2Résolution d"un système d"équations linéaires à deux variables

Méthode de substitution

Méthode de comparaison

Méthode de réduction3Résolution d"équations quadratiques à une variable

4Résolution d"équations à une variable contenant des fractions algébriques

Chapitre 4 - Équations et inéquations25 / 71

Méthode de réduction

La résolution d"un système d"équations linéaires par laméthode de réductionconsiste

à transformer l"une ou l"autre des équations (parfois les deux) afin que les coefficients dexou deysoient opposés. On additionne ensuite les membres de gauche, puis les membres de droite des deux équations pour obtenir une seule équation ne comportant qu"une variable. Chapitre 4 - Équations et inéquations26 / 71

Méthode de réduction

La résolution d"un système d"équations linéaires par la méthode de réduction s"effectue

en suivant ces étapes :1On replace les termes des deux équations en les alignant, les uns sous les autres,

les termes enx, les termes enyet les constantes.2Si nécessaire, on transforme l"une ou l"autre des équations, ou les deux, afin que

les coefficients d"une des variables soient opposés.3On additionne les membres de gauche, puis les membres de droite des deux

équations.4On résout cette nouvelle équation à une variable.

5Si cette dernière équation possède une seule solution, on la substitue à la variable

dans l"une des équations initiales, que l"on résout ensuite pour trouver la valeur de

l"autre variable.6La solution du système est le couple dont les coordonnées vérifient simultanément

les deux équations. Chapitre 4 - Équations et inéquations27 / 71

Méthode de réduction

Question éclair 4.7

Résolvez les systèmes d"équations suivants en utilisant la méthode de réduction. a)

2x+3y=5

3xy=13

b)

6u+5v=8

4u+3v=6Chapitre 4 - Équations et inéquations28 / 71

Méthode de réduction

Question éclair 4.8

Résolvez les systèmes d"équations suivants en utilisant la méthode de réduction. a)

3a+6b=2

2a4b=1

b)

9x3y=4

12x4y=163

Chapitre 4 - Équations et inéquations29 / 71quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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