[PDF] Theorie homotopique des DG-categories

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arXiv:0710.4303v1 [math.KT] 23 Oct 2007

THESE DE L"UNIVERSIT´E PARIS DIDEROT - PARIS 7

MATH

´EMATIQUES

E.D. SCIENCES MATH

´EMATIQUES DE PARIS - CENTRE

Gon¸calo Nery Tabuada

Th´eorie homotopique des DG-cat´egories

Soutenue le 20 septembre 2007, devant le jury compos´e de :

M. Pierre Cartier (I.H.

´E.S.)Pr´esident

M. Denis-Charles Cisinski (Universit´e Paris 13) M. Bernhard Keller (Universit´e Paris 7)Directeur

M. Maxim Kontsevich (I.H.

´E.S.)

M. Rapha¨el Rouquier (University of Oxford)

M. Bertrand To¨en (C.N.R.S.-Laboratoire Emile Picard)Rapporteur

Rapporteur externe (absent `a la soutenance)

M. Mikhail Kapranov (Yale University)

2

RemerciementsJe suis tr`es heureux de pouvoir exprimer ici toute ma gratitude envers Bernhard Keller qui a dirig´e cette

th`ese et guid´e mes premiers pas dans la recherche. Il est impossible de r´esumer en quelques phrases

tout ce que je lui dois. Il m"a soutenu d`es le premier jour et m"a enseign´e le m´etier avec beaucoup de

d´evouement. 'Merci" Mes remerciements les plus chaleureux vont aussi `a Denis-Charles Cisinski et Bertrand To¨en. Ils

m"ont fait profiter de leur immense richesse math´ematique et cela m"a ouvert de nouveaux horizons de

recherche. Je suis tr`es heureux qu"ils fassent partie du jury. Je tiens ensuite `a exprimer ma gratitude `a Mikhail Kapranov et Bertrand To¨en, qui m"ont fait l"honneur de rapporter cette th`ese. Je remercie Mikhail Kapranov pour sa lecture et pour avoir fait

le lien entre cette th`ese et son travail fondateur avec Alexei Bondal. Je remercie profond´ement Bertrand

To¨en pour toutes ses corrections et suggestions qui ont permis d"am´eliorer ´enorm´ement la qualit´e scien-

tifique de ce texte.

L"un des objets math´ematiques au centre de cette th`ese estune dg-cat´egorieKdue `a Maxim Kontsevich.

Je lui suis tr`es reconnaissant d"avoir accept´e, si promptement, de si´eger dans le jury.

Messieurs Pierre Cartier et Rapha¨el Rouquier me font un tr`es grand honneur de si´eger dans le jury.

Leurs expos´es au cours de ces derni`eres ann´ees m"ont apport´e beaucoup.

La source principale d"inspiration pour cette th`ese a ´et´e l"articleDG quotients of DG categoriespar

Vladimir Drinfeld. J"esp`ere que cette th`ese lui fera plaisir.

Pendant la pr´eparation de la th`ese j"ai profit´e de discussions ´electroniques aussi bien que de vive voix

avec plusiers math´ematiciens : Joseph Ayoub, Michael Batanin, Clemens Berger, Rick Jardine, Francesco

Lemma, Jean-Louis Loday, Orlando Neto, Stefan Schwede et Mark Weber. Je les remercie tous, ainsi que ceux que j"ai oubli´es de citer.

Je voudrait dire'Obrigado"`a Gustavo Granja, qui depuis Lisbonne, m"a encourag´e et a r´epondu `a

mes questions na¨ıves sur la th´eorie d"homotopie (stable).

D`es mon arriv´ee `a Paris, j"ai eu la chance de profiter des cours et groupes de travail organis´es par

Jean Barge et Fabien Morel. Je les remercie tous les deux pourl"influence qu"ils ont eue dans mes choix

math´ematiques.

L"excellente ambiance r´egnant sur le plateau des doctorants a ´et´e capitale pendant ces ann´ees. Je

tiens donc `a exprimer toute mon amiti´e `a tous ceux que j"aipu rencontrer.

Je voudrait remercier Monique Douchez et Mich`ele Wasse pour toute leur aide et efficacit´e dans la

partie administrative ainsi que laFunda¸c˜ao para a Ciˆencia e Tecnologia - Portugalpour m"avoir soutenu

financi`erement avec la bourse SFRH/BD/144035/2003.

Pour finir, je remercie profond´ement mes parents, mes oncles et Liliana pour leur amour, ainsi que mon

fr`ere Paulo Tabuada pour m"avoir enseign´e `a ne pas avoir peur'des math´ematiques, du futur, de la vie."

3

4Remerciements

ContentsIntroduction6

I `A la poursuite du Motivateur des DG-cat´egories 23

1 Une structure de cat´egorie de mod`eles de Quillen sur la cat´egorie des DG-cat´egories 25

1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 25

1.2 Pr´eliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 25

1.3 Th´eor`eme principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 27

1.3.1 Preuves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 28

2 Invariants additifs de DG-cat´egories33

2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 33

2.2 Conventions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 34

2.3 DG-foncteurs quasi-´equiconiques . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 34

2.4 Additivisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 42

2.5 DG-foncteurs de Morita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 46

2.6 Invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 55

2.6.1 Homologies de Hochschild, Cyclique, Negative, ... . .. . . . . . . . . . . . . . . . 56

2.6.2K-th´eorie alg´ebrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 57

2.6.3 Vision globale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 57

2.6.4 Charact`ere de Chern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 57

2.7 DG-cat´egories compactes et lisses . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 58

3 HigherK-theory via universal invariants61

3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 61

3.2 Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 63

3.3 Derived Kan extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 64

3.4 Localization: model categories versus derivators . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.5 Filtered homotopy colimits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 70

3.6 Pointed derivators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 76

3.7 Small weak generators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 77

3.8 Stabilization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 79

3.9 DG quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 86

3.10 The universal localizing invariant . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 89

3.11 A Quillen model in terms of presheaves of spectra . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 95

3.12 Upper triangular DG categories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 95

3.13 Split short exact sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 99

5

6Contents

3.14 Quasi-Additivity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 100

3.15 The universal additive invariant . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 106

3.16 Concluding remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 110

II Ramifications de la th´eorie homotopique des DG-cat´egories 111

4 TheQ-model for the Morita homotopy theory of DG categories 113

4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 113

4.2 Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 114

4.3 Homotopy of DG functors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 114

4.4Q-model structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 116

4.4.1 Morita model structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 116

4.4.2Q-model structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .119

4.4.3Q-fibrant objects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .123

4.5 Closed symmetric monoidal structure . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 125

4.6 Derived internal Hom-functor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 126

4.7 Relation withdgcat. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

5 Homotopy theory of well-generated algebraic triangulated categories 133

5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 133

5.2 Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 134

5.3 Monadic structureTondgcat. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

5.4 Quillen"s lifting argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 138

5.5 Homotopy theory ofT-algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

5.6 Exactα-cocomplete dg categories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 141

5.7 Enhancement of well-generated algebraic triangulatedcategories . . . . . . . . . . . . . . 147

III Applications `a la DG-(d´e)stabilisation 149

6 On the structure of Calabi-Yau categories with a cluster tilting subcategory 151

6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 151

6.2 Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 152

6.3 Embedding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 153

6.4 Determination of the image ofG. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

6.5 Alternative description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 159

6.6 The main theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 161

6.7 Appendix: extension oft-structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

A Drinfeld"s DG quotient167

IntroductionNous renvoyons `a l"expos´e de Keller [Kel06b] pour une pr´esentation et motivation de la plupart des

concepts math´ematiques qui interviennent dans cette th`ese. Nous proposons plusieurs contributions

originales `a l"´etude : - des dg-cat´egories et de leurs invariants, - des cat´egories triangul´ees (alg´ebriques) bien engendr´ees au sens de Neeman et

- de l"approche des alg`ebres 'cluster" au sens de Fomin-Zelevinsky par la th´eorie des repr´esentations.

Cette th`ese correspond aux articles [Tab05b] [Tab06] [Tab05a] [Tab07] [Tabc] [Tabb] [Taba] et `a un

appendice, o`u une preuve simple et purement homotopique d"un th´eor`eme dˆu `a Drinfeld est present´ee.

Dans le r´esum´e suivant, nous pr´esentons les r´esultats principaux de cette th`ese d"une fa¸con plus d´etaill´ee.

DG-cat´egories

Les cat´egories diff´erentielles gradu´ees (=dg-cat´egories) 'enrichissent" notre comprehension des cat´egories

triangul´ees qui apparaissent naturellement en alg`ebre et g´eom´etrie.

L"id´ee d"utiliser les dg-cat´egories pour 'enrichir" lescat´egories triangul´ees remonte aux travaux de

Bondal-Kapranov [BK90]. Leur motivation principale ´etait l"´etude des collections exceptionnelles de

faisceaux coh´erents sur les vari´et´es projectives. Elles ont ´et´e utilis´ees aussi par Keller [Kel94] dans l"´etude

de la th´eorie de Morita d´eriv´ee et de la dualit´e de Koszul.

Actuellement, les dg-cat´egories sont consid´er´ees comme des sch´emas non-commutatifs par Drin-

feld [Dri02] [Dri04] et Kontsevich [Kon98] [Kon04] dans leur programme de g´eometrie alg´ebrique non-

commutative.

L"une des op´erations importantes qu"on peut r´ealiser dans les cat´egories triangul´ees est le passage au

quotient. Cette op´eration de quotient `a ´et´e relev´ee aumonde de dg-cat´egories par Keller dans [Kel94] et

r´ecemment par Drinfeld dans [Dri04].

Chapitre 1

Dans le but de r´einterpreter la construction du dg-quotient de Drinfeld d"un point de vue purement

homotopique afin de mieux comprendre sa propri´et´e universelle, on construit une structure de cat´egorie

de mod`eles de Quillen sur la cat´egorie des petites cat´egories diff´erentielles gradu´eesdgcat. Rappelons

qu"un dg-foncteurF:C → Dest unequasi-equivalencesi : - pour tous objetsc1etc2dansC, le morphisme de complexes de HomC(c1,c2) vers HomD(F(c1),F(c2)) est un quasi-isomorphisme et - le foncteur H

0(F) de H0(C) vers H0(D) est essentiellement surjectif.

7

8Introduction

Th´eor`eme 0.1(1.8).La cat´egoriedgcatadmet une structure de cat´egorie de mod`eles de Quillen `a

engendrement cofibrant dont les ´equivalences faibles sontles quasi-equivalences. Les fibrations sont les

dg-foncteursF:A → Bqui induisent des surjections de complexesHomA(X,Y)→HomB(F(X),F(Y)) pour tousX,YdansAet tels que pour tout objetX? Aet tout morphismev?HomB(F(X),Z)qui devient un isomorphisme dansH0(B), il existe un morphismeu?HomA(X,Y)tel queF(u) =vet qui devient un isomorphisme dansH0(A).

Remarque0.2.Notre construction est inspir´ee par des arguments dans [Rez] et par la construction du dg-

quotient donn´ee par Drinfeld dans [Dri04]. La clef pour cette construction est une certaine dg-cat´egorie

Kd´efinie par Drinfeld dans [Dri04, 3.7.1] et qui est due `a Kontsevich. Conceptuellement, elle joue le

mˆeme role dansdgcatque l"intervalle dans la cat´egorie des espaces topologiques. Remarque0.3.Dans l"appendice, on donne une preuve simple et purement homotopique de la propri´ete

universelle du dg-quotient de Drinfeld [Dri04], qui est bas´ee seulement sur le th´eor`eme 0.1.

Rappelons maintenant quelques r´esultats du travail fondamental de To¨en [To¨e07], rendus possibles

par le th´eor`eme 0.1. On noteHeqla localisation dedgcatpar rapport `a la classe des quasi-´equivalences. Les morphismes

dans la localisation (de Dwyer-Kan [DK80]) sont d´ecrits dela fa¸con suivante: soientAetBdeux dg-

cat´egories. Si necessaire, on peut remplacerApar une dg-cat´egorie quasi-´equivalente de fa¸con queAsoit

k-plate, c"est-`a-dire le foncteurA(X,Y)?? pr´eserve les quasi-isomorphismes pour tousX,YdansA(par

exemple, on peut prendre une r´esolution cofibrante deA). Soitrep(A,B) la sous cat´egorie pleine de la

cat´egorie d´eriv´eeD(Aop? B) desA-B-bimodules form´ee des bimodulesXtels que le foncteur produit

tensoriel d´eriv´e ?L?AX:D(A)→ D(B) envoie lesA-modules repr´esentables vers des objets qui sont isomorphes dansD(B) `a desB-modules

repr´esentables. D"une fa¸con ´equivalente, on demande queX(?,A) soit isomorphe dansD(B) `a unB-

module repr´esentable pour tout objetAdansA. Th´eor`eme 0.4([To¨e07]).Les morphismes deAversBdansHeqsont en bijection naturelle avec les classes d"isomorphisme de la cat´egorierep(A,B).

Maintenant, soitR(A,B) la cat´egorie qui a les mˆemes objets querep(A,B) et dont les morphismes

sont les quasi-isomorphismes de dg-bimodules. La cat´egorieR(A,B) est donc une sous categorie non pleine de la cat´egorie des dg-bimodulesC(Aop? B).

Th´eor`eme 0.5([To¨e07]).Il existe une ´equivalence faible canonique d"ensembles simpliciaux entre

Map(A,B)et le nerf de la cat´egorieR(A,B).

Th´eor`eme 0.6([To¨e07]).La cat´egorie mono¨ıdale(Heq,-L? -)admet un foncteur Hom-interne

RHom(-,-). Pour deux dg-cat´egoriesAetB, telles queAestk-plate, la dg-cat´egorieRHom(A,B)est

isomorphe dansHeq`a la dg-cat´egorierepdg(A,B), c"est-`a-dire la sous cat´egorie pleine de la dg-cat´egorie

desA-B-bimodules, dont les objets sont ceux derep(A,B)qui sont en plus cofibrants comme bimodules.

Chapitre 2

On remarque que tous les invariants fonctoriels classiquescomme laK-th´eorie alg´ebrique, l"homologie de

Hochschild, l"homologie cyclique,...se prolongent naturellement desk-alg`ebres vers les dg-cat´egories.

D"une fa¸con analogue au cas desk-alg`ebres ordinaires, ces invariants sont pr´eserv´es par les ´equivalences

de Morita d´eriv´ees. Cela conduit au probl`eme de donner une description explicite de la 'cat´egorie

d"homotopie de Morita", c"est-`a-dire la localisation dedgcatpar rapport aux ´equivalences de Morita

d´eriv´ees, puisque tous ces invariants descendent `a cette cat´egorie. 9

On r´esout ce probl`eme en utilisant le formalisme d"alg`ebre homotopique de Quillen. En effet, on

construit une structure de cat´egorie de mod`eles de Quillen surdgcat, dont les ´equivalences faibles sont

les dg-foncteursde Morita, c"est-`a-dire les dg-foncteursF:A → Bqui induisent une ´equivalenceD(B)≂→

D(A) entre cat´egories d´eriv´ees.

Th´eor`eme 0.7(2.27).La cat´egoriedgcatadmet une structure de cat´egorie de mod`eles de Quillen `a en-

gendrement cofibrant, dont les equivalences faibles sont les dg-foncteurs de Morita et dont les cofibrations

sont les mˆemes que celles du th´eor`eme 0.1.

Remarque0.8.Notre structure a ´et´e construite `a partir de celle du th´eor`eme 0.1 en deux ´etapes. (On

remarque qu"une quasi-equivalence est un dg-functor de Morita).

Premi`erement, on a construit une structure de cat´egorie de mod`eles de Quillen intermediaire, dont

les ´equivalences faibles sont les dg-foncteurs quasi-´equiconiques, voir section 2.3. Dans cette ´etape, on

s"est inspir´e de la construction de Bondal-Kapranov de l"envelope pre-triangul´ee d"une dg-cat´egorie, voir

[BK90].

Dans une deuxi`eme ´etape, on a relev´e la construction de laKaroubianisation d"une cat´egorie trian-

gul´ee, voir [BS01], au monde des dg-cat´egories en utilisant des facteurs directs `a homotopie pr`es. Cela

nous a permis de contrˆoler les objets compacts de la cat´egorie d´eriv´ee d"une dg-cat´egorie.

On d´esigne parHmola localisation dedgcatpar rapport aux dg-foncteurs de Morita. DansHmo, les

´equivalences d´eriv´ees au sens de Rickard-Keller [Ric89] [Ric91] [Kel94] correspondent `a des isomorphismes

et le 'groupe de Picard d´eriv´e" [RZ03] au sens de Rouquier-Zimmermann y apparaˆıt comme un groupe

d"automorphismes.

Proposition 0.9(2.34).Une dg-cat´egorieAest Morita fibrante si est non vide et l"image essentielle du

plongementH0(A)?→ D(A)est stable par suspensions, cˆones et facteurs directs.

Proposition 0.10(2.14, 2.35).La structure de cat´egorie de mod`eles de Quillen du th´eor`eme 0.7 est une

localisation de Bousfield `a gauche de la structure de cat´egorie de mod`eles de Quillen du th´eor`eme 0.1.

On noteA ?→ Afibune resolution Morita fibrante fonctorielle deA. Corollaire 0.11(2.36, 2.37).Le foncteurA ?→ Afibnous fournit un adjoint `a droite du foncteur

quotientHeq→Hmoet induit une equivalence entreHmoet la sous cat´egorie pleine deHeqform´ee des

dg-cat´egories Morita fibrantes. On d´esigne parrepmor(A,B), resp.Rmor(A,B), resp.RHommor(A,B) les cat´egoriesrep(A,Bfib), resp.R(A,Bfib), resp.RHom(A,Bfib).

La corollaire 0.11 nous permet d"´etendre les r´esultats deTo¨en au cadre des dg-foncteurs de Morita.

SoientAetBdeux dg-cat´egories.

Corollaire 0.12(2.39).- Les morphismes deAversBdansHmosont en bijection naturelle avec les classes d"isomorphime de la cat´egorierepmor(A,B). - On dispose d"une ´equivalence faible canonique d"ensembles simpliciaux entreMap(A,B)et le nerf de la cat´egorieRmor(A,B).

- La cat´egorie mono¨ıdale sym´etrique(Hmo,-L?-)admet un foncteurHom-interneRHommor(-,-).

Rappelons que tous les invariants habituels comme laK-th´eorie alg´ebrique, l"homologie de Hochschild,

l"homologie cyclique,...descendent `a la cat´egorieHmo. Ces invariants d´ependent en fait de moins de

structure, voir l"exemple 0.16. Cela motive la construction suivante.

SoitHmo0la cat´egorie qui a pour objets les petites dg-cat´egories et telle queHomHmo0(A,B) est le

groupe de Grothendieck de la cat´egorie triangul´eerepmor(A,B). La composition est induite par celle de

Hmo. On dispose d"un foncteur canoniqueHmo→Hmo0.

10Introduction

Lemme 0.13(2.41).La cat´egorieHmo0est additive et le produit tensoriel- ?L-deHmoinduit une structure mono¨ıdale sym´etrique surHmo0. Soit maintenantF:Hmo→Cun foncteur `a valeurs dans une cat´egorie additiveC. Th´eor`eme 0.14(2.43).Les conditions suivantes sont ´equivalentes :

1) Le foncteurFest compos´e d"un foncteur additifHmo0→Cet du foncteur canoniqueHmo→Hmo0.

2) Pour toutes dg-cat´egoriesA,B, l"identit´eF([X])+F([Z]) =F([Y]), est v´erifi´ee dansHomC(F(A),F(B))

pour tout triangleX→Y→Z→X[1]derepmor(A,B).

3) Pour toute dg-cat´egorieA, le morphisme

F(A)?F(A)[F(i1),F(i2)]??

F(T(A))

est un isomorphisme dansC.

4) Pout toute dg-cat´egorie pr´etriangul´eeAmunie de sous-dg-cat´egories pleines pr´etriangul´eesBetC

qui donnent lieu `a une d´ecomposition semi-orthogonaleH0(A) = (H0(B),H0(C)), voir [BLL04], le morphismequotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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