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Université de Nice Sophia Antipolis Licence L2 - GéométrieAnnée 2009/2010 - semestre 4 ---------------

Seconde session - Épreuve du 17 juin 2010 (durée: 2h) - Barème(à titre indicatif): 3, 5, 8, 8

Documents, calculatrices et téléphones portables sont interdits. Rédaction sobre et pertinente exigée.

Exercice 1.Xest un espace affine réel de dimension3. SoientM1,M2,M3etM4quatre points non coplanaires deX. On noteI1le milieu de[M1M2],I2le milieu de[M2M3],I3le milieu de [M3M4]etI4le milieu de[M4M1]. Montrer queI1I2I3I4est un parallélogramme. Faire un dessin. Exercice 2.Le plan affine euclidien usuelPest muni d"un repère orthonormé directR=(O,i M, j M). SoientA,B,A?,B?les quatre points dont les coordonnées sont respectivement (-4,-1),(0,-4),(2,0)et(6,3).

1. Vérifier que les segments[AB]et[A?B?]ont même longueur.

2. Pour chacun des segments[AA?]et[BB?], donner une équation cartésienne de sa médiatrice.

3. Une rotationrenvoieAsurA?etBsurB?. Déterminer le centreωde cette rotation.

4. Siθest une mesure de l"angle de la rotationr, on rappelle que la matrice der

Mdans la base

(i M, j M)deP

Mest?cosθ-sinθ

sinθcosθ?

Sachant quer

M(AB)=A?B?, donner les valeurs de cosθet sinθ.

En calculant le produit scalaireAB

·A?B?et le déterminant det(i

M,j

M)(AB,A?B?) pourriez-vous

retrouver l"angle de la rotation?

5. Faire un dessin et y placer les pointsA,B,A?,B?,ωetO?=r(O). On ne demande pas de

calculer précisément les coordonnées deO?. Exercice 3.SoientPle plan affine euclidien usuel,Dune droite affine deP.

On considèrev

M? P

Met on posef=sD◦tv

M,g=tv

M◦sD, oùsDest la réflexion par rapport à la droite Dettv

Mla translation de vecteurvM. On dit quesDettv

Mcommutent si pour toutM? P, on a

f(M)=g(M).

1. Montrer quefadmet au moins un point fixe si et seulement siv

M? D

M?. Que peut-on dire de

l"ensemble des points fixes def? A-t-on un énoncé analogue pourg? Faire un dessin.

2. Montrer que siv

M?D M, alors pour toutM?D, on af(M)?g(M). Faire un dessin.

3. Montrer que siv

M?D M, alors pour toutM?P, on af(M)=g(M). Faire un dessin.

4. Montrer quesDettv

Mcommutent si et seulement sivM?D

M.

5.(facultatif)Montrer qu"il existe une droiteD?parallèle àD, un vecteurv?

M?D?tels que

f=sD?◦tv? . A-t-on un énoncé analogue pourg? Faire un dessin. tourner la page s.v.p. Exercice 4.Pest le plan euclidien usuel. Pourv1M, v2M? P

M, on notev1M·v2Mle produit scalaire de ces

deux vecteurs.

1. SoientA,BetCtrois points deP.

On suppose qu"il existeN?Ptel queAN

·BC=0etBN·CA=0. Montrer qu"alorsCN·AB=0.

(Vous pouvez éventuellement admettre ce résultat et faire lasuite de l"exercice) Indication: on pourra, en s"appuyant sur la relation de Chasles, écrire dans un premier temps, AB =AC+CBpuis dans un second temps, utiliser successivement les égalitésCN=CB+BN, CN =CA+AN.

2. SoientA, BetCtrois points non alignés deP. Déduire de la question précédente, que les

trois hauteurs du triangleABCsont concourantes en un pointHappelé orthocentre du triangleABC. (Vous pouvez éventuellement admettre ce résultat et faire lasuite de l"exercice)

Rappel: on appelle hauteur du triangleABC, une droite passant par un sommet et orthogonale au côté

opposé à ce sommet (par exemple la perpendiculaire à(BC)parAest la hauteur issue deA).

La hauteur issue d"un sommet coupe le côté opposé à ce sommet en point appelé pied de cette hauteur.

3. Maintenant on suppose le planPmuni d"un repère orthonorméR= (O, i

M, j

M)et on considère

les trois pointsAm,BmetCdont les coordonnées sont respectivement(m,0),(0, m)et(0,2), oùm?R\{0,2}est un paramètre. a) On noteHml"orthocentre du triangleAmBmC. Donner les coordonnées deHmdans le repèreR. Que peut-on dire deHmlorsquemparcourtR\{0,2}? b) On noteEle point de coordonnées(-1,1)etDmle pied de la hauteur issue deBm.

Montrer queDma pour coordonnées?-2m2+4m

m 2+4 ,2m2+4m m 2+4 et calculer la distance de D màE. Que peut-on dire du lieu des pointsDmlorsquemparcourtR\{0,2}? c) On note(xm, ym)les coordonnées deDm(pied de la hauteur issue deBm). Calculer les limites suivantes: lim m ?0(xm, ym), lim m?2(xm, ym), lim m?-∞(xm, ym), lim m?+∞(xm, ym).

Commentez vos résultats.

d) Pourm=4, faire un dessin et y placer les pointsAm,Bm,C,Dm,E,Hm. 2quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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