Espace et géométrie au cycle 3
du domaine Espace et géométrie du programme de mathématiques du cycle 3 qui sont segment et « le rayon du cercle » qui désigne une longueur et d'autres ...
Espace et géométrie au cycle 3
du domaine Espace et géométrie du programme de mathématiques du cycle 3 qui sont segment et « le rayon du cercle » qui désigne une longueur et d'autres ...
Espace et Géométrie Leçon : Construire des cercles On suppose un
Matière : Mathématiques Il faut noter que le diamètre c'est deux fois le rayon. Pour tracer un cercle il faut un compas et une règle.
Géométrie Mesures de cercles de parties de cercles et de figures
Le périmètre d'un cercle et l'aire d'un disque se calcule de la manière suivante: Cours de mathématiques. Géométrie classique.
LE CERCLE – Définitions et vocabulaire
Le segment CD est un diamètre du cercle et l'arc. CD est un demi-cercle. Mathématiques 9 e année. -3-. Le cercle - Définitions
Chapitre I : Géométrie et trigonométrie
On appelle apothème la perpendiculaire menée du centre du cercle circonscrit sur le côté de l'hexagone nous la noterons a. - La surface du triangle grisé vaut.
NOMBRES COMPLEXES – Chapitre 4/4
Partie 1 : Applications des nombres complexes à la géométrie Démontrer que le périmètre d'un pentagone régulier inscrit dans un cercle de rayon 1 est.
Espace et géométrie au cycle 3 Le disque et le cercle
Un diamètre est une corde passant par le centre du cercle. Un rayon. Un rayon est un segment joignant le centre du cercle et un point du.
Les lunules dHippocrate
Soit le triangle ABC rectangle en B etC le cercle circonscrit à ABC (de diamètre [AC]). La lunule LBC (L1) est la figure formée par le demi-disque de
Attendus de fin dannée de CM1
On ne mobilise alors que les dimensions mathématiques : - la connaissance des propriétés de la forme géométrique ;. - la (re)connaissance ou mise en évidence
NOMBRES COMPLEXES - Chapitre 4/4
鉟 https://youtu.be/ABo2m52oEYw Partie 1 : Applications des nombres complexes à la géométrie Dans la suite, on munit le plan d'un repère orthonormé directPropriété : í µ, í µ et í µ sont trois points deux à deux distincts du plan d'affixes respectives í µ,í µ
et í µ. On a : í µ)4í µí±¢âƒ—;í µí µ 5=arg í µ)4í µí µ5=arg9
Démonstrations :
a) On considère un point í µ, d'affixe í µ tel que í µí µAlors :
í µ-0Comme í µí µ
, í µí µ=í µí µ donc b) í µ a pour affixe í µ=í µ-í µ.Donc 4í µí±¢âƒ—;í µí µ
5=arg et donc 4í µí±¢âƒ—;í µí µ 5=arg c) 4í µí µ5=4í µí µ
5 =4í µí±¢âƒ—;í µí µ5-4í µí±¢âƒ—;í µí µ
5 =arg -arg =arg9 Méthode : Utiliser les nombres complexes en géométrieVidéo https://youtu.be/NjLZfbqRFB0
Soit í µ, í µ et í µ trois points d'affixes respectives í µ =-2-í µ, í µ =1-2í µ et =-1+2í µ. a) Démontrer que le triangle í µí µí µ est isocèle en í µ. b) Démontrer que le triangle í µí µí µ est rectangle en í µ.Correction
1)í µí µ=
1-2í µ-
-2-í µ3-í µ
9+1= 10 -1+2í µ- -2-í µ1+3í µ
1+9= 10Donc í µí µ = í µí µ.
22)4í µí µ
5=argG
H1+3í µ
3-í µ
1+3í µ
3+í µ
3-í µ
3+í µ
3+í µ+9í µ-3
9+110í µ
104í µí µ
5=argG
H=arg 22í µ
On en déduit que l'angle í µí µí µ
L est droit.Méthode : Déterminer un ensemble de points
Vidéo https://youtu.be/WTXu19XC9Lw
Vidéo https://youtu.be/5puq7tzMZAo
Vidéo https://youtu.be/r6RO4ifOf70
Soit í µ un point d'affixe í µ. Dans chaque cas, déterminer et représenter : a) L'ensemble des points í µ tels que í µ-2í µ =3. b) L'ensemble des points í µ tels que í µí µ-3 =1. c) L'ensemble des points í µ tels que í µÌ…-3+í µ í µ-5 d) L'ensemble des points í µ tels que =2. e) L'ensemble des points í µ tels que arg(í µ)= f) L'ensemble des points í µ tels que arg(í µ-2+í µ)=2í µ
Correction
a) Soit í µ le point d'affixe 2í µ alors í µ-2í µ =3 s'écrit : í µí µ=3. En effet : í µ-2í µ L'ensemble des points í µ est le cercle de centre í µ(2í µ) et de rayon 3. b) í µí µ-3 í µ+3í µ í µ+3í µ -3í µSoit í µ le point d'affixe -3í µ alors
í µí µ-3 =1 s'écrit í µí µ=1.En effet :
-3í µ L'ensemble des points í µ est le cercle de centre í µ(-3í µ) et de rayon 1. 3 c) í µÌ…-3+í µ í µÌ…-3+í µ í µÌ¿-3-í µ í µ-3-í µ3+í µ
Soit í µle point d'affixe 3+í µet í µ le point d'affixe 5 alors í µÌ…-3+í µ í µ-5 s'écrit í µí µ=í µí µ. L'ensemble des points í µ est la médiatrice du segment [í µí µ]. d) =2. Soit =2 , en notant que í µâ‰ 0.Soit encore :
=4 On pose í µ=í µ+í µí µ, alors l'équation s'écrit : =4 í µ-1 =4 í µ-1 =4 -2í µ+1=4í µ +4í µ3í µ
+3í µ +2í µ=1 2 3 1 3 +Gí µ+ 1 3 H 1 9 1 3 +Gí µ+ 1 3 H 4 9 L'ensemble des points í µ est le cercle de centre í µ9- 3 : et de rayon e) L'ensemble des points M est la bissectrice de l'angle formé par l'axe des abscisses et l'axe des ordonnées privée de l'origine. f) arg í µ-2+í µ =arg4í µ-2-í µ
5.Soit í µ le point d'affixe 2-í µ alors arg
í µ-2+í µ 42í µ
s'écrit : 4í µí±¢âƒ—;í µí µ 5= 42í µ
En effet, arg4í µ-
2-í µ
5=4í µí±¢âƒ—;í µí µ
5. L'ensemble des points M est la demi-droite d'origine í µ privée de í µ et passant par le point í µ(3). 4Partie 2 : Racine n-ième de l'unité
1) Détermination de l'ensemble í µ
On cherche à déterminer l'ensemble des nombres complexes í µ vérifiant l'égalité í µ
=1 avec í µâˆˆâ„•Définition : Une racine í µ-ième de l'unité est un nombre complexe í µ vérifiant í µ
=1 avecThéorème : L'ensemble í µ
des racines de l'unité possède exactement í µ racines :2í µí µ
, avec í µ entier compris entre 0 et í µ-1.Démonstration au programme :
Existence :
Si í µ
=1 alors =1 et donc =1. On cherche ainsi, les nombres complexes de la forme í µ=í µ , avec í µâˆˆ0;2í µ
Soit : í µ
=14í µ
5 =1 =12í µí µ
On peut ainsi restreindre les valeurs prisent par í µ Ã l'ensemble des entiers compris entre 0 et í µ-1.Donc í µ
2í µí µ
, avec í µ entier compris entre 0 et í µ-1, est une racine de l'unité.Unicité :
Supposons qu'il existe í µ
entier compris entre 0 et í µ-1, tel que í µAlors : í µ
2í µí µ
2í µâ€²í µ
1 12í µí µ=2í µ
í µ+2í µí µí µDonc í µ divise í µ-í µ
Or í µ-í µ
est un entier compris entre 0 et í µ-1. Donc í µ ne peut pas diviser í µ-í µEt donc í µ=0. Soit í µ=í µ
Méthode : Résoudre une équation en utilisant les racines de l'unitéVidéo https://youtu.be/PZWgjj_7G7c
Résoudre dans â„‚ les équations suivantes : a) í µ-1 =1 b) í µ =-1 5Correction
a) í µ-1 =1 í µ-1 est une racine 3-ième de l'unité.On a : í µ-1=í µ
2í µí µ
3 , avec í µ entier compris entre 0 et 2.Soit : í µ-1=1 ou í µ-1=í µ
2í µ
3 ou í µ-1=í µ4í µ
3Soit : í µ=2 ou í µ=1+í µ
2í µ
3 ou í µ=1+í µ4í µ
3 í µ=í±†2;1+í µ2í µ
3 ;1+í µ2í µ
3 e b) í µ =-1 -1 9 -1 =1 =1 -í µ est une racine 5-ième de l'unité.On a : -í µ=í µ
2í µí µ
5 , avec í µ entier compris entre 0 et 4.Soit : -í µ=1 ou -í µ=í µ
2í µ
5 ou -í µ=í µ4í µ
5 ou -í µ=í µ6í µ
5 ou -í µ=í µ8í µ
5Soit : í µ=-1 ou í µ=-í µ
2í µ
5 ou í µ=-í µ4í µ
5 ou í µ=-í µ6í µ
5 ou í µ=-í µ8í µ
5Soit : í µ=-1 ou í µ=í µ
2í µ
5 ou í µ=í µ4í µ
5 ou í µ=í µ6í µ
5 ou í µ=í µ8í µ
5Soit : í µ=-1 ou í µ=í µ
7í µ
5 ou í µ=í µ9í µ
5 ou í µ=í µ11í µ
5 ou í µ=í µ13í µ
5Soit : í µ=-1 ou í µ=í µ
3í µ
5 ou í µ=í µ 5 ou í µ=í µ 5 ou í µ=í µ3í µ
5 í µ=f-1;í µ3í µ
5 5 53í µ
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