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SECOND DEGRE (Partie 2)

Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. SECOND DEGRE (Partie 2). I. Résolution d'une équation du second degré.



SECOND DEGRÉ (Partie 1)

Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. SECOND DEGRÉ (Partie 1). I. Fonction polynôme de degré 2. 1) Définition.



Première générale - Polynômes du second degré - Exercices - Devoirs

Les polynômes du second degré – Exercices - Devoirs. Exercice 1 corrigé disponible. Exercice 2 corrigé disponible https://physique-et-maths.fr ...



FONCTIONS POLYNÔMES DE DEGRÉ 2

Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr Soit une fonction polynôme du second degré telle que ( ) = 2 + .



FONCTIONS POLYNÔMES DE DEGRÉ 2

Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr A noter : Plus généralement on appelle fonction polynôme du second degré



SECOND DEGRÉ (Partie 1)

Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. SECOND DEGRÉ (Partie 1). I. Fonction polynôme de degré 2. Définition : On appelle fonction 



SECOND DEGRÉ (Partie 1)

Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. SECOND DEGRÉ (Partie 1). I. Fonction polynôme de degré 2. Définition : On appelle fonction 



SECOND DEGRÉ

2) Représentation graphique. Page 13. 13. Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. Propriétés : Soit f une fonction polynôme de degré 3 



FONCTIONS POLYNOMES DU SECOND DEGRE

Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. FONCTIONS POLYNOMES DU. SECOND DEGRE. I. Définition. Une fonction polynôme de degré 2 f est 



UNIVERSITY OF DELHI - BACHELOR OF MATHEMATICS (Hons.)

Plotting the graphs of polynomial of degree 4 and 5 and their first and second derivatives

1

SECOND DEGRÉ

I. Fonction polynôme de degré 2

Définition : On appelle fonction polynôme de degré 2 toute fonction f définie sur ℝ par une expression de la forme : où les coefficients a, b et c sont des réels donnés avec ≠0.

Remarque :

Une fonction polynôme de degré 2 s'appelle également fonction trinôme du second degré ou par abus de langage "trinôme".

Exemples et contre-exemples :

=3 -7+3 -5+ =4-2 -4

5-2

sont des fonctions polynômes de degré 2. =5-3 est une fonction polynôme de degré 1 (fonction affine). =5 -7 +3-8 est une fonction polynôme de degré 4. II. Forme canonique d'une fonction polynôme de degré 2 Méthode : Déterminer la forme canonique d'une fonction polynôme de degré 2

Vidéo https://youtu.be/OQHf-hX9JhM

Soit la fonction f définie sur ℝ par : =2 -20+10. On veut exprimer la fonction f sous sa forme canonique : =J(x - J) 2 + J où J, J et J sont des nombres réels. =2 -20+10 =2 -10 +10 =2 -10+25-25 +10 =2 -5 -25 +10 =2 -5 -50+10 =2 -5 -40 ()=2 -5 -40 est la forme canonique de f. car -10 est le début du développement de -5 et -5 -10+25 2

Propriété :

Toute fonction polynôme f de degré 2 définie sur ℝ par ++ peut s'écrire sous la forme : +, où et sont deux nombres réels. Cette dernière écriture s'appelle la forme canonique de f.

Démonstration :

Comme ≠0, on peut écrire pour tout réel x : =A +B

2

C -B

2

C

D+

=AB+

2

C -B

2

C

D+

=B+

2

C

4

=B+

2

C

4

=B+

2

C -4

4

avec =- et = - Remarque : Pour écrire un trinôme sous sa forme canonique, il est possible d'utiliser les deux dernières formules donnant et ... à condition de les connaître !

III. Variations et représentation graphique

Exemple : Soit la fonction f donnée sous sa forme canonique par : =2 -1 +3

Alors : ()≥3 car 2

-1 est positif.

Or

1 =3 donc pour tout x, ≥(1). f admet donc un minimum en 1. Ce minimum est égal à 3.

Propriété :

Soit f une fonction polynôme de degré 2 définie par ()= +, avec ≠0. - Si >0, f admet un minimum pour =. Ce minimum est égal à . - Si <0, f admet un maximum pour=. Ce maximum est égal à . 3

Remarque :

Soit la fonction f définie sur ℝ par : ++, avec ≠0. On peut retenir que f admet un maximum (ou un minimum) pour=- (voir résultat de la démonstration dans II.) - Si >0: x f I- J - Si <0: x f I- J

Dans un repère orthogonal

, la représentation graphique d'une fonction polynôme de degré 2 est une parabole.

Le point M de coordonnées B-

;I-

JC est le sommet de la parabole.

Il correspond au maximum (ou au minimum) de la fonction f. La parabole possède un axe de symétrie. Il s'agit de la droite d'équation =- 4 Méthode : Représenter graphiquement une fonction polynôme de degré 2

Vidéo https://youtu.be/KK76UohzUW4

Représenter graphiquement la fonction f définie sur ℝ par +4. Commençons par écrire la fonction f sous sa forme canonique : +4 -4 -4+4-4 -2 -4 -2 +4 f admet donc un maximum en 2 égal à 2 2-2 +4=4

Les variations de f sont donc données par

le tableau suivant : On obtient la courbe représentative de f ci-contre. Méthode : Déterminer les caractéristiques d'une parabole

Vidéo https://youtu.be/7IOCVfUnoz0

Déterminer l'axe de symétrie et le sommet de la parabole d'équation =2 -12+1. - La parabole possède un axe de symétrie d'équation =- , soit =- = 3. La droite d'équation =3 est donc axe de symétrie de la parabole d'équation =2 -12+1. - Les coordonnées de son sommet sont : B- ;I-

JC, soit :

3;2×3

-12×3+1 3;-17

Le point de coordonnées

3;-17 est donc le sommet de la parabole. =2>0, ce sommet correspond à un minimum. 5 IV. Résolution d'une équation du second degré Définition : Une équation du second degré est une équation de la forme ++=0 où a, b et c sont des réels avec ≠0. Une solution de cette équation s'appelle une racine du trinôme

Exemple :

L'équation 3

-6-2=0 est une équation du second degré. Définition : On appelle discriminant du trinôme ++, le nombre réel, noté D,

égal à

-4. Propriété : Soit D le discriminant du trinôme - Si D < 0 : L'équation ++=0 n'a pas de solution réelle. - Si D = 0 : L'équation ++=0 a une unique solution : - Si D > 0 : L'équation ++=0 a deux solutions distinctes : et Propriété démontrée dans le paragraphe II. Méthode : Résoudre une équation du second degré

Vidéo https://youtu.be/youUIZ-wsYk

Vidéo https://youtu.be/RhHheS2Wpyk

Vidéo https://youtu.be/v6fI2RqCCiE

Résoudre les équations suivantes :

6 a) 2 --6=0 b) 2 -3+ =0 c) +3+10=0 a) Calculons le discriminant de l'équation 2 --6=0 : a = 2, b = -1 et c = -6 donc D = -4 = (-1) 2 - 4 x 2 x (-6) = 49. Comme D > 0, l'équation possède deux solutions distinctes : =2 b) Calculons le discriminant de l'équation 2 -3+ =0 : a = 2, b = -3 et c = donc D = -4 = (-3) 2 - 4 x 2 x = 0. Comme D = 0, l'équation possède une unique solution : c) Calculons le discriminant de l'équation +3+10=0 : a = 1, b = 3 et c = 10 donc D = -4 = 3 2 - 4 x 1 x 10 = -31. Comme D < 0, l'équation ne possède pas de solution réelle. Propriété : La somme S et le produit P des racines d'un polynôme du second degré de la forme ++=0 sont donnés par : =- et =

Exercice : Démontrer ces deux formules.

V. Factorisation d'un trinôme

Démonstration :

Vidéo https://youtu.be/7VFpZ63Tgis

On a vu dans le chapitre "Second degré (partie 1)" que la fonction f définie sur ℝ par ++ peut s'écrire sous sa forme canonique : + avec =- et = -

Donc :

++=0 peut s'écrire : 9 8 9 8 7 B+

2

C -4

4

=0 B+

2

C

4

=0 B+

2

C

4

B+

2

C

4

car a est non nul. - Si D < 0 : Comme un carré ne peut être négatif I <0J, l'équation ++=0 n'a pas de solution. - Si D = 0 : L'équation ++=0 peut s'écrire :

B+

2

C =0

L'équation n'a qu'une seule solution :

- Si D > 0 : L'équation ++=0 est équivalente à : ou + ou + ou = ou= L'équation a deux solutions distinctes : ou Propriété : Soit f une fonction polynôme de degré 2 définie sur par - Si D = 0 : Pour tout réel x, on a : - Si D > 0 : Pour tout réel x, on a : Remarque : Si D < 0, il n'existe pas de forme factorisée de f.

Méthode : Factoriser un trinôme

Vidéo https://youtu.be/eKrZK1Iisc8

Factoriser les trinômes suivants : a) 4

+19-5 b) 9 -6+1 a) On cherche les racines du trinôme 4 +19-5: x 0 b 2a 8

Calcul du discriminant : D = 19

2 - 4 x 4 x (-5) = 441

Les racines sont :

= -5 et

On a donc :

4

+19-5=4X- -5

YB-

1 4 C +5

4-1

Une vérification à l'aide de la calculatrice n'est jamais inutile ! On peut lire une valeur approchée des racines sur l'axe des abscisses. b) On cherche les racines du trinôme 9 -6+1 :

Calcul du discriminant : D = (-6)

2 - 4 x 9 x 1 = 0

La racine (double) est :

$0

On a donc :

9

-6+1=9I- J

3-1

Exercice d'approfondissement pour aller plus loin :

Résoudre l'équation (E) :

1$" "1 $/1$" 1 "1 +'/1+0 =0 - On commence par factoriser les expressions 2 -3-2 et 2 +13+6.

Le discriminant de 2

-3-2 est D = (-3) 2 - 4 x 2 x (-2) = 25 et ses racines sont : "2 et "2 = 2

On a donc : 2

-3-2=2I+ J -2

2+1

-2

Le discriminant de 2

+13+6 est D' = 13 2 - 4 x 2 x 6 = 121 et ses racines sont : = -6 et

On a donc : 2

+13+6=2 +6

I+

J= +6

2+1

- L'équation (E) s'écrit alors : 1$" "1+' 1$" 1 1+0 "1+' =0

Les valeurs -6,

et 2 annulent les dénominateurs. On résout alors (E) sur ℝ∖\-6;- ;2]: 9 (E) s'écrit : "1+' 1 1+0 "1+' =0 1+0 "1+' 1+0 1 1+0 "1+'quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47
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