[PDF] CTU Licence Math. Semestre 5 Calcul des probabilités Devoir III à

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Licence Math. Semestre 5

Calcul des probabilitésDevoir III

à rendre le 01/01/2013

Ce devoir est à renvoyer à

Bruno SAUSSEREAU,

Laboratoire de mathématiques de Besançon,

UFR Sciences et Techniques,

16, route de Gray,

25030 Besançon cedex,

FRANCE

1

2CTU Licence de Mathématiques, Calcul des Probabilités Devoir IIIExercice 1

Une région comporte dix hôpitaux, chacun ayant une capacité opératoire journalière de dix

patients. Le nombre de personnes se présentant chaque jour pour être opérées dans l"hôpitali;

1i10;est modélisé par une v.a.r. de PoissonXide paramètre8. On suppose de plus que

la suite des v.a.r.(X1;;X10)est indépendante. On considère un jour donné. 1. Quelle est la p robabilitéqu"un hôpital donné soit obligé de refuser un patient ? 2.

Quelle est la p robabilitéque l"un au moi nsdes hôpitaux soit obligé de refus erun patient ?

3.

On supp osemaintenant qu"un hôpital saturé a la p ossibilitéde se délester sur un hôpital

non saturé. Quelle est la probabilité qu"un patient ne puisse se faire opérer ce jour-là dans

un des dix hôpitaux de la région?Exercice 2 SoientXetYdeux v.a.r. indépendantes normales centrées-réduites. Déterminer la loi de probabilité de la v.a.r.Z:=XY :Exercice 3 On considère une v.a.X= (X1;X2)à valeurs dansR2suivant une loi de densitéf(x1;x2) = e x111x1x20. 1. Calculer la densité f1de la v.a.r.X1etf2la densité de la v.a.r.X2.

2.X1etX2sont-elles indépendantes?Exercice 4

Soit(Xn)n>1une suite de v.a. telle que la loi deXnest une loiE(n). On suppose que lim n!1n= >0. Étudier la convergence en loi de la suite(Xn)n>1 1. en utilisant la définition de la convergence en l oi; 2. en utilisant le critère des fonctions de répa rtition; 3. en utilisant le critère des fonctions ca ractéristiques. Laquelle de ces trois méthodes vous semble la plus rapide?Exercice 5

Soit(Xn)n2Nest une suite indépendante et identiquement distribuée de v.a.r. de carré intégrable

d"espérance nulle et de variance2>0. Le but de cet exercice est de proposer une démonstration du théorème-limite central. 1. Quelle-es tla fonction ca ractéristiquede la v.a. (X1+:::+Xn)=(=pn)? 2. Écrir ele développ ementlimité (à l"o rdre2) de la fonction caractéristiqueX1en0. 3.

Détermine rlimn!1

X1+:::+Xn=

pn (u)et en déduire la convergence en loi de la suite(X1+:::+Xn= pn )n>1.

Corrigé du devoir III

Exercice 1Enoncé p.2

1. L"événement "l"hôpital idoit refuser un patient" se modélise parfXi>11g. Par suite P(Xi>11) = 1P(Xi610) = 1P(Xi= 1)++P(Xi= 10)'10;816 = 18;4%: 2. L"événement "un hôpital au moins sur les dix refus eun patient" se mo délisepa r fX1>11g [ [ fX10>11g dont l"événement complémentaire est fX1610g \ \ fX10610g: Comme les va.Xisont i.i.d. on écrit que la probabilitéprecherchée est p= 1P((X1610)\ \(X10610)) = 1(P(X1610))10 = 1(0;816)10'87%: 3. Soit Yle nombre total de patients se présentant dans l"ensemble des dix hôpitaux : Y=X1++X10. DoncYest une variable de Poisson de paramètre810 = 80. Donc on peut aussi écrireY=P80 i=1Ziavec(Zi)16i680des v.a.r.i.i.d. de loi de Poisson de paramètre1. L"événement qui nous intéresse estfY>101g. On va appliquer le théorème

central limite pour déterminer une valeur approchée de sa probabilité. On écrit en notant

Tune v.a. de loiN(0;1):

P(Y>101) =P

80X
i=1Z i>101! =P 180
P 80
i=1Zi11=p80 >10180

11=p80

'P(T>2;34) = 1P(T62;34) = 10;9904 = 0;96%:

La probabilité qu"un patient ne puisse se faire opérer ce jour-là dans un des dix hôpitaux

de la région est donc de l"ordre de 1%. 3

4Corrigé du Devoir IIIExercice 2Enoncé p.2

-Notons queZest bien définie pour tout!tel queY(!)6= 0. OrP(Y6= 0) = 1P(Y=

0) = 1carYest une v.a.r. à densité et doncP(Y= 0) = 0.

-Soithmesurable positive, calculons

E(h(Z)) =E(h(X=Y)) =Z

R

2h(x=y)dP(X;Y)(x;y) =Z

R

2h(x=y)12ex2+y22

dxdy: On applique le théorème de changement de variables avec (x;y)2RRT!(u;v) = (x;x=y)2RR:

D"où

E(h(Z)) =Z

R

2h(v)12eu22

(1+1v

2)jujv

2dudv;

avecjuj=v2étant la valeur absolue du jacobien deT1au point(u;v). Par le théorème de Tonelli :

E(h(Z)) =Z

RZ

R12eu22

(1+1v

2)jujv

2du |{z} :=g(v)h(v)dv; et donc la fonctiongest la densité de la v.a.Z. Il reste à l"identifier. On effectue les calculs suivant : g(v) =12Z R eu22 v2+1v 2jujv

2du=1v2Z

1 0 eu22 v2+1v 2 udu:

Posonst=v2+12v2u2,dt=v2+1v

2uduet par ce changement de variables,

g(v) =1(v2+ 1)Z 1 0 etdt=1(v2+ 1) et doncZest une v.a.r. de loi de Cauchy de paramètre 1 (voir exercice 57).Exercice 3Enoncé p.2 1.

La densité de X1est donnée par

f

1(x1) =Z

R f(x1;x2)dx2=Z R ex111x1x20dx2=ex111R+(x1)Z x1 0dx

2=x1ex111R+(x1):

On obtient de même quef2(x2) =ex211R+(x2).

2. On rema rqueque p ourtout x1,x2positifs,f1(x1)f2(x2) =x1ex1x26=f(x1;x2)et donc les v.a.X1etX2ne sont pas indépendantes.

5Corrigé du Devoir IIIExercice 4Enoncé p.2

1. Soit gune fonction continue bornée, calculonslimn!1E(g(Xn)). Si on admet en un premier temps que l"on peut intervertirlimetR, alors on a : lim n!1Z +1 0 g(x)nenxdx=Z +1 0 g(x)exdx=E(g(X)) avecXune v.a. de loiE(). Appliquons le théorème de convergence dominée pour justifier cette intervertion delimetR. On introduit pour cela la suite de fonction intégrable(fn)n>1 définie parfn(x) =g(x)nenx11[0;+1[(x). On a pour toutx: f n(x)!n!1g(x)ex11[0;+1[(x): Il reste à trouver une fonction positive intégrablehtelle quesupnjfn(x)j6h(x). Pour cela on utilise le fait quelimnn=. Il existe donc un rangn0tel que pour toutn>n0, =26n63=2(c"est la définition quantifiée de la limite en choisissant"==2).

Ainsi commegest bornée (parM) on obtient que

jfn(x)j6M3=2e=211[0;+1[(x) :=~h(x) et la fonction ~hest bien intégrable surR. Cette majoration n"est valable que pourn>n0.

Si on veut être rigoureux, on écrit

sup njfn(x)j6 jf1(x)j;;jfn0(x)j;~h(x) :=h(x) qui est aussi intégrable et indépendante den. On peut donc appliquer le théorème de

convergence dominée et le passage à la limite dans l"intégrale est justifié. Ainsi(Xn)n>1

converge en loi versXde loiE(). 2. Si on utilise les fonctions de répa rtitions,la convergence en loi es téquivalente à la convergence des fonctions de répartitions en tout point de continuité de la fonction de répartition de la loi limite. Cela signifie que l"on étudie la limite suivante : lim nP(Xn6t) = limn1ent11R+(t) =1et11R+(t) =P(X6t) toujours avecXde loiE(). Ainsi on obtient plus rapidement la convergence en loi. 3. A vecles fonctions ca ractéristiques,on utilise le fo rmulairep ourécrire que p ourtout 2R:

Xn() =n

ni!n!1i= X() et on obtient aussi très rapidement la convergence en loi. 4.

Je trouve que la troisième métho deest la plus éfficace p ourvuque la fonction ca ractéris-

tique soit présente dans le formulaire.

6Corrigé du Devoir IIIExercice 5Enoncé p.2

1. En utilisant l"indép endancede la suite (Xn)n>1on écrit pour tout2R: (X1++Xn)=(=pn)() =E exp iX1++Xn= pn =E exp i= pn

X1++Xn

X1++Xn=

pn X1= pn n 2.

On a X1(u) = X1(0) +0X

1(0)1!

u+00X

1(0)2!

u2+u2"(u)avec"une fonction vérifiant lim u!0"(u) = 0et de plus on a la relation entre les moments de la v.a.X1et la fonction caractéristique : 0X

1(0) =iE(X1) = 0

00X

1(0) =i2E(X21) =2:

Donc on obtient le développement limité suivant :

X1(u) = 122

u2+u2"(u): 3.

P our2R, on a donc

X1= pn = 122 2

2=n+1n

2 "1pn = 122n+(1=n):

Par suite

lim n!1(X1++Xn)=(=pn)() = limn!1

122n+(1=n)

n = exp 22
X() avecXune v.a. de loiN(0;1). Par la proposition 6.16, on en déduit que X

1++Xn=

pn en loi!n!1N(0;1):quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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