FRACTIONS PUISSANCES
https://www.maths-et-tiques.fr/telech/19RacPuissM.pdf
CALCUL LITTÉRAL
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. CALCUL LITTÉRAL. Tout le cours sur les développements en vidéo : https://youtu.be/gSa851JJn6c.
CALCUL INTÉGRAL – Chapitre 1/2
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr pour calculer l'aire sous la courbe c'est à dire du « bord » de la surface à la surface.
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CALCUL INTÉGRAL (Chapitre 2/2)
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr Méthode : Calculer l'aire délimitée par les courbes de deux fonctions continues et.
REGLES DE CALCUL ENSEMBLES DE NOMBRE
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L3 – COURS DE CALCUL DIFFÉRENTIEL
En revanche comme pour les fonctions continues
Exercices de 3ème – Chapitre 2 – Calcul littéral Énoncés Exercice 1
Écrire comment effectuer mentalement les calculs suivants à l'aide des identités remarquables. a] 103² b] 98² c]. 401×399. 2. Calculer
Cours de Calcul stochastique Master 2IF EVRY
`a P. Elle est facile `a mémoriser par la r`egle de calcul formel suivante: Séminaire de Probabilités XXIII volume 1557 of Lecture Notes in Maths.
SECOND DEGRE (Partie 2)
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. SECOND DEGRE (Partie 2) Calcul du discriminant : A = 192 – 4 x 4 x (-5) = 441.
Cours de Calcul stochastique
Master 2IF EVRY
Monique Jeanblanc
Septembre 2006
2Contents
1.1 Tribu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.1 Existence d'une v.a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4 Variables gaussiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5 Convergence de v.a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5.1 Convergence presque s^ure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5.2 Convergence quadratique, ou convergence dansL2() . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5.4 Convergence en loi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.6 Processus stochastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.6.1 Filtration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.6.2 Processus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.6.3 Processus croissant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.6.4 Processus Gaussiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.7.1 Cas discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.7.5 Variance conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.7.6 Formule de Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.8 Loi conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.8.2 Cas Gaussien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.9 Martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.9.1 Cas discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.9.2 Cas continu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.10 Temps d'arr^et . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.10.3 Processus de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.11 Rappels d'analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
32 LE MOUVEMENT BROWNIEN 23
2.1 Le mouvement Brownien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3.1 Processus gaussien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3.2 Une notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3.3 Scaling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3.5 Equation de la chaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3.6 Trajectoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3.8 Temps d'atteinte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3.9 Brownien multidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.5 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.5.2 Processus d'Ornstein-Uhlenbeck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.5.3 Modµele de Vasicek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3 INT3.2.3 Un exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.2.4 Martingale locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.3 Processus d'It^o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.3.4 Crochet d'un processus d'It^o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.4 Lemme d'It^o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.4.1 Premiµere forme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.4.3 Cas multidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.4.4 Cas du Brownien multidimensionnel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.4.5 Application µa la formule de Black et Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4 EQUATIONS DIFFERENTIELLES STOCHASTIQUES 49
4.1.5 Exemple : Martingale exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.2.3 Formule de Black et Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.2.4 Formule de Feynman-Kac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5 EXEMPLES DE PROCESSUS D'ITO 55
5.2 Modµele de Cox-Ingersoll-Ross . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.4 De¯nitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.4.1 Euclidian norm ofn-dimensional Brownian motion . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.4.2 General de¯nition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.4.3 Scaling properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.4.4 Absolute continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.5 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.5.1 Additivity of BESQ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.5.2 Bessel functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.5.3 Transition densities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.5.4 Hitting times for Bessel processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.5.5 Laplace transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.6 Cox-Ingersoll-Ross processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.6.1 CIR processes and BESQ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.6.2 Transition probabilities for a CIR process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.6.3 CIR model for spot rate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
6 CHANGEMENT DE PROBABILIT
6.1.3 Remarques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
6.1.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
6.1.5 Cas vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
6.2 Application aux modµeles ¯nanciers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
6.2.2 Arbitrages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
6.2.3 Hedging methodology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
6.2.4 Arbitrage et mme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
6.3.4 Valorisation d'une option sur obligation µa coupons . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
Begin at the beginning, and go on till you come to the end. Then, stop.L. Caroll, Alice's Adventures in Wonderland
6CONTENTS
Chapter 1
dans tout le coursde Breiman [?], Grimmett et Stirzaker [?], Jacod et Protter [?] ou encore Williams [?]. Voir aussi des
exercices dans [?] ou dans [?].1.1 Tribu
cet espace. Dans la plupart des cas, la structure de n'a pas de r^ole µa jouer. Par contre, lorsque l'on
(Voir Breiman [?]). On pourra regarder le paragraphe concernant l'existence d'une v.a. (voir ci-dessous)
pour une approche du problµeme. Une tribu (¾-algebra en Anglais) surest une famille de parties de, contenantUne tribu contient donc l'espace .
Un espace mesurable est un espace muni d'une tribu.Proposition 1.1.1
Une intersection de tribus est une tribu.
SoitFune tribu. Une sous-tribu deFest une tribuGtelle queG ½ F, soitA2 GimpliqueA2 F.La plus petite tribu contenant une famille d'ensembles est l'intersection de toutes les tribus qui conti-
Exemple 1.1.1
1 Give us the tools, and we will ¯nish the work. Winston Churchill, February 9, 1941. 7 Soit(;F)et(E;E)deux espaces mesurables. Une applicationfdedansEest dite(F;E)mesurable sif¡1(A)2 F;8A2 E, oµu f¡1(A)def=f!2jf(!)2Ag:
B application mesurable de(;F)dansIR( donc telle queX¡1(A)2 F;8A2 BIR). Une constante est une v.a. de m^eme qu'une fonction indicatrice d'ensemble de la tribuF.Proposition 1.1.2
Une v.a.Gmesurable est limite croissante de v.a. du typenX i=1a i11AiavecAi2 G. Une fonction nX i=1a i11AioµuAiest un intervalle. cette famille, on la note¾(A). Elle est l'intersection de toutes les tribus contenantA. contenant les deux tribusF1etF2. La tribu¾(X) est contenue dansF. C'est la plus petite tribu sur rendantXmesurable.Une v.a.r.XestG-mesurable si¾(X)½ G.
petite tribu contenant les ensemblesfX¡1t(A)gpour toutt2[0;T]etA2 BIR. On la note¾(Xt;t·T). a)P() = 1; b)P([1n=0An) =P1 n=0P(An) pour desAnappartenant µaFdeux µa deux disjoints.Notation:P(A) =R
AdP=R 11A(!) = 1 si!2Aet 11A(!) = 0 si! =2A.
July 8, 20069
On aP(A) +P(Ac) = 1 pour toutAappartenant µaF.
SiA½B, alorsP(A)·P(B) etP(B) =P(A) +P(B¡A), oµuB¡A=B\Ac. (resp.An¾An+1), et siA=[nAn(resp.A=\nAn) alorsAappartient µaFetP(A) = limP(An). pour toutA2 C, oµuCest une famille stable par intersection ¯nie et engendrantF. AlorsP=QsurF. (c'est-µa-dire de montrer que siC12 C;C22 C, l'intersectionC1\C2appartient µaC). Un espace (;F;P) est ditcomplets'il contient tous les ensemblesGtels que inffP(F) :F2 F;G½Fg= 0.
parF(x) =P(X·x).Af(x)dx. En particulierP(X2[a;b]) =Rb
af(x)dx. Il nous telles queP(X·a) =P(Y·a);8a2IR, alorsXetYont m^eme loi, ce que l'on noteraXloi=Y.1.3.1 Existence d'une v.a.
P(d!) =1
p2¼exp¡!2
2 FX(x) =P(X < x) =Z
11 !2¼exp¡!2
2 d! :D'o'uXest une v.a. Gaussienne.
espace: soit = que la v.a. soit de loi gaussienne et on poseP=P1P2. Si on souhaite construire une v.a. de loi exponentielle, on choisit =IR+.XdPque l'on noteE(X) ou
E XdP=RIRxdPX(x).
XdPE(©(X)) =Z
©(X)dP=Z
IR©(x)dPX(x):
IRxf(x)dxetE(©(X)) =R
IR©(x)f(x)dx.
de la formee¸x;¸2IRpour avoirXloi=Y. fonctionÃ(t) =E(eitX) =Z
IR eitxPX(dx):IReitxf(x)dx. La fonction car-
f(x) =12¼Z
1 ¡1 e¡itxÁ(t)dtvariable. Mais dans ce cas il n'y a pas de formule d'inversion simple. Pour conna^³tre la loi d'un couple
(X;Y), il su±t de conna^³treE(exp(¸X+¹Y)) pourtoutcouple (¸;¹). Lorsque la v.a.Xest positive,
Exemple 1.3.1
Exemple fondamental :SiXest une variable gaussienne de loiN(m;¾2), on aE(e¸X) = exp(¸m+¸2¾2
2 );8¸2IRProposition 1.3.1
c'est µa direE(aX+bY) =aE(X) +bE(Y);
©(E(X)).
July 8, 200611
jXij¸ajXijdP!0 quand a! 1.P(A\B) =P(A)P(B);8A2 F1;8B2 F2:
8A2 C1;8B2 C2oµuCiest une famille stable par intersection telle que¾(Ci) =Fi.
Proposition 1.3.2
PfA\(X·x)g=P(A)P(X·x);8x2IR;8A2 G:
Proposition 1.3.3
E('(X;Y)) =E(f(X)) =E(g(Y));avecf(x) =E('(x;Y)); g(y) =E('(X;y))Proposition 1.3.4
f(x) = exp(¡¸x) etg(x) = exp(¡¹x) pour tous¸;¹positifs. dire siP(\1·i·nAi) =QP(A) = 0()Q(A) = 0:
dQ dP EQ(Z) =Z
ZdQ=Z ZdQ dP dP=ZZY dP=EP(ZY)
On a aussi
dP dQ =1 Y SiYest seulement positive, on aP(A) = 0 =)Q(A) = 0 et on dit queQest absolument continue par rapport µaP.Exemple 1.3.2
P(U= 0) = 1¡p; P(U= 1) =p:
SoitdQ=Y dP, on aQ(U= 1) =¸p. SousQ,Uest une variable de Bernoulli de paramµetre¸p.2. SiXest une v.a. de loiN(m;¾2) sousPet soitY= expfh(X¡m)¡1
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