[PDF] Chapitre 3 Equations différentielles ordinaires

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Chapitre3

Equationsdi

érentiellesordinaires

3.1Int roduction

Qu'est-cequec'estuneéquat iondi

érentielleordinaire?C'es tune

équationdéfinieentermesd'u nevariablet!I,Ii nter valleréel,une fonctioninconnuey:I"#R n etses dérivées parrapportàt.Enformule: Unefonct ionyquivérifie F(t,y(t),y$(t),y$$(t),···)=0s'appellesolu- tiondel'EDO . UneEDOes td'ordreksielleco ntientlesdér ivéesdeyjusqu'àl'ordrek.

Exemple14Leéqua tions:

y$(t)%t=0; y 2 $(t)%y(t)=0; e y 2 $(t) %t 2 +y=0; sontéquati ondi

érentiellesordinaires.

Sin=1onpar led'équationdi!érentiellescalaire.Sin>1onparle d'equationdi érentiellevectorielle.Parexem plel'équationpourl'incon- nuey(t)=(y 1 (t),y 2 (t)))!R 2 y$(t)=||y|| 2 y 39

403.2. Existenceetun icitélocalespourleprobl èmedeCa uchy

estunpr emierexemp lesimpled'équat ionvectorielle. Exemple15L'EDOd'ordre 2lapluscélèbreestladeuxièmeloide New- ton:

F(x)=mx!!(t)

quidécri tperexempleladynami qued'unp ointmatériellesoumisà la résultantedesforcesF. Onpeutécr irelaloi deNewtonentermesd usyst ème: x!(t)=v v!(t)= 1 m F(x) dedeuxéq uationsd' ordre1.Engeneraluneéquatio nscalaired'ordrek peutêtreécri tecommeuns ystèmedekéquationsd'ordre1.

Danslasuite onvacon sidererdeséquation sdi

érentiellesd'ordreksous

laform enormale: y (k) =f(t,y,···,y (k"1) )k#N

3.2Exist enceetunicitélocalespourleprobl èmede

Cauchy

SoitIuninter val le,f:I$R

n %&R n .On consider el'EDO: y!(t)=f(t,y(t)) Onpeutp enseràcetteéqu ationcommeun phén omèneévolut ifentemps (la variab let).Commeleproblèmededét ermi nertout eslesprimitives d'unefonctiondon née,cetteproblèmeadmetengenér alunnombrein- finidesolu tions. Pourchoisirunesolutionparticul ièreonimpose une conditioninitiale,c'estàdir e y(t 0 )=y 0 cequ iveutdireq ueàl'ins tantinitialt 0 laloiev olutiveva uty 0

Chapter3:Equationsdi !érentiellesordinaires41

Définition3.2.1[ProblèmedeCauchy]Onappell eprobl èmedeCauchy leprob lèmedetrouveruneintervall eItelq uet 0 !Ietunefo nction y:I"#R n quivérifie : y$(t)=f(t,y(t))t!I y(t 0 )=y 0 ,t 0 !I,y 0 !R n Premièrequestion:sous quellesconditionsexiste-t -il unesolution dupro- blèmedeCauch y?Deuxi èmequestion:cettesolutio nest-elleunique? Lethéor èmedeCauchy-Lipsch itzdon neuneréponseàcesdeuxques- tions.Sifsatisfaituneconditionsupplém entaire,alo rsl'existenceet l'unicitéd'unesolutionso ntassuréeslocalement ,c'estàdiresurun(pe- tit)interval leautourdet 0 Lacondi tionsupplémentairequ'ondem andepourlafonctionfestd'êtr e lipschitzienneparrapportàlavariableydansunv oisinagedu point initialy 0 Définition3.2.2[Fo nctionlocalementlipsch itzienne]SoientIunin- tervalle,DunouvertdeR n ,f:I%D"#R n .Soi ent(t 0 ,y 0 )!I%D.

SoitJ&Dunvois inagedupointy

0 .Onditquefestlipsch itzienne parrappo rtàlavariableydanslevois inageJsiilex isteune constante

L>0etile xisteu nvoisinageU&Idupoint t

0 telsque: ||f(t,y 1 (t))'f(t,y 2 (t))||(L||y 1 (t)'y 2 (t)|| poury 1 (t),y 2 (t)!J,t!U.

Exemple16 Lafonct ionf:R"#R

f(y)= y n'estpaslipschi tzienneauvo isinagedey=0.Enfait: lim (y 1 ,y 2 )#(0,0) |f(y 1 )'f(y 2 |y 1 'y 2 etparc onséquencei lnepeutpasexisteraucuneconsta nteLvérifiantla conditiondeLipschitz.Cep endantfestlipsch itziennesurtoutintervalle

423.2. Existenceetun icitélocalespourleprobl èmedeCa uchy

[a,b]avecb>a>0.Enfaitpouttouty 1 (t),y 2 (t)![a,b]ona: (y 1 (y 2 |y 1 "y 2 1 (y 1 (y 2 1 2 (a) Etdoncl aconditio ndeLip schitzestvérifiéeavecL= 1 2 (a) Siunef onction(d' unevariable)estdérivabl eauvoisinaged'unp ointet ladériv éeestbornéedanscev oisina ge,alorslafoncti onestlocalement lipschitzienne.Laréciproqueestfausse:ilya desfonct ionslipschitziennes quineson tpasdér ivables.Siune fonctiones tdeclasseC 1 alorselleest localementlipschitzienne.

Exemple17 Lafonct ionf:R%&R

f(y)=|y| estlipsc hitzienneauvoisinagedetouty!R.Enfaitpourtouty 1 ,y 2 !R ona: |f(y 1 )"f(y 2 )|=||y 1 |y 2 Lacondi tiondeLipschitzestdoncvé rifiéea vecL=1: ||y 1 |y 2 |y 1 "y 2 Noterquelafonct ionvaleur absolu en'estpasdérivableen y=0.Ce- pendantelleestlip shcitizienne. Théorème3.2.3[Ca uchy-Lipschitz]Soie ntI unintervalle,Dun ouvertdeR n ,f:I'D%&R n .Soi ent(t 0 ,y 0 )!I'D.Sifest continueetlipschitz iennepar rapportàsadeuxièmevariabledansun voisinagedupointy 0 ,alorsleproblèmedeCauchy:quotesdbs_dbs13.pdfusesText_19

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