VARIATIONS DUNE FONCTION
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr Lorsqu'on se promène sur la courbe en allant de la gauche vers la droite :.
DÉRIVATION
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. 2. On veut déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de f au.
LES FONCTIONS DE REFERENCE
Déterminer l'expression de la fonction affine dont la courbe représentative est la droite (AB). Exercice 9. Dans un repère tracer la représentation graphique
Exercices de mathématiques
MENESR/DGESCO http://eduscol.education.fr/ressources-maths. Ressources pour le l'axe des abscisses et la courbe C et d'autre part par.
DM Terminale B Spe math Soit la fonction f définie et dérivable sur ?
DM Terminale B Spe math. Soit la fonction f définie et dérivable sur ? par : f (x)=. 4 e x +1. On note C sa courbe représentative. Partie A.
FONCTIONS DE REFERENCE
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr La courbe de la fonction carré est appelée une parabole de sommet O.
Courbes paramétrées
seulement si les fonctions x et y le sont. Dans ce cas le vecteur dérivé de la courbe en t0 est le vecteur x (t0) y (t0) . Ce vecteur se note. ???. dM.
cours-exo7.pdf
Plan d'étude d'une courbe paramétrée . Cours et exercices de maths ... dM dt. (t0) =0 une équation de la tangente T0 en M(t0) est donc fournie par :.
LONGUEUR DUN ARC DE COURBE
On considère un point M qui se déplace le long de la courbe de A à B par déplacements infinitésimaux ???. dM. A. B x y. M. Figure 1. dM. O. Chacun de ces
801 énigmes. . . de Âne à Zèbre
Théorème du papillon » « courbe de poursuite du chien »
DM Terminale B Spe math
Soit la fonction f définie et dérivable sur ℝ par : f(x)=4 ex+1On note C sa courbe représentative
Partie A
Soit g la fonction définie par
g(x)=ex-xex+11) Etudier les variations de g
g est une somme de fonction dérivable sur r donc g est dérivable sur r et on a : g'(x)=ex-(1×ex+x×ex) = -xexpour tout réel x , ex est strictement positif, donc le signe de g' est celui de -x d'où : •pour tout x positif, g' est négative et g décroissante •pour tout x négatif, g' est positive et g croissante2) Dresser le tableau de variations complet de g
Etude des limites :
•on sait de part les croissances comparées que lim x→-∞ xex=0 d'où comme lim x→-∞e x=0 par somme on a lim x→-∞ g(x)=1 •En +∞ , on a une FI donc on factorise g(x)=(1-x)ex+1 lim x→+∞1-x=-∞ et limx→+∞e x=+∞ donc par produit lim x→+∞(1-x)ex=-∞ et lim x→+∞ g(x)=-∞D'où le tableau de variation :
x-∞0+∞ g'(x)+0- g(x) 123) Montrer que l'équation
g(x)=0 admet une unique solution α.Donner un encadrement de α d'amplitude
10-2•Sur ]-∞;0], la fonction g est croissante et minorée par 1 donc l'équation g(x)=0 n'a pas de
solution •Sur [0;+∞[, g est décroissante et continue et on a g([0;+∞[)=]-∞;2].Comme 0 ∈ [-∞;2], d'après le th de la bijection, il existe une unique réel α ∈ [0;+∞[
•l'équation g(x)=0 admet donc une unique solution α •La calculatrice donne α entre 1,27 et 1,284) Démontrer que eα=1
α-1
On sait que g(α)=0 donc eα-αeα+1=0 eα(1-α)=-1 et eα=1α-1
5) Etudier le signe de g
g est positive sur ]-∞;α] et négative sur [α;+∞[Partie B Soit M un point de C et les projetés B et U de M sur les axes du repère (voir figure)1) Soit A la fonction qui à tout x ∈ ℝ+ , associe l'aire du rectangle
BOUM a) Déterminer A(x)A(x)=OB×BM=x×f(x)=x×4
ex+1=4x ex+1b) Déterminer les variations de A A '(x)=4(e x+1)-4xex(e x+1)2 = 4g(x) (ex+1)22) Montrer que l'aire du rectangle BOUM est maximale lorsque M a pour abscisse α
Le signe de A' est celui de g(x) donc d'après la question partie A 5, on en déduit que A' est positive
sur]-∞;α] et négative sur [α;+∞[ d'où A est croissante puis décroissante et admet un maximum
en x = αDéterminer un encadrement de cette aire maximale déduit de celui de α obtenue à la partie A
1,27<α<1,28 donc la fonction expo étant croissante elle conserve l'ordre et
e1,271+e1,28<1
1+eα<1
1+e1,27 d'où
4×1,27
1+e1,28<
A(α)<4×1,28
1+e1,27 c'est à dire 1,10 f'(x)=-4ex (ex+1)2droite parallèle donc coefficient directeur égaux •coefficient directeur de la tangente : f'(α) = -4eα (eα+1)2 •B a pour coordonnées (α;0) et U (0;f(α))coefficient directeur de (BU) : a = yB-yU xB-xU = 0- f(α) α-0 = -4
α(1+eα)
•On sait que eα=1 α-1 d'où 1+eα =...=
αα-1 d'où
f'(α) = -4 α-1
(αα-1)2 = -4(α-1) α2 et a =
-4 α(αα-1) = -4(α-1)
α2 d'où les droites
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