LES FONCTIONS DE RÉFÉRENCE
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. LES FONCTIONS DE RÉFÉRENCE d'équation = de la fonction cube est symétrique.
FONCTION DERIVÉE
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. FONCTION DERIVÉE. I. Dérivées des fonctions usuelles. Exemple : Soit la fonction f définie sur
FONCTIONS DE REFERENCE
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. III. Etude de la fonction cube. Vidéo https://youtu.be/PRSDu_PgCZA.
VARIATIONS DUNE FONCTION
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr En effet la fonction cube étant croissante
LES FONCTIONS DE RÉFÉRENCE
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. LES FONCTIONS DE RÉFÉRENCE d'équation = de la fonction cube est symétrique.
FONCTIONS POLYNÔMES DE DEGRÉ 3
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. FONCTIONS POLYNÔMES. DE DEGRÉ 3. I. Définition. Exemples et contre-exemples :.
CONVEXITÉ
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr La fonction cube ? est concave sur ]?? ; 0] et convexe sur [0 ; +?[.
FONCTIONS DE REFERENCE
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. FONCTIONS DE REFERENCE Définitions : Soit f une fonction définie sur un intervalle I.
INTÉGRATION (Partie 1)
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. 1. INTÉGRATION (Partie 1) La courbe représentative de la fonction cube est en.
A la dcouverte de la fonction cube
À la découverte de la fonction cube Fonctions affines et fonctions polynômes de degré 2. ... http://eduscol.education.fr/ressources-maths.
CONVEXITÉ
Tout le cours en vidéo : https://youtu.be/gge4xdn6cFAPartie 1 : Dérivée seconde
Définition : Soit une fonction dérivable sur un intervalle dont la dérivée ′ est dérivable
sur .On appelle fonction dérivée seconde de sur la dérivée de ′ et on note :
Méthode : Calculer la dérivée seconde d'une fonctionVidéo https://youtu.be/W6rypabq8uA
Calculer la dérivée seconde de chacune des fonctions , et ℎ définies par :
=3 -5 +1 =cos(2)Correction
=9 -10 )′=18-10 ()=1× (1+)1+
×1=
(2+) =-2sin(2) =-2×2cos2
=-4cos(2)Partie 2 : Fonction convexe et fonction concave
1) Définitions avec les cordes
Définition : Une corde est un segment reliant deux points d'une courbe. 2 Définitions : Soit une fonction définie sur un intervalle .- La fonction est convexe sur , si sa courbe est entièrement située en dessous de chacune
de ses cordes.- La fonction est concave sur , si sa courbe est entièrement située au-dessus de chacune
de ses cordes.Fonction convexe Fonction concave
2) Définitions avec les tangentes
Définitions : Soit une fonction dérivable sur un intervalle .- La fonction est convexe sur , si sa courbe est entièrement située au-dessus de chacune
de ses tangentes.- La fonction est concave sur , si sa courbe est entièrement située en dessous de chacune
de ses tangentes.Fonction convexe Fonction concave
Méthode : Reconnaître graphiquement la convexitéVidéo https://youtu.be/ERML85y_s6E
Reconnaître graphiquement la convexité des deux fonctions représentées sur l'intervalle [-3;5]. 3 a) b)Correction
a) La fonction est concave. Sa courbe est en effet entièrement située en dessous de chacune de ses tangentes. b) La fonction est d'abord convexe puis concave. Remarque : On aurait pu obtenir ses résultats en utilisant les cordes. 43) Propriétés
Propriétés :
- La fonction carré ⟼ est convexe sur ℝ. - La fonction cube ⟼ est concave sur -∞;0 et convexe sur0;+∞
- La fonction inverse ⟼ est concave sur -∞;0 et convexe sur0;+∞
- La fonction racine carrée ⟼ est concave sur0;+∞
- Admis -Propriété :
Soit une fonction définie et dérivable sur un intervalle .- Dire que la fonction est convexe sur , revient à dire que sa dérivée ′ est croissante sur
, soit : ′′()≥0.- Dire que la fonction est concave sur , revient à dire que sa dérivée ′ est décroissante
Remarque : Dans la pratique, pour étudier la convexité d'une fonction, on détermine le signe
de la dérivée seconde.Démonstration au programme :
Vidéo https://youtu.be/-OG8l5Batuo
- Démontrons que : est convexe, si ′ est croissante : On considère la fonction dérivable sur I et définie par :Alors : ′
Or ′ est croissante sur I, donc ′ est également croissante.De plus, ′
On peut donc compléter le tableau de variations de .En effet :
=0Donc
≥0 sur I.Soit
On en déduit que la courbe représentative de est au-dessus de ses tangentes sur I et donc
que est convexe sur I.- Démonstration analogue pour prouver que : est concave, si ′ est décroissante.
5 Méthode : Étudier la convexité d'une fonctionVidéo https://youtu.be/8H2aYKN8NGE
Soit la fonction définie sur ℝ par 1 3 -9 +4.Étudier la convexité de la fonction .
Correction
-18. =2-18On a :
=0pour =9.Pour tout ≥9, ′′
≥0.Donc est concave sur
-∞;9 et est convexe sur9;+∞
Partie 3 : Point d'inflexion
Définition : Soit une fonction dérivable sur un intervalle .Un point d'inflexion est un point où la courbe
traverse sa tangente. Propriété : Au point d'inflexion, la fonction change de convexité.Exemple :
On considère la fonction cube ⟼La tangente en 0 est l'axe des abscisses.
Pour ≥0, la courbe est au-dessus de sa tangente. L'origine est donc le point d'inflexion de la courbe de la fonction cube. La tangente à la courbe traverse donc la courbe en ce point. 6 Méthode : Reconnaître graphiquement un point d'inflexionVidéo https://youtu.be/r8sYr6ToeLo
Déterminer graphiquement le point d'inflexion des fonctions représentées ci-dessous. a) b)Correction
a) La fonction est d'abord concave puis convexe. Le point de coordonnées (0 ; 1) semble être un point d'inflexion de la courbe. b) La fonction est d'abord convexe puis concave. Le point de coordonnées (2 ; 1) semble être un point d'inflexion de la courbe. 7 Méthode : Étudier la convexité pour résoudre un problèmeVidéo https://youtu.be/_XlgCeLcN1k
Une entreprise fabrique des clés USB avec un maximum de 10 000 par mois.Le coût de fabrication (en milliers d'euros) de milliers de clés produites s'exprime par :
=0,05 -1,05 +8+4, définie sur l'intervalle [0 ; 10].1) À l'aide de la calculatrice, conjecturer la convexité de la fonction .
En déduire si la courbe possède un point d'inflexion.2) Démontrer ces résultats.
3) Interpréter les résultats obtenus au regard du contexte de l'exercice.
Correction
1) La fonction semble concave sur l'intervalle [0 ; 7] et convexe sur l'intervalle
[7 ; 10]. La courbe semble posséder un point d'inflexion pour =7.2)
=0,05 -1,05 +8+4 =0,15 -2,1+8 =0,3-2,1Or, 0,3-2,1=0 pour =7.
8On peut ainsi résumer les variations de ′ et la convexité de dans le tableau suivant :
7 =25,7 Ainsi, le point de coordonnées (7 ; 25,7) est un point d'inflexion de la courbe.3) Avant le point d'inflexion, la fonction est concave, la croissance du coût de fabrication
ralentie. Après le point d'inflexion, la fonction est convexe, la croissance du coût de fabrication s'accélère.Ainsi, à partir de 7000 clés produites, la croissance du coût de fabrication s'accélère.
Méthode : Prouver une inégalité en utilisant la convexité d'une fonctionVidéo https://youtu.be/AaxQHlsxZkg
Soit la fonction définie sur ℝ par -2 a) Étudier la convexité de la fonction . b) Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de la fonction en -1. c) En déduire que pour tout réel négatif, on a : -2Correction
a) ′ =3 -4. =6-4 qui s'annule pour = 2 3Pour tout ≥
2 3 ≥0.Donc est concave sur M-∞;
2 3M et est convexe sur N
2 3 ;+∞N. b) L'équation de la tangente à la courbe de la fonction en -1 est de la forme : -1 -1 -1On a :
-1 =3× -1 -4× -1 =7 -1 -1 -2× -1 =-3 Donc, l'équation de la tangente en -1 est : =7 +1 -3 soit : =7+4 c) est concave sur M-∞; 2 3 M donc sur cet intervalle, la courbe représentative de est située en dessous de ses tangentes. Soit, en particulier, la courbe de est située en dessous de la tangente en -1. 0 7 10 - O +quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47[PDF] Maths de 2°
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