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2020

VOIE ECONOMIQUE ET

COMMERCIALE

VOIE SCIENTIFIQUE

CORRIGÉ

MATHEMATIQUES

ESPRITDEL'

EPREUVE

•V´erifierchezlescandidatsl 'existencede sbasesn´ec essairespourdes´etudes sup´erieuresdemanagement.

•Appr´ecierl'aptitude`alireet comprendreun´enonc´e,choisiru noutil adapt´eetl'appl iquer( th´eor`eme).

•Appr´ecierlebonsensdescandidat setlar igueurd uraisonnement . SUJET •Deuxexercic esd'applicationdesconnaissancesd ebase •Unp robl`emefaisantlargementappel auxprobabilit´es.

EVALUATION

•Lesdeu xexercicesson tdevaleursensiblement´egaledan slebar`em e. •12` a14point sson tdestin´esauprob l`eme.

EPREUVE

Aucundocument etinstrumentdecalculn'e stauto ris´e.

Lescand idatssontinvit´es`asoign erlapr´es entationdeleurcopie,`amett reen´e videncelesprin cipaux

r´esultats,`arespecterlesnotation sdel'´ enonc´e,et`adonnerdesd´emonst rationscompl `etes(mais

br`eves)deleursa rmations.

ANNALESDUCONCOURSECRIC OMEPRE PA2020-PAGE1

Lessujet setcorrig´espubli ´esici sontlapropri´et´eexclu sived'ECRICOME. Ilsnepe uventˆ etrereproduits`adesfins commercialessans unaccordpr´ealabled'ECRICOME.

CORRIG

E

EXERCICE1

1.(a)T

2 (X)=2XT 1 (X)!T 0 (X)DoncT 2 (X)=2X 2 !1 EtT 3 (X)=2XT 2 (X)!T 1 (X)=2X(2X 2 !1)!X.DoncT 3 (X)=4X 3 !3X. (b)Proc´edonsparr´ecurrencedoubl e.

InitialisationT

1 etT 2 sontdedegr´ es1et2.

H´er´edit´eSoitn"N

,su pposonsqueT n estdedegr ´enetqu eT n+1 estdedegr´ en+1.

Alors2XT

n+1 estdedegr ´en+2etT n estdedegr ´en.En particu lierdeg(2XT n+1 )#=deg(T n DoncT n+2 estdedegr ´emax deg(XT n+1 ),deg(T n =n+2.

Ainsi,parr´ecurr encedou ble,pourtoutn"N

:T n estdedegr´ en. (c)Pourtout0!k!n,T k estdedegr ´ek,don cappartient `aR n [X].

Lafam illeB

=(T 0 ,...,T n )es tdonclibr eentantque familledepolynˆom esnonnu lsdedegr´e s2`a2 distincts.Deplus,Card(B )=n+1=dim(R n [X]). DoncB estunebase deR n [X].

2.(a)Enappli quantlaformuledonn´eeparl'´ enonc´ eaveca=(n+1)xetb=nx,onob tie nt

2cos(x)cos((n+1)x)=c os(( n+2)x)+c os(nx)

(b)Soitx"R.Pr oc´edonsparr´ecurrencedouble.

InitialisationT

0 (cos(x))=1=c os(0 x) EtT 1 (cos(x))=cos( x)=c os(1 x).

H´er´edit´eSoitn"N,su pposonsqueT

n (cos(x))=cos( nx)etT n+1 (cos(x))=cos( (n+1)x). Alors T n+2 (cos(x))=2c os(x)T n+1 (cos(x))!T n (cos(x)) =2c os(x)cos((n+1)x)!cos(nx)par hypoth` eseder´ecurrence =cos ((n+2)x)+c os( nx)!cos(nx)d 'apr`eslaquestionpr´ec´ edent e =cos ((n+2)x)

Ainsi,parr´ecurre ncedoub le,pourtoutn"N:T

n (cos(x))=cos (nx).

3.(a)Soit(P,Q)"(R[X])

2

Lafon ctiont$!%

P(t)Q(t)

1!t 2 estcontinu esur]!1,1[. Lafon ctiont$%P(t)Q(t)es tcontinues urlesegment[!1,1],doncb orn´eesur [!1,1].Ilex isteal ors unr´ eelM"0telque: 't"]!1,1[,

P(t)Q(t)

1!t 2 M 1!t 2

ANNALESDUCONCOURSECRIC OMEPRE PA2020-PAGE2

Lessujet setcorrig´espubli ´esici sontlapropri´et´eexclu sived'ECRICOME. Ilsnepe uventˆ etrereproduits`adesfins commercialessans unaccordpr´ealabled'ECRICOME.

Deplus ,auvoisinagede1:

1 1!t 2 t#1 1

2(1!t)

,et l'int´ egrale 1 0 1 1!t dt= 1 0 dt (1!t) 1/2 convergeentantqu'int ´egraled eRiemann. Parcrit `ered'´equivalencedefonct ionspositives,l'int´egrale 1 0 M 1!t 2 dtconverge.

Parcri t`eredemajoration,l'int´egral e

1 0

P(t)Q(t)

1!t 2 dtconverge.

Doncparabsol ueconve rgence,l'int´egr ale

1 0

P(t)Q(t)

1!t 2 dtconverge.

Parsym´ etrie(remarquonsquelafonctiont$%

1 1!t 2 estpaire), l'int´egrale 0 $1 1 1!t 2 dtconverge, doncl'int ´egrale 0 $1

P(t)Q(t)

1!t 2 dt. Ainsi 1 $1

P(t)Q(t)

1!t 2 dtconverge. (b)Sym´etriePourtoutcoup le(P,Q)de polynˆom es,)P,Q*=

P(t)Q(t)

1!t 2 dt= 1 $1

Q(t)P(t)

1!t 2 dt=)Q,P* bilin´earit´eSoitP,QetRdespolynˆom esdeR[X]et!unr´ eel. )P,Q+!R*= 1 $1 P(t)

Q+!R)(t)

1!t 2 dt 1 $1

P(t)Q(t)

1!t 2 dt+! 1 $1

P(t)R(t)

1!t 2 dtcarcesi nt´egrales convergentd'apr`es3(a) =)P,Q*+!)P,R* Donclafonct ion(P,Q)$!%)P,Q*estlin´eai reparrapport`asadeuxi`emev ariablee tparsym´etrie, bilin´eaire.

PositiveSoitP"R[X].

Comme't"]!1,1[,

P 2 (t) 1!t 2 "0,par positiv it´edel'int´egraleconvergente(le sbornes sontdans l'ordrecroissant),ona bien 1 $1 P 2 (t) 1!t 2 dt"0.

D´efinie-positiveSoitP"R[X]esttelque

1 $1 P 2 (t) 1!t 2 dt=0.

Lafon ctiont$!%

P 2 (t) 1!t 2 ´etantpositiveetc ontinuesur]!1,1[,ona:'t"]!1,1[, P 2 (t) 1!t 2 =0. Alors't"]!1,1[,P(t)=0. Lepol yn ˆome Padmetuneinfin it´ederaci nes,ilestdoncn´ecessai- rementnul. Donc

R[X]+R[X]!%R

(P,Q)$!% 1 $1

P(t)Q(t)

1!t 2 dt estbienu nproduitscalai resurR n [X].

ANNALESDUCONCOURSECRIC OMEPRE PA2020-PAGE3

Lessujet setcorrig´espubli´ esici sontlapropri´et´eexclus ived'ECRICOME. Ilsnep euvent ˆetrereproduits`adesfins commercialessan sunaccordpr´ealabled'ECRICOME. (c)D'apr`eslerappeldel'´e nonc´e, cos(mx)cos(nx)= 1 2 cos((m+n)x)+c os(( m!n)x)

Enint´ egrant,sachantquem+n#=0etm!n#=0:

0 cos(nx)cos(mx)dx= 1

2(m+n)

sin (m+n)x 1

2(m!n)

sin (m!n)x 0 sin (m+n)"quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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