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UNIVERSITÉ PARIS 7 - DENIS DIDEROT

UFR DE MATHEMATIQUES

Année 2005

Thèse

Pour l'obtention du Diplôme de

Docteur de l' UNIVERSITÉ PARIS 7

Spécialité

DIDACTIQUE DES MATHEMATIQUES

Par

Julie HOROKS

Date de soutenance : 27 janvier 2006

Les triangles semblables en classe de 2

nde

Des enseignements aux apprentissages

Etude de cas

Directeur de thèse

Aline ROBERT

Membres du Jury

Jean-Luc Dorier (rapporteur)

Christophe Hache

Colette Laborde (rapporteur)

Claire Margolinas

Marie-Jeanne Perrin

Aline Robert (directeur)

Janine Rogalski (invitée)

2 3

Remerciements

Les toutes premières personnes à remercier sont sans aucun doute les trois professeurs qui ont bien voulu me laisser filmer leurs cours, et sans lesquels il n'y aurait pas eu de recherche possible. Je remercie aussi Fabienne et Monique pour avoir choisi de prolonger mes observations et m'avoir offert de précieuses données supplémentaires. Je remercie toute l'équipe DIDIREM - les plus ou moins jeunes chercheurs ! - dont je suis

heureuse d'avoir fait partie pendant ma thèse. En particulier, Valentina pour sa passion des vieux

manuels scolaires, Lalina pour tout ce qu'elle a à dire, Mariam pour ses conseils avisés sur SPAD, Fabrice pour sa bonne humeur et Christophe pour tout le reste. Je remercie mes rapporteurs pour leur relecture éclairée, et surtout Jean Luc Dorier pour la

richesse de ses remarques. Merci aussi à tous ceux qui ont prêté un oeil ou une oreille attentive à

mon travail, et lui ont permis de progresser. Merci à mes amis qui ont suivi tout ça de près, et merci à ceux qui sont venus de loin.

Je dois enfin mille mercis à ma famille pour son soutien inconditionnel - malgré quelques petits

moments de stress ! - et aussi à Antoine pour avoir été là juste quand il faut, juste comme il faut.

Mais s'il n'y avait qu'un seul remerciement à faire, il serait pour ma directrice de thèse Aline

Robert, sans laquelle il n'y aurait pas eu de thèse - ni même d'ailleurs de DEA ! Je n'oublierai

jamais les rendez-vous du dimanche, et même, je crois bien qu'ils vont me manquer cruellement. 4 5

Table des matières

Remerciements 3

Table des matières 5

Introduction 7

I) Questionnement, cadre théorique et problématique 11

1) Nos objectifs initiaux, (abandonnés rapidement en cours de route)..................................... 12

2) Un premier travail de recherche sur les cours particuliers.................................................... 13

3) Les difficultés d'une telle recherche : public et privé sont opaques...................................... 14

4) Quelques changements de stratégie du chercheur : retour au public.................................... 15

5) Notre cadre théorique............................................................................................................ 17

6) Problématique : tâches, activités, contrôle sur les triangles semblables............................... 24

II) Eléments de méthodologie : outils pour les analyses 29

1) Méthodologie pour l'analyse de la notion............................................................................. 30

2) Méthodologie pour l'analyse des tâches................................................................................ 32

3) Méthodologie pour l'analyse du déroulement....................................................................... 38

4) Méthodologie pour la comparaison avec les contrôles......................................................... 47

5) Méthodologie pour l'analyse des exercices des manuels...................................................... 53

6) Méthodologie pour l'analyse des pratiques et pour la comparaison entre les professeurs.... 53

7) Méthodologie pour la description raisonnée......................................................................... 55

8) Méthodologie pour l'utilisation de la vidéo dans l'analyse des pratiques : un outil récent

en didactique................................................................................................................................. 56

III) Analyse de la notion de triangles semblables et de triangles isométriques 59

1) Analyse épistémologique...................................................................................................... 60

2) Analyse des programmes scolaires....................................................................................... 78

IV) Analyse détaillée des vidéos pour l'un des trois professeurs 97

1) Le choix de madame B ......................................................................................................... 98

2) Les données recueillies en classe.......................................................................................... 98

3) Inventaire des tâches données en classe.............................................................................. 100

4) Analyse a priori des tâches et activités mathématiques provoquées par les exercices

donnés en classe.......................................................................................................................... 105

5) Description du déroulement................................................................................................ 119

6) Analyse des tâches du contrôle et première comparaison avec les tâches et activités

potentielles du cours ................................................................................................................... 129

7) Les résultats des élèves au contrôle.................................................................................... 134

68) Une première analyse des procédures des élèves et de leurs erreurs, en fonction de la

connaissance nouvelle à appliquer dans le contrôle. .................................................................. 139

9) Conclusion.......................................................................................................................... 151

V) Comparaison entre les trois professeurs : variations et régularités 163

1) Nos analyses pour Mme P................................................................................................... 164

2) Nos analyses pour Mme F................................................................................................... 205

3) Comparaison des trois professeurs : Variations et régularités............................................ 227

4) Essai de caractérisation des stratégies des trois enseignants .............................................. 237

5) Illustration : comparaison sur un exercice classique posé dans les trois classes................ 238

6) Ce qui pose problème aux élèves de ces trois classes......................................................... 240

VI) Pour élargir encore : description raisonnée des séances sur le chapitre "triangles semblables" 243

1) Données recueillies et données exploitables....................................................................... 244

2) Analyse du système {contenu + déroulement} pour Mme S. et M. P................................ 244

3) Conclusion par rapport aux analyses précédentes .............................................................. 266

VII) Analyse des manuels scolaires 271

1) Les données recueillies....................................................................................................... 272

2) Le traitement du cours dans les manuels scolaires ............................................................. 273

3) Analyse des exercices des manuels : codage adopté et premiers résultats......................... 276

4) Comparaison des exercices des manuels : histogrammes obtenus grâce aux tris à plat..... 281

5) Spécificité du travail proposé sur les triangles semblables................................................. 290

6) Le traitement des homologues dans les exercices............................................................... 297

7) Analyse factorielle.............................................................................................................. 302

8) L'outil triangles semblables ................................................................................................308

9) Conclusion.......................................................................................................................... 328

VIII) Conclusion, limites et perspectives 332

1) Les rapports entre enseignements et apprentissage ............................................................ 334

2) Le problème des homologues............................................................................................. 337

3) La variété des pratiques sur les triangles semblables.......................................................... 341

4) Les limites de la recherche.................................................................................................. 343

5) Avancées et perspectives....................................................................................................344

BIBLIOGRAPHIE 347

ANNEXES 353

7

Introduction

Après une douzaine d'années de cours particuliers en mathématiques, dispensés à de

nombreux élèves de tous niveaux scolaires, je me suis posé des questions sur l'apprentissage des

élèves, et en particulier, je me suis demandé quelle était la nécessité pour eux d'avoir recours à

un tel soutien. Pourquoi tous ces élèves avaient-ils besoin de prendre des cours en plus de ceux

qu'ils suivent au collège ou au lycée ? Faut-il aller chercher du côté de la classe, ce qui a pu leur

manquer dans les cours dispensés par leur professeur de mathématiques, et qui aurait permis que

certains apprentissages se fassent ? Leur travail personnel est certainement aussi à mettre en

cause, mais que leur donne-t-on à faire à la maison, et comment apprennent-ils à travailler seuls

et correctement ? En particulier - et c'est à cette occasion que beaucoup d'élèves se décident à

prendre des cours de soutien - comment préparent-ils les contrôles ? Comment expliquer la nécessité de cette aide, devenue si courante en mathématique pour éviter l'échec aux

évaluations ?

Bien entendu, les mathématiques ont pris une place souvent centrale dans la scolarité des

élèves et jouent un rôle décisif dans leur orientation. Même si elles perdent aujourd'hui de leur

"aura", il vaut mieux être bon en maths que mauvais, c'est une évidence ! Mais est-ce suffisant

pour expliquer plus généralement la recrudescence des " boîtes de cours » qui n'ont cessé de

prospérer et de se multiplier ces dernières années ?

Le phénomène des cours particuliers n'est pas passé inaperçu et a été relayé par plusieurs

magazines de société, qui se sont récemment penchés sur la question, et le font encore régulièrement, révélant des chiffres plutôt importants : - le Monde (7 avril 2000 & 11 mars 2003) : "un marché de plusieurs millions d'heures en 1998"; "des chiffres qui ont incité le ministère de l'éducation nationale à envisager une aide individualisée pour les jeunes en difficulté au lycée"; - le Figaro (25 septembre 2002) "depuis quelques années, la demande gagne l'école primaire";

8"Chaque année, les parents dépensent plus de 1.5 milliards d'euros en "petits

cours" et diverses formules de soutien scolaire pour leurs enfants" (450 millions d'euros rien que pour l'Ile de France); - le Nouvel Observateur (28 mars 2002 & 26 octobre 2002) "La proportion de collégiens, et même d'écoliers, augmente. Et puis socialement : les classes moyennes sont de plus en plus demandeuses"; "Si les élèves moyens (et pas ceux qui sont en très grande difficulté, pris en charge par l'éducation nationale) constituent le gros des troupes, toutes les officines de soutien ont dans leur clientèle une proportion stupéfiante de bons élèves, 30 à

50% suivant les cas".

Parallèlement, les sites Internet proposant des cours de soutien pullulent, et parmi eux, nombreux sont ceux qui communiquent plus particulièrement sur les mathématiques : Prépamath, Association Mathématiques, Association Maths -Vacances, Math - Assistance, Aidéquation, Point Math, Math Succès, Math Services, Maths Melisso,

Objectifs Maths ...

Certes, toutes ces informations ce ne sont pas propres aux cours de mathématiques, et

pour avoir une idée plus précise de ce qu'était la part des mathématiques dans ce phénomène,

nous avons voulu interroger des étudiants de DEUG, dans plusieurs matières et différentes universités, sur leur "consommation" passée en cours particuliers de mathématiques. Nous

n'avons pas interrogé assez d'étudiants pour obtenir des chiffres probants, mais sur les quelques

centaines qui ont bien voulu remplir notre questionnaire 1 , environ 50% avaient déjà eu recours

au moins une fois dans leur scolarité à un soutien en mathématiques, et parmi les étudiants de

l'autre moitié, une grande majorité avait dans leur famille quelqu'un qui, ayant fait des études

scientifiques poussées, avait pu leur venir en aide. Autre chiffre intéressant, le pourcentage

d'étudiants ayant déjà donné des cours particuliers en mathématiques, qui s'élevait à 23% !

Ces chiffres rendent le phénomène rien moins qu'anecdotique, et soulèvent de nombreuses questions. Nous pouvons nous demander tout d'abord qui prend des cours, et pourquoi. Il semblerait que ce ne sont plus uniquement les mauvais élèves qui y ont recours,

9mais aussi des élèves de bon niveau. La réussite en mathématique n'a-t-elle donc pas de prix ?

Cela nous amène à nous interroger sur les raisons de cette demande importante. Qu'est-ce qui

explique le besoin des élèves de prendre des cours en plus ? Est-ce pour être le meilleur ou pour

ne pas être trop mauvais ? Est-ce que par ailleurs ces cours remettraient en cause le bon fonctionnement de l'enseignement dispensé en classe ? Il existe très certainement une dimension sociale à ce problème, que nous avons choisi de ne pas prendre en compte, bien qu'ayant conscience que cela a une influence sur les motivations

des élèves et de leur famille. Les cours particuliers constituent une sorte de béquille qui devrait

rester provisoire, et qui rassure les parents sur l'avenir de leur enfant et leur capacité à suivre une

scolarité "normale". Nous nous limiterons ici a priori à l'aspect cognitif lié à ce besoin de soutien

scolaire en mathématiques, et essaierons d'analyser les raisons de cette demande à partir des

apprentissages visés par les enseignants, et de ce qui est fait ou non en classe pour les atteindre.

Ce phénomène nous a paru assez important pour que nous nous y attardions, même s'il ne relevait pas au premier abord des questions traditionnelles de la didactique des mathématiques,

en ce qu'il ne s'intéresse a priori pas à ce qui se passe en classe. Mais c'est justement du côté de

la classe que nous avons décidé d'aller chercher des réponses à nos questions, pour comprendre

ce qui avait pu éventuellement "manquer" à certains élèves pour que les apprentissages visés

chez eux aient bien lieu, et qui les avait poussés à prendre des cours particuliers. 10 11 I) Questionnement, cadre théorique et problématique Nous allons donner dans ce chapitre les éléments de notre questionnement de départ, qui nous ont lancés sur cette recherche, et la manière dont ils nous ont conduit à mener nos

observations, à choisir notre cadre théorique et à reformuler les questions que nous nous posions.

1) Nos objectifs initiaux, (abandonnés rapidement en cours de route)..................................... 12

2) Un premier travail de recherche sur les cours particuliers.................................................... 13

3) Les difficultés d'une telle recherche : public et privé sont opaques...................................... 14

4) Quelques changements de stratégie du chercheur : retour au public.................................... 15

5) Notre cadre théorique............................................................................................................ 17

a) Des tâches proposées aux activités des élèves.............................................................. 17

b) Des activités aux apprentissages des élèves................................................................. 18

c) A propos des pratiques.................................................................................................. 20

6) Problématique : tâches, activités, contrôle sur les triangles semblables............................... 24

a) La notion en jeu ............................................................................................................26

b) La séquence précise...................................................................................................... 27

c) La mise en relation avec le contrôle............................................................................. 28

121) Nos objectifs initiaux, (abandonnés rapidement en cours de route)

Dans cette recherche, nous nous intéressons aux apprentissages des élèves en

mathématiques, mais aussi aux pratiques enseignantes qui sont, en grande partie, à l'origine de

ces apprentissages, notamment par le biais de ce qui se passe en classe. Nous voulons déterminer dans la mesure du possible ce que les élèves ont appris et retenu d'une notion enseignée en classe, et ce qu'ils pourront mettre en oeuvre par la suite sur et avec

cette notion. Plus précisément, pour savoir ce qui a été appris, nous allons nous intéresser à ce

qui ne l'a manifestement pas été - ou en tout cas pas suffisamment - à la fin d'un chapitre du

cours. Nous tentons donc de repérer les problèmes qu'ont pu rencontrer les élèves au cours de

leur apprentissage, et de déterminer à quoi ces problèmes sont reliés.

Pour essayer de connaître les difficultés qu'ont pu rencontrer les élèves, suite aux cours de

mathématique sur une notion donnée, nous avions choisi d'analyser les demandes de certains d'entre eux en cours particulier. A travers leurs demandes, en effet, nous pouvons déterminer ce qu'ils pensent ne pas avoir compris, et par des exercices d'entraînement ou d'approfondissement, nous pouvons mesurer assez rapidement s'ils savent utiliser cette notion. Nous pouvons testerquotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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