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DROITES DU PLAN

Tout le cours en vidéo : https://youtu.be/d-rUnClmcCY Partie 1 : Vecteur directeur et équation cartésienne d'une droite

1. Vecteur directeur

Définition : d

í µ est une droite du plan. On appelle vecteur directeur de í µ tout vecteur non nul 𝑢⃗ qui possède la même direction que la droite í µ. Méthode : Déterminer graphiquement un vecteur directeur d'une droite

Vidéo https://youtu.be/6VdSz-0QT4Y

Donner des vecteurs directeurs des

droites d 1 , d 2 , d 3 et d 4

Correction

• Pour d 1 On choisit un vecteur qui possède la même direction que la droite d 1

Par exemple : í µâƒ—í±Ž

1 2 ) convient. 2 4 ) ou í µâƒ—í±Ž -1 -2 ) sont également des vecteurs directeurs de d 1 • Pour d 2 6 0 ) convient. • Pour d 3 1 -1 ) convient. • Pour d 4 0 2 ) convient.

2. Équation cartésienne d'une droite

Définition :

Toute droite admet une équation de la forme í µí µ+í µí µ+í µ=0, avec 0;0 Cette équation est appelée équation cartésienne de la droite.

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Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr Propriété : Le vecteur í µí±¢âƒ—í±Ž ) est un vecteur directeur de la droite d'équation cartésienne í µí µ+í µí µ+í µ=0.

Démonstration au programme :

Vidéo https://youtu.be/GVDUrdsRUdA

Soit 𝑎

) un point de la droite í µ et í µí±¢âƒ—í±Ž ) un vecteur directeur de í µ.

Un point 𝑎

) appartient à la droite í µ si et seulement si les vecteurs í µí µ ) et í µí±¢âƒ—í±Ž sont colinéaires, soit í µí µí µí±¡í µí µ ;𝑢⃗B=0 soit encore C C=0.

Donc : í µ

=0 =0 =0

Cette équation peut s'écrire : í µí µ+í µí µ+í µ=0 avec í µ=í µ et í µ=-í µ et í µ=í µí µ

Les coordonnées de 𝑢⃗ sont donc í±Ž Exemple : Un vecteur directeur de la droite d'équation cartésienne 4í µ-5í µ-1=0 est le vecteur de coordonnées í±Ž 5 4

En effet, í µ=4 et í µ=-5 donc í±Ž

5 4

Méthode : Déterminer une équation cartésienne de droite à partir d'un point et d'un vecteur

directeur

Vidéo https://youtu.be/NosYmlLLFB4

Vidéo https://youtu.be/i5WD8IZdEqk

a) Déterminer une équation cartésienne de la droite í µ passant par le point 𝑎

3 1 ) et de vecteur directeur í µí±¢âƒ—í±Ž -1 5

b) Déterminer une équation cartésienne de la droite í µâ€² passant par les points 𝑎

5 3 ) et 𝑎 1 -3

Correction

a) í µ admet une équation cartésienne de la de la forme í µí µ+í µí µ+í µ=0. • Comme 𝑢⃗ í±Ž -1 5 ) est un vecteur directeur de í µ, on a : í±Ž -1 5

Soit í µ=5 et í µ=1.

Une équation de í µ est donc de la forme 5í µ+1í µ+í µ=0.

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Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr • Pour déterminer í µ, il suffit de substituer les coordonnées í±Ž 3 1 ) de í µ dans l'équation :

5×3+1×1+í µ=0

15+1+í µ=0

16+í µ=0

í µ=-16 Une équation de í µ est donc 5í µ+1í µ-16=0. Remarque : Une autre méthode consiste à utiliser le déterminant :

Vidéo https://youtu.be/rLxQIbQkPsQ

b) í µ et í µ appartiennent à í µ' donc í µí µ est un vecteur directeur de í µâ€².

On a : í µí µ

1-5 -3-3 -4 -6 ). Donc í µ=-6 et í µ=4. Une équation cartésienne de í µâ€² est de la forme : -6í µ+4í µ+í µ=0. 5 3 ) appartient à í µâ€² donc : -6×5+4×3+í µ=0 donc í µ=18.

Une équation cartésienne de í µâ€² est : -6í µ+4í µ+18=0 ou encore -3í µ+2í µ+9=0.

Méthode : Tracer une droite à partir de l'équation cartésienne

Vidéo https://youtu.be/EchUv2cGtzo

Tracer la droite í µ d'équation cartésienne 3í µ+2í µ-5=0.

Correction

Pour tracer une droite, il suffit de connaître un point appartenant à la droite et un vecteur directeur. • On choisit le point d'abscisse 0 : Comme í µ=0, on remplace í µpar 0 dans l'équation et on calcule la valeur de í µ correspondante :

3×0+2í µ-5=0

2í µ=5

5 2 =2,5

Le point í µde coordonnées í±Ž

0 2,5 ) appartient à la droite í µ. • í µ=3 et í µ=2 donc í±Ž -2 3 -2 3 ) est un vecteur directeur de í µ. On trace la droite í µ passant par le point 𝑎 0 2,5 ) et de vecteur directeur 𝑢⃗ í±Ž -2 3

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3. Position relative de deux droites

Propriété :

Dire que deux droites sont parallèles équivaut à dire qu'elles ont des vecteurs directeurs colinéaires. Méthode : Déterminer la position relative des deux droites

Vidéo https://youtu.be/NjsVdVolhvU

Démontrer que les droites í µ

et í µ d'équations respectives 6í µ-10í µ-5=0 et -9í µ+15í µ=0 sont parallèles.

Correction

Le vecteur í µí±¢âƒ—í±Ž

10 6 ) est un vecteur directeur de la droite í µ

Le vecteur í µâƒ—í±Ž

-15 -9 ) est un vecteur directeur de la droite í µ

Calculons í µí µí µ

=C 10-15 6-9

C=10×

-9 -6× -15 =0 Donc 𝑢⃗ et í µâƒ— sont colinéaires et donc les droites í µ et í µ sont parallèles. Partie 2 : Équation réduite et pente d'une droite

1. Équation réduite

Exemple : Soit í µ dont une droite d'équation cartésienne 4í µ+í µ-6=0.

On a alors : 4í µ+í µ=6

í µ=-4í µ+6 Cette équation est appelée l'équation réduite de la droite í µ.

Propriété :

Soit une droite í µ.

- Si í µ est parallèle à l'axe des ordonnées : alors l'équation de í µ est de la forme í µ=í µ. - Si í µ n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées : alors l'équation de í µ est de la forme í µ=í µí µ+í µ. Cette équation est appelée équation réduite de la droite í µ.

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Démonstration :

• Si í µâ‰ 0, alors l'équation cartésienne í µí µ+í µí µ+í µ=0 de la droite í µ peut être ramenée à une

équation réduite í µ=-

. Et on note í µ=- et í µ=-

• Si í µ=0, alors l'équation cartésienne í µí µ+í µí µ+í µ=0 de la droite í µ peut être ramenée à

l'équation í µ=- . Dans ce cas, la droite í µ est parallèle à l'axe des ordonnées.

Exemples :

• L'équation í µ=-4í µ+6 est l'équation réduite d'une droite avec : í µ=-4 et í µ=6.

• L'équation í µ=5 est l'équation d'une droite parallèle à l'axe des ordonnées avec :

í µ=5.

Méthode : Passer d'une équation cartésienne à l'équation réduite et réciproquement

Vidéo https://youtu.be/XA0YajthETQ

a) Soit la droite í µ d'équation cartésienne 6í µ+3í µ-5=0. Déterminer l'équation réduite de í µ.

b) Soit la droite í µ' d'équation réduite í µ=6í µ-5. Déterminer une équation catésienne de í µâ€².

Correction

a) On veut exprimer l'équation sous la forme í µ=í µí µ+í µ. Il s'agit donc d'isoler í µ dans l'équation.

6í µ+3í µ-5=0

3í µ=-6í µ+5

-6í µ+5 3 í µ=-2í µ+ : équation réduite de í µ.

b) On veut exprimer l'équation sous la forme í µí µ+í µí µ+í µ=0. Il s'agit donc de ramener tous les

termes de l'équation dans le membre de gauche. í µ=6í µ-5 -6í µ+í µ+5=0 : équation cartésienne de í µ'. Vocabulaire : - í µ est appelé la pente ou le coefficient directeur de la droite í µ. - í µ est appelé l'ordonnée à l'origine de la droite í µ. Remarque : Dans l'équation réduite, on retrouve l'expression d'une fonction affine.

Exercice :

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Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr Donner la pente (coefficient directeur) et l'ordonnée à l'origine de chacune des droites d'équations : a) í µ=-2í µ+3 b) í µ=5 c) 4í µ+2í µ=1

Réponses

a) Pente : -2 b) Pente : 0 Ordonnée à l'origine : 3 Ordonnée à l'origine : 5 c) L'équation peut s'écrire sous sa forme réduite : í µ=-2í µ+

Pente : -2

Ordonnée à l'origine :

Méthode : Représenter graphiquement une droite d'équation réduite donnée

Vidéo https://youtu.be/cUdhxkaTqqk

Dans un repère, tracer les droites í µ

et í µ d'équations respectives : í µ=2í µ+3, í µ=4, í µ=3.

Correction

- La droite í µ d'équation í µ=2í µ+3a pour ordonnée à l'origine 3. Donc le point de coordonnée í±Ž 0 3 ) appartient à la droite í µ - On choisit le point d'abscisse 2 : Comme í µ=2, on remplace í µpar 2 dans l'équation et on calcule la valeur de í µ correspondante : í µ=2×2+3=7.

Le point de coordonnées í±Ž

2 7 ) appartient à d 1.

On peut ainsi tracer la droite í µ

passant par ces deux points. La droite í µ d'équation í µ=4 est l'ensemble des points dont l'ordonnée est égale à 4. La droite í µ est donc la droite parallèle à l'axe des abscisses passant par le point de coordonnées í±Ž 0 4 La droite í µ d'équation í µ=3 est l'ensemble des points dont l'abscisse est égale à 3. La droite í µ est donc la droite parallèle à l'axe des ordonnées passant par le point de coordonnées í±Ž 3 0 Méthode : Vérifier si un point appartient à une droite d'équation donnée

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Vidéo https://youtu.be/XA0YajthETQ

Les points 𝑎

6 39
) et 𝑎 346
2420
) appartiennent-ils à la droite í µ d'équation í µ=7í µ-3 ?

Correction

• Dire que le point 𝑎 6 39
) appartient à la droite í µ d'équation í µ=7í µ-3 revient à dire que les coordonnées de í µ vérifient l'équation de la droite í µ.

Ce qui est le cas, puisque í µ=7×6-3=39.

Le point í µ appartient donc à la droite í µ. • Les coordonnées de 𝑎 346
2420
) ne vérifient pas l'équation de la droite í µ. En effet : 7×346-3=2419≠2420 donc le point í µ n'appartient pas à la droite í µ.

Remarque : Pour démontrer que 3 points A, B et C sont alignés, il suffit de montrer par exemple

que le point A vérifie l'équation de la droite (BC).

2. Pente d'une droite

Propriété : Si 𝑎

) et 𝑎 ) sont deux points distincts d'une droite tel que í µ alors la droite a pour pente (ou coefficient directeur) í µ= Méthode : Déterminer une équation réduite de droite dont on connaît deux points

Vidéo https://youtu.be/tfagLy6QRuw

Soit 𝑎

4 -1 ) et 𝑎 3 5 ) deux points d'une droite í µ. Déterminer une équation de la droite í µ.

Correction

L'équation réduite de la droite í µ est de la forme í µ=í µí µ+í µ. • La pente (coefficient directeur) de í µ est : í µ= 0 =-6. L'équation de í µ est donc de la forme : í µ=-6í µ+í µ. • Comme 𝑎 4 -1 ) appartient à la droite d, ses coordonnées vérifient l'équation de í µ.

Soit : -1=-6×4+í µ.

D'où í µ=-1+6×4=23.

L'équation réduite de í µ est donc :í µ=-6í µ+23.

ALGORITHME

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Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr TP avec Python : Déterminer une équation de droite passant par deux points donnés

3. Position relative de deux droites

Propriété : Soient deux droites d'équations réduites í µ=í µí µ+í µet í µ=í µâ€²í µ+í µâ€².

Dire que les droites sont parallèles revient à dire que leurs pentes sont égales (í µ=í µâ€²).

Remarque : Lorsque les pentes sont différentes, les droites sont sécantes.

Exemple : Les droites í µ

et í µ d'équations respectives í µ=3í µ+4et í µ=3í µ+9 sont parallèles car elles ont la même pente égale à 3. Méthode : Déterminer la position relative de deux droites

Vidéo https://youtu.be/gTUPGw7Bulc

Dans chaque cas, déterminer la position relative des deux droites : a) í µ :í µ=-2í µ-5 et í µ :í µ=-2í µ+4 b) í µ :í µ=2í µ+1 et í µ :í µ=-3í µ+8 c) í µ :í µ=-í µ+7 et í µ :í µ=3 d) í µ :í µ=1 et í µ :í µ=-8

Correction

1) Les droites í µ

et í µ sont parallèles car elles ont la même pente égale à -2.

2) Les droites í µ

et í µ sont sécantes car elles ont des pentes différentes 2 et -3.

3) Les droites í µ

et í µ sont sécantes car elles ont des pentes différentes -1 et 0.

4) Les droites í µ

et í µ sont parallèles car elles sont parallèles à l'axe des ordonnées. Partie 3 : Projeté orthogonal d'un point sur une droite Définition : Soit une droite í µ et un point í µ. Le projeté orthogonal du point í µ sur la droite í µ est le point d'intersection í µ de la droite í µ avec la perpendiculaire à í µ passant par í µ.

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Propriété : Le projeté orthogonal du point í µ sur la droite í µ est le point de la droite í µ le plus

proche du point í µ.

Démonstration au programme :

Vidéo https://youtu.be/DohZ0ehR_rw

Soit í µ le projeté orthogonal du point í µ sur la droite í µ.

Supposons qu'il existe un point í µ de la droite í µ plus proche de í µ que l'est le point í µ.

Donc í µí µ

Or, d'après l'égalité de Pythagore, on a : í µí µ

Donc í µí µ

Donc í µí µ

On en déduit que í µ est le point de la droite í µ le plus proche du point í µ. Méthode : Reconnaitre et construire un projeté orthogonal

Vidéo https://youtu.be/MiJHpVzyQPc

1) Donner le projeté orthogonal de :

a) C sur (AB) b) B sur (DF) c) D sur (AC) d) F sur (AD)

2) Représenter sur la figure le projeté

orthogonal de : a) C sur (BF). Nommer ce point M. b) F sur (AB). Nommer ce point N.

Correction

1) a) Il s'agit du point B. En effet, la perpendiculaire à (AB) passant par C coupe (AB) en B.

b) Il s'agit du point C. c) Il s'agit du point E. d) Il s'agit du point D.

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Démonstration au programme :

cosí µ siní µ =1

Vidéo https://youtu.be/9r2qDd7EkMo

Soit une droite í µ et un point í µ appartenant à í µ. Soit un point í µ n'appartenant pas à í µ. On appelle í µ le projeté orthogonal du point í µ sur la droite í µ.

On note í µ l'angle í µí µí µ

Démontrons que

cosí µ siní µ =1. Le triangle í µí µí µ est rectangle en í µ, on a donc : cosí µ= 12 13 soit í µí µ=í µí µÃ—cosí µ.

De même, on a : siní µ=

23
13 soit í µí µ=í µí µÃ—siní µ. D'après le théorème de Pythagore, on a : í µí µ

Soit en remplaçant :

í µí µÃ—cosí µ í µí µÃ—siní µ

Soit encore : í µí µ

cosí µquotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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