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Mathematiques pour l'ingenieur
Thomas Cluzeau
Ma^tre de Conferences
Ecole Nationale Superieure d'Ingenieurs de Limoges Parc ester technopole, 16 rue d'atlantis 87068 Limoges Cedex cluzeau@ensil.unilim.fr http://www.ensil.unilim.fr/ ~cluzeauThomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieurMaths a l'ENSIL en TC1
Harmonisationen fonction du test de la rentr eeAnalyseAlgebre lineaire
A l'interieur de UE - Enseignements de TC1 S1Mathematiques pour l'ingenieur (coe. 2) A l'interieur de UE - Enseignements de TC1 S2Analyse numerique (coe. 2)Thomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieur
Maths pour l'ingenieur : organisation et evaluationOrganisation7 seances d'1h30 de cours
8 seances d'1h30 de TD
Evaluation: 1 examen intermediaire de 30 min. sans documents en S91/4 note nale Tutorat en S131 examen nal de 1h30 avec documents en S15
3/4 note nale
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Plan du cours
1Introduction aux distributions
2La convolution
3La transformation de Fourier
4La transformation de Laplace
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Chapitre 1
Introduction aux distributions
Thomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieur
IPourquoi introduire les
distributions ?Thomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieur
Historique
Distributions : utilisees depuis tres longtemps par lesphysiciens Theoriemath ematiquerigoureuse plus r ecente: Sob olev(1936),L. Schwartz (1950)
, Gelfand (1964) Theorie la mieux adaptee al' etudede nom breuxsyst emes physiques (systemes lineaires continus) Convolution et Transformee de Fourieroutils tr espuissants gr ^ace aux distributionsDenition intuitive d'une distribution :
outil math ematiqueutilis e pour representer des phenomenes physiques que les fonctions classiques s'averent incapables de transcrireThomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieur
Exemple introductif (1)
Exemple : choc elastique & choc dur entre deux objetsPartie de squash : vitessev0avant puisv0apres tLoi de la mecanique Newtonnienne)F=m_vThomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieur
Exemple introductif 1
Partie de petanque : on passe dev0av0sans tOn a encoreF=m_vdoncF(t) = 0;8t6= 0De plus
1m R +11F(t)dt=v(+1)v(1) =2v0
ce qui est absurde p ourdes fonctions )Probleme ne pouvant ^etre traite au sens des fonctions )On a besoin d'objets plus generaux :les distributions Thomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieurAutres exemples
Distributions de charges en
electrostatique (cf. p olycopie) En m ecanique , dans le cadre de l'application du Principe Fondamental de la Dynamique, comment ecrire l'equation du mouvement d'un solide lorsque le systeme est soumis a une force intense appliquee pendant un intervalle de temps tres court a partir de l'instantt=t0?En electricite, comment va se comporter un circuit dont l'entree varie brusquement ; par exemple par fermeture d'uninterrupteur sur une source de tension continue ?Enhydraulique , comment va se comporter un systeme dont
on ouvre brusquement une vanne a l'instantt=t0?Thomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieur IIFonctionnelles et espaceDdes
fonctions testsThomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieur
Fonctionnelles
Denition
On dit que l'on a
u nefonctionnelle sur un ensemble de f onctions appelees fonctions tests , si a chacune de ces fonctions on peut associer un nombre complexe.FonctionnelleTsur un espace de fonctionsF:T:F !C; '7!
Plus les conditions de regularite imposees aux fonctions tests sont severes, plus les fonctionnelles denies sont generales Les distributions seront denies comme fonctionnelles sur un certain espace, noteD, que nous allons presenter maintenantThomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieur
L'espace des fonctions testsDRESTRICTION POUR CE COURS: fonctions aune seule va riableDenition
Soit f une fonction a valeurs complexes denie surR. Lesupp ort de f , not eSupp(f), est l'adherence des x2Rtels que f(x)6= 0.Supp(f) =fx2R;f(x)6= 0g:Denition
On denit l'ensembleDcomme l'espace des fonctions a valeurs complexes denies surRindeniment derivables et a support borne (compact).Remarques: C'est un espace vectoriel de dimension innie. Les fonctions deDont deslimites nulles e n1Thomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieur Exemples de fonctions deDDes exemples ne viennent pas immediatement a l'espritExemple fondamental:
a(x) =0pourjxj 1=a; exp(11a2x2)pourjxj<1=a;
aveca>0.Thomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieur Exemples de fonctions deDPlus generalement, toute fonctionabdenie par ab(x) =0pourx=2]a;b[; exp( 12 [1xb1xa])pourx2]a;b[:Thomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieurAutres exemples et theoreme d'approximation
Autre famille de fonctions deD:
k(x) =1(k x)R1(k x)dxTheoreme
Si'2 Det si f est une fonction sommable (integrable) a support borne, alors (x) =Rf(t)'(xt)dt est une fonction deD.Soit k(x) =Rf(t) k(xt)dt fcontinue)( k)kconverge uniformement versfTheoreme (Theoreme d'approximation) Toute fonction continue a support borne peut ^etre approchee uniformement par une suite('n)n>0de fonctions deD.8 >0;9N2N;tel que;8nN;8x;jf(x)'n(x)j:Thomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieur
Topologie deDDenie par un critere de convergence pour les suitesDenition Une suite('n)n>0de fonctions deDconverge vers une fonction' lorsque n tend vers l'inni si :1Il existe un ensemble borne B (independant de n) deRtel que pour tout n>0,Supp('n)B ;2Pour tout entier k0, la suite des derivees('(k)n)nconvergeuniformement surRvers'(k).On peut montrer que la limite'appartient alors aDThomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieur
IIIL'espaceD0des distributions
Thomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieur
Denition (1)
Denition
On appelle
distribution toute fonctionnelle lin eairecontinue sur l'espace vectorielD.DistributionT:T:D !C; '7!=T(')1Linearite
8 >0;9N2Ntel que;8k>N;jjThomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieur
Denition (2)
Ensemble des distributions =espace vecto rielnot eD0 La somme de deux distributions et le produit d'une distributionpar un scalaire sont denis comme suit :=+
Exemples : distributions regulieres (1)
Denition
Une fonction f:R!Cest ditelo calementsommable si elle est integrable sur tout intervalle borne.A toute fonction f localement sommable, on associe la distribution T fdenie par8'2 D; =Z
f(x)'(x)dx:Une telle distribution est diter eguliereLemme Deux fonctions localement sommables denissent la m^eme distribution ssi elle sont egales presque partout. Thomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieur
Exemples : distributions regulieres (2)
Valeur principale de Cauchy de 1=xnoteevp1x
Distribution de HeavisideFonctionHde Heavside :
H(x) =1pourx0
0pourx<0DistributionW=THde Heaviside :
H(x)'(x)dx=Z
+1 0 '(x)dxThomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieurExemples : distributions singulieres (1)
Les distributions qui ne s'ecrivent pasTfpourflocalement sommable sont dites singuli eresDistributionde Dirac(exemple le p lususuel)
8'2 D; < ;' >='(0)
Plus generalement,
la distribution ade Dirac au pointa8'2 D; < a;' >='(a):
Attention: en physique, on ecrit souvent(x) ou(xa) au lieu deeta. Cette ecriture laisse croire queest une fonction ce qui est faux !Thomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieur
Exemples : distributions singulieres (2)
Distribution de Diracasouvent interpretee comme representant la masse (ou la cha rge)+1 au p ointa CL de distributions de Dirac = distribution singuliereEn particulier,
distribution p eignede Dirac aa =+1X n=1 n (proprietes interessantes, joue un r^ole important en physique)Remarque: generalisations a 3 dimensions desa
representation mathematique correcte des charges ponctuelles et supercielles en electrostatiqueThomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieur
Support d'une distribution (1)
Denition
On dit que deux distributions S et T sont
egales siRsi=quelque soit
'2 Dayant son support dans .Exemples:T 1etWsont egales sur ]0;+1[. SiSupp(')]0;+1[
11(x)'(x)dx=R+1
01'(x)dx=et``sont egales sur ]12
;12 [. SiSupp(')]12 ;12 <``;' >=P+1 n=1'(n) ='(0) =< ;' >Thomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieur Support d'une distribution (2)
Denition
Considerons la reunion de tous les ouverts sur lesquels une distribution T est nulle. Cet ensemble est alors le plus grand ouvert sur lequel T est nulle (admis). Son complementaire (qui est un ferme) est appele supp ortde la distribution T ; on le note Supp(T).Exemples:Supp(a) =fagSupp(``) =ZThomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieur IVOperations sur les distributions
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Methodologie
Strategie
p ourd enirune op erationsur les distributions :1etudier comment cette operation est denie pour unefonction
localement sommable2traduire ceci avec le langage des distributions sur la distribution reguliere associee3generaliser atoutes les distributionsThomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieur
Translation
ffonction localement sommable,a2R )translateefadefest la fonction donnee parfa(x) =f(xa)La distribution reguliere associee afaverie :
Transposition
ffonction localement sommable,f:x7!f(x) transposee def ? Distribution associee a f. On aTest la distribution
denie par :Thomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieur
Dilatation (homothetie ou changement d'unite)
ffonction localement sommable,a2R )la dilatee de la fonctionfest denie parx7!f(ax)Sa distribution reguliere associee verie :
<\Tf(ax)";' >=Z f(ax)'(x)dx=Z f(y)'(ya )dyjaj=1jajMultiplication des distributions (1)
Il n'existe pas de moyen de multiplier entre elles 2 distributions ! (f;gloc. sommables n'implique pasf gloc. sommable)Mais indeniment derivable,'2 D ) '2 D
Du point de vue des
distributions r egulieres , on a :Multiplication des distributions (2)
A partir de cette denition, on peut denir lep roduitd'une distribution quelconqueTpar une distribution reguliereT associee a une fonction indeniment derivable de la maniere suivante :8'2 D; = :Lemme
= (0))Solutions de x T= 0: multiples dePreuve : < ;' >=< ; ' >= (0)'(0) = (0)< ;' >=< (0);' >Thomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieur Derivation des distributions
floc. sommableET d erivable)f0loc. sommable Sa distribution r eguliereasso ciee v erie(IPP):0(x)'(x)dx=Z
f(x)'0(x)dx=1= 0 !
Raison principale du choix restrictif des fonctions tests ,i.e., deDDenition La d eriveeT0d'une distribution Tde D0est la distribution denie
par :De m^eme on pourra denir les derivees successives
T (m)par :Exemple et Derivee d'un produitT W0=
0'0(x)dx
=['(x)]+1 0 ='(0)Tdistribution quelconque, indeniment derivable :
(T )0=T0 +T 0:Exemple: (Wexp(t))0=W0exp(t) +W(exp(t)) =
exp(t) +Wexp(t) =+Wexp(t).Thomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieurDerivation et fonction discontinue (1)
On a vuW0=
D'un autre coteH0(x) = 0 pour toutx6= 0 et doncTH0= 06= )(Tf)06=Tf0des quefadmet une discontinuite fC1par morceaux,a1;:::;anpoints de discontinuite def ET(0) ile saut de discontinuite defenai:(0) i=f(a+ i)f(a i) D'oufsomme d'une fonctiongcontinueet de fonctions HdeHeaviside :
f(x) =g(x) +nX i=0(0) iH(xai) et T f0=Tg0Thomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieurDerivation et fonction discontinue (2)
Theoreme
Soit f une fonction de classeC1par morceaux. Avec les notations precedentes, on a alors (Tf)0=Tf0+X i(0) iai:On notera plus simplement
(Tf)0=Tf0+(0): De m^eme, soit f une fonctionC1par morceaux. Si l'on note(j) les sauts de discontinuite de f (j), on a (Tf)(m)=Tf(m)+(m1)+(m2)0++(0)(m1):Thomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieur Convergence (faible) dans l'espaceD0des distributions (1)Theoreme et Denition Soit(Tn)nune suite de distributions. On dit que(Tn)nconverge dansD0si, pour tout'2 D, la suiteConvergence (faible) dans l'espaceD0des distributions (2)Theoreme (Convergence vers)Si la suite de fonctions localement sommables(fk)kverie :19A>0tel que pour toutjxjA;fk(x)0;28a>0;R
jxjafk(x)dx!1lorsque k!+1;3f k(x)!0uniformement dans tout ensemble0 <1(0Ex.: les gaussiennes denies pargn(x) =np exp(n2x2)Thomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieur V Sous-espaces deD0
Thomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieur
Deux sous-espaces particuliers
Espace de fonctions tests plus grand queD sous-espace vectoriel deD0 Deux espaces de fonctions tests couramment utilises sont :1l'espaceEdes fonctions indeniment derivables quelconques; 2l'espaceSdes fonctions indeniment derivables et qui
decroissent, ainsi que leurs derivees, plus vite que toute puissance de 1=xa l'innic'est- a-direque p ourtout k>0 et pour touth>0,xkf(h)(x) est bornee. EspaceE0des distributions a support compactet l'espace S0 des distributions ditestemperees(ou a croissance lente)Thomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieur Distributions temperees
Espaces de fonctions tests :D S E
Espaces de distributions :D0 S0 E0
En pratique, distributions temperees( a,vp1x
Attention:flocalement sommable n'implique pasTftempereeTheoreme (Caracterisation des distributions temperees)
Pour qu'une fonctionnelle lineaire continue T surSsoit temperee, il faut et il sut qu'il existe A>0et p2N+tels que, pour tout '2 S, on ait : jjAk'kp; ou k'kp= Z j'(t)jpdt 1p Thomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieur
VI Distributions a plusieurs
dimensions Thomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieur
Distributions a plusieurs dimensions
Distributions andimensions: fonctionnelles sur l'espace D(Rn) des fonctions deRndansCindeniment derivables surRnet a support borne. Exemple 1: distribution reguliere associee af:Rn!C localement sommable : =Z Z f(x1;:::;xn)'(x1;:::;xn)dx1:::dxn: Exemple 2: dansR2, on denit la fonction
f(x;t) =H(x)H(t),Tfla distribution reguliere associe On a@2@x@tTf=(x)(t)
et Tf=0(x)W(t) +0(t)W(x)Thomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieur Chapitre 2
La convolution
Thomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieur
Introduction
Produit de convolution = outiltr esimp ortanten physique Transmission d'un signal par un appareil Impulsion electrique fonction du temps
Image representee par une fonction d'une ou deux variables Diraction
Thomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieur
Exemple introductif : le photocopieur (1)
Machine photocopieuseim parfaitementr eglee:
Trait n enx1sur original trait etalecentr een x1sur photocopie Trait d'une intensite moindre enx2 trait etale centre enx2sur photocopie Hypothese :Etalementde l'encre sur la photo copieidentique pour les deux traits Etalement fonction caracteristique de l'appareil :fonction d'etalement (ou fonction de reponse)h(x)Thomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieur Thomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieur
Exemple introductif : le photocopieur (2)
Trait enx1d'intensitef1sur original
f1h(xx1) sur photocopie ntraits places enx1;:::;xnd'intensitesf1;:::;fnsur original superposition desntraits etales sur photocopie Signal de sortie (dans le casdiscret )
S(x) =nX
i=1f ih(xxi)Thomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieur Thomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieur
Exemple introductif : le photocopieur (3)
Signal de sortie (dans le casdiscret )
S(x) =nX
i=1f ih(xxi) Si signal d'entree = fonctioncontinue de x,somme $integrale S(x) =Z
f(u)h(xu)du (produit de convolution des fonctionsfeth)Thomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieur I Produit tensoriel
Thomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieur
Produit tensoriel de deux fonctions
Denition
Soient f et g deux fonctions. On appelle
p roduittenso riel (ou produit direct ) de f par g la fonction h:R2!Rdenie par h(x;y) =f(x)g(y)pour tout(x;y)appartenant aR2. On note alors h =f g.Exemple :Produit tensoriel de la fonction de HeavisideHpar la fonction porte deni par (x) =1si12 x12 0sinon
(H )(x;y) =H(x)(y) =1six2[0;+1[ety2[12 ;12 0sinon:Thomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieur
Produit tensoriel de deux distributions : denition f;gdeux fonctions localement sommables,h=f g '2 D(R2) (indeniment derivable, a support borne surR2) :quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47
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VIDistributions a plusieurs
dimensionsThomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieur
Distributions a plusieurs dimensions
Distributions andimensions: fonctionnelles sur l'espace D(Rn) des fonctions deRndansCindeniment derivables surRnet a support borne. Exemple 1: distribution reguliere associee af:Rn!C localement sommable :Exemple 2: dansR2, on denit la fonction
f(x;t) =H(x)H(t),Tfla distribution reguliere associeOn a@2@x@tTf=(x)(t)
et Tf=0(x)W(t) +0(t)W(x)Thomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieurChapitre 2
La convolution
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Introduction
Produit de convolution = outiltr esimp ortanten physique Transmission d'un signal par un appareilImpulsion electrique fonction du temps
Image representee par une fonction d'une ou deux variablesDiraction
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Exemple introductif : le photocopieur (1)
Machine photocopieuseim parfaitementr eglee:
Trait n enx1sur original trait etalecentr een x1sur photocopie Trait d'une intensite moindre enx2 trait etale centre enx2sur photocopie Hypothese :Etalementde l'encre sur la photo copieidentique pour les deux traits Etalement fonction caracteristique de l'appareil :fonction d'etalement (ou fonction de reponse)h(x)Thomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieurThomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieur
Exemple introductif : le photocopieur (2)
Trait enx1d'intensitef1sur original
f1h(xx1) sur photocopie ntraits places enx1;:::;xnd'intensitesf1;:::;fnsur original superposition desntraits etales sur photocopieSignal de sortie (dans le casdiscret )
S(x) =nX
i=1f ih(xxi)Thomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieurThomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieur
Exemple introductif : le photocopieur (3)
Signal de sortie (dans le casdiscret )
S(x) =nX
i=1f ih(xxi) Si signal d'entree = fonctioncontinue de x,somme $integraleS(x) =Z
f(u)h(xu)du (produit de convolution des fonctionsfeth)Thomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieur IProduit tensoriel
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Produit tensoriel de deux fonctions
Denition
Soient f et g deux fonctions. On appelle
p roduittenso riel (ou produit direct ) de f par g la fonction h:R2!Rdenie par h(x;y) =f(x)g(y)pour tout(x;y)appartenant aR2. On note alors h =f g.Exemple :Produit tensoriel de la fonction de HeavisideHpar la fonction porte deni par (x) =1si12 x120sinon
(H )(x;y) =H(x)(y) =1six2[0;+1[ety2[12 ;120sinon:Thomas CluzeauMathematiques pour l'ingenieur
Produit tensoriel de deux distributions : denition f;gdeux fonctions localement sommables,h=f g '2 D(R2) (indeniment derivable, a support borne surR2) :quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47[PDF] maths et musique
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