[PDF] Exercices de mathématiques - Exo7

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Enoncés et corrections : Sandra Delaunay

Exo7

Sujets de l"année 2004-2005

1 Devoir à la maison

Exercice 1SoitMla matrice réelle 33 suivante :

M=0 @0 21 32 0

2 2 11

A 1.

Déterminer les v aleurspropres de M.

2.

Montrer que Mest diagonalisable.

3. Déterminer une base de v ecteurspropres et Pla matrice de passage. 4. On a D=P1MP, pourk2NexprimerMken fonction deDk, puis calculerMk. SoitEun espace vectoriel sur un corpsK(K=RouC), on appelleprojecteurun endomorphismepdeE vérifiantpp=p. Soitpun projecteur. 1.

Montrer que Id

Epest un projecteur, calculerp(IdEp)et(IdEp)p.

2.

Montrer que pour tout ~x2Imp, on ap(~x) =~x.

3. En déduire que Im pet kerpsont supplémentaires. 4. Montrer quelerangdepestégalàlatracedep. (Onrappellequelatracedelamatriced"unendomorphisme ne dépend pas de la base dans laquelle on exprime cette matrice.)

SoitA=(aij)16i;j6nune matrice carréenn. On veut démontrer le résultat suivant dû à Hadamard : Supposons

que pour touti2 f1;;ng, on ait jaiij>nå j=1;j6=ijaijj alorsAest inversible. 1.

Montrer le résultat pour n=2.

2. Soit B, la matrice obtenue en remplaçant, pourj>2, chaque colonnecjdeApar la colonne c ja1ja 11c1;

Calculer lesbijen fonction desaij. Montrer que si les coefficients deAsatisfont les inégalités ci-dessus,

alors pouri>2, on a jbiij>nå j=2;j6=ijbijj: 1

3.Démontrer le résultat de Hadamard pour nquelconque.

Exercice 4Soit

A=0 @1 0 0 0 1 0 11 21 A Démontrer queAest diagonalisable et trouver une matricePtelle queP1APsoit diagonale. Soit A=0 @1 11 0 1 0

1 0 11

A Factoriser le polynôme caractéristique deA. La matriceAest-elle diagonalisable dansR? dansC? Soit A=a c c d

2M2(R)

Démontrer queAest diagonalisable dansR.

SoitAla matrice suivante

A=0 @0 1 1 1 0 1

1 1 01

A

CalculerA2et vérifier queA2=A+2I3. En déduire queAest inversible et donner son inverse en fonction de

A.

SoitAune matrice carrée d"ordren. On suppose queAest inversible et quel2Rest une valeur propre deA.

1.

Démontrer que l6=0.

2.

Démontrer que si ~xest un vecteur propre deApour la valeur proprelalors il est vecteur propre deA1

de valeur proprel1. Soitfun endomorphisme deEvérifiantf2=mathrmIdE. 2

1.Démontrer que les seules v aleurspropres possibles de fsont 1 et1.

2.

Vérifier que pour tout ~x2E, on a

f(~xf(~x)) =(~xf(~x))etf(~x+f(~x)) = (~x+f(~x)) et en déduire quefadmet toujours une valeur propre. 3. Démontrer que si 1 et 1 sont valeurs propres, alorsEest somme directe des sous-espaces propres correspondants. 4. T raduiregéométriquement sur un dessin dans le cas n=2. Exercice 10(9 points) SoitAla matrice deM3(R)suivante : A=0 @1 0 1 1 2 1 11 11 A 1. Démontrer que les v aleurspropres de Asont 1 et 2. 2. Déterminer les sous-espaces propres de A. La matriceAest-elle diagonalisable ? 3. Déterminer les sous-espaces caractéristiques de A. 4. Déterminer une base de R3dans laquelle la matrice de l"endomorphisme associé àAest B=0 @2 0 0 0 1 1

0 0 11

A

En déduire la décomposition de Dunford deB.

5.

Résoudre le système dif férentiel

8>< :x 0=x+z y

0=x+2y+z

z

0=xy+z

(7 points) On considère la suite(un)n2Ndéfinie paru0=0,u1=1 et par la relation de récurrence

u n+1=12 (un+un1): 1. Déterminer une matrice A2M2(R)telle que pour toutn>1 on ait un+1 u n =Anu1 u 0

Justifier.

3

2.Déterminer le polynôme caractéristique PA(X)deAet calculer ses racinesl1etl2.

3. Soit Rn(X) =anX+bnle reste de la division euclidienne deXnparPA(X). Calculeranetbn(on pourra utiliser les racinesl1etl2). 4. Montrer que An=anA+bnI2, en déduire que la matriceAnconverge lorsquentend vers+¥vers une limiteA¥que l"on déterminera. Calculer limn!+¥un. (5 points) SoitAune matrice carrée,A2Mn(K)(K=RouC). On rappelle que la trace d"une matrice est la somme de ses coefficients diagonaux et que tr(BAB1) =trA. Démontrer que det(expA) =etrAdans les cas suivants :

1.Adiagonalisable.

2.Atriangulaire supérieure ayant une diagonale de zéros.

3.Atrigonalisable.

4.Aquelconque.

Exercice 13(7 points) On considère la suite(un)n2Ndéfinie paru0=0,u1=1 et par la relation de récurrence

u n+1=12 (un+un1): 1. Déterminer une matrice A2M2(R)telle que pour toutn>1 on ait un+1 u n =Anu1 u 0

Justifier.

2. Déterminer le polynôme caractéristique PA(X)deAet calculer ses racinesl1etl2. 3. Soit Rn(X) =anX+bnle reste de la division euclidienne deXnparPA(X). Calculeranetbn(on pourra utiliser les racinesl1etl2). 4. Montrer que An=anA+bnI2, en déduire que la matriceAnconverge lorsquentend vers+¥vers une limiteA¥que l"on déterminera. Calculer limn!+¥un. (5 points) SoitAune matrice carrée,A2Mn(K)(K=RouC). On rappelle que la trace d"une matrice est la somme de ses coefficients diagonaux et que tr(BAB1) =trA. Démontrer que det(expA) =etrAdans les cas suivants :

1.Adiagonalisable.

2.Atriangulaire supérieure ayant une diagonale de zéros.

4

3.Atrigonalisable.

4.Aquelconque.

(4 points) On suppose qu"une populationxde lapins et une populationyde loups sont gouvernées par le système

suivant d"équations différentielles : (S)(x0=4x2y y 0=x+y 1.

Diagonaliser la matrice

A=42 1 1 2. Exprimer le système (S)et ses solutions dans une base de vecteurs propres deA. 3. Représenter graphiquement les trajectoires de (S)dans le repère(Oxy). 4.

Discuter graphiquement l"év olutionde la population des lapins en fonction des conditions initiales.

(9 points) Soitul"endomorphisme deR3, dont la matrice dans la base canonique est A=0 @3 22 1 0 1

1 1 01

A 1. Calculer les v aleurspropres de A. L"endomorphismeuest-il diagonalisable ? 2. Calculer (AI)2. Montrer queAn=nA+(1n)Ien utilisant la formule du binôme de Newton. 3. Soient P(X) = (X1)2etQ2R[X]. Exprimer le reste de la division euclidienne deQparPen fonction

deQ(1)etQ0(1), oùQ0est le polynôme dérivé deQ. En remarquant queP(A) =0 et en utilisant le

résultat précédent avec un choix judicieux du polynômeQ, retrouverAn. 4. (a) Montrer que l"image de R3par l"endomorphismeuId est un sous-espace vectoriel de dimension

1, on noterae2une base.

(b) Déterminer un v ecteure3tel queu(e3) =e2+e3. Déterminer un vecteur propree1deunon colinéaire àe2. (c) Montrer que (e1;e2;e3)est une base deR3.Ecrire la matrice deudans cette base, ainsi que les matrices de passage. (d)

Retrouv erAn.

(7 points) SoientMetAdeux matrices deMn(R)telles queMA=AM. On suppose queMadmetnvaleurs propres distinctes. 1. Soit xun vecteur propre deMde valeur proprel, montrer queMAx=lAx;en déduire que les vecteurs xetAxsont colinéaires, puis que tout vecteur propre deMest un vecteur propre deA. 2. On note maintenant l1;;lnles valeurs propres deMetm1;;mncelles deA. 5 (a)Montrer par récurrence sur nl"égalité suivante :

1l1ln11......

1lnln1n

16i

En déduire que le système suivant

8>>< >:m

1=a0+a1l1++an1ln11

m n=a0+a1ln++an1ln1n admet une unique solution(a0;;an1)2Rn: (b)

Soient M0etA0les matrices diagonales suivantes :

M 0=0 B BBB@l 100
0 ...0 00ln1 C

CCCA;A0=0

B BBB@m 100
0 ...0 00mn1 C CCCA:

Montrer qu"il existe des réelsa0;;an1tels que

A

0=n1å

k=0a kM0k et en déduire qu"il existe des réelsa0;;an1tels que

A=n1å

k=0a kMk: Correction del"exer cice1 NSoitMla matrice réelle 33 suivante : M=0 @0 21 32 0

2 2 11

A

1.Déterminons les valeurs propres de M.

Ce sont les racines du polynôme caractéristique P

M(X) =

X21 32X0

2 2 1X

=132X 2 2 +(1X)X2 322X
(1) = (1X)(X2+2X8)(2) = (1X)(X+4)(X2):(3) La matriceMadmet donc trois valeurs propres distinctes qui sont : 1;2;et4.

2.Montrons que M est diagonalisable.

Nous venons de voir queM, matrice réelle 33, admet trois valeurs propres réelles distinctes, cela

prouve queMest diagonalisable.

3.Déterminons une base de vecteurs propres et P la matrice de passage.

Les trois sous-espaces propres distincts sont de dimension 1, il suffit de déterminer un vecteur propre

pour chacune des valeurs propres.

l=1 : Le vecteur~ude coordonnées(x;y;z)est un vecteur propre pour la valeur propre 1 si et seulement

si 8>< :2yz=x

3x2y=y

2x+2y+z=z()8

:x+2yz=0

3x3y=0

2x+2y=0()(x=y

x=z

Le sous-espace propre associé à la valeur proprel=1 est la droite vectorielle engendrée par le vecteur

~e1de coordonnées(1;1;1).

l=2 : Le vecteur~ude coordonnées(x;y;z)est un vecteur propre pour la valeur propre 2 si et seulement

si 8>< :2x+2yz=0

3x4y=0

2x+2yz=0()(3x4y=0

2x+2yz=0

Le sous-espace propre associé à la valeur proprel=2 est la droite vectorielle engendrée par le vecteur

~e2de coordonnées(4;3;2). l=4 : Le vecteur~ude coordonnées(x;y;z)est un vecteur propre pour la valeur propre4 si et seulement si 8>< :4x+2yz=0

3x+2y=0

2x+2y+5z=0()(xz=0

2y+3x=0

Le sous-espace propre associé à la valeur proprel=4 est la droite vectorielle engendrée par le vecteur

~e3de coordonnées(2;3;2). Les vecteurs~e1;~e2et~e3forment une base deEcomposée de vecteurs propres, la matrice de passageP est égale à P=0 @1 4 2 1 33 12 21 A 7

4.Exprimons Mken fonction de Dk, puis calculons Mk.

On a

D=P1MP=0

@1 0 0 0 2 0 0 041 A pourk2N, on a D k=0 @1 0 0 0 2 k0

0 0(4)k1

A etMk=PDkP1: Calculons donc la matriceP1: on aP1=1detP(comP)t. Or detP= 1 4 2 1 33 12 2 1 6 2 1 03 1 0 2 =613 1 2 =30; et comP=0 @055

12 0 6

18 511

A d"où P 1=130 0 @01218 5 0 5 5 611 A

On a donc

M k=PDkP1=130 0 @5:2k+210(4)k12+12(4)k18+5:2k+22(4)k

15:2k15(4)k1218(4)k18+5:2k+1+3(4)k

5:2k+110(4)k12+12(4)k185:2k+12(4)k1

ACorrection del"exer cice2 NSoitEun espace vectoriel sur un corpsK(K=RouC), on appelleprojecteurun endomorphismepdeE

vérifiantpp=p. Soitpun projecteur.

1.Montrons queIdEp est un projecteur et calculons p(IdEp)et(IdEp)p.

On a(IdEp)(IdEp) =IdEpp+p2=IdEp, carp2=p, ce qui prouve que IdEpest un projecteur.

Par ailleurs, on a

p(IdEp) =pp2=pp=0= (IdEp)p donc pour tout~x2E, on ap(~xp(~x)) =~0.

2.Montrons que pour tout~x2Imp, on a p(~x) =~x.

Soit~x2Imp, il existe~y2Etel que~x=p(~y), on a doncp(~x) =p2(~y) =p(~y) =~x.

3.On en déduit queImp etkerp sont supplémentaires.

Soit~x2E, on peut écrire~x=p(~x)+~xp(~x), considérons~xp(~x), on ap(~xp(~x)) =0

ce qui prouve que~xp(~x)2kerp. Ainsi tout élément deEs"écrit comme somme d"un élément de Imp,

p(~x), et d"un élément de kerp,~xp(~x), il nous reste à démontrer que la somme est directe.

8 Soit~x2Imp\kerp, on a, d"une partp(~x)=~xd"après la question 2)car~x2Impet, d"autre partp(~x)=~0 car~x2kerp, d"où~x=~0. On a donc

E=Impkerp:

(Sachant que dimE=dimkerp+dimImp, on pouvait se contenter de démontrer que Imp\kerp=~0, ici nous avons explicitement la décomposition.)

4.Montrons que le rang de p est égal à la trace de p.

Notonsnla dimension deEet considérons une base deEde la forme (~e1;;~ek; ~ek+1;;~en) où(~e1;;~ek)est une base de Impet(~ek+1;;~en)une base de kerp. dans une telle base, la matrice de ps"écrit M=Ik0 0 0

oùIkdésigne la matrice identitékk, et les 0 des blocs de zéros. Le rang depest égal à la dimension de

Impc"est-à-dire ici àket on a bienk=TrM=Trp:Correction del"exer cice3 NSoitA=(aij)16i;j6nune matrice carréenn. On veut démontrer le résultat suivant dû à Hadamard : Supposons

que pour touti2 f1;;ng, on ait jaiij>nåquotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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