[PDF] FONCTIONS POLYNÔMES DE DEGRÉ 3

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FONCTIONS POLYNÔMES DE DEGRÉ 3

Partie 1 : Définition

Exemples et contre-exemples :

=4��� +1 -2 sont des fonctions polynômes de degré 3. =1+��� -2��� =-���+4 est une fonction polynôme de degré 1 (fonction affine). =2��� +5���-1 est une fonction polynôme de degré 5. Définition : Les fonctions définies sur ℝ par ���⟼������ ou ���⟼������ +��� sont des fonctions polynômes de degré 3. Les coefficients ��� et ��� sont des réels donnés avec ���≠0.

Partie 2 : Représentation graphique

Propriétés :

Soit ��� une fonction polynôme de degré 3, telle que��� - Si ���<0 : ��� est strictement croissante. - Si ���<0 : ��� est strictement décroissante.

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Partie 3 : Forme factorisée d'une fonction polynôme de degré 3

Exemple :

La fonction ���définie par ���

=5 ���-4 ���-1 ���+3 est une fonction polynôme de degré 3 sous sa forme factorisée. Si on développe l'expression de ���à l'aide d'un logiciel de calcul formel, on obtient bien l'expression de degré 3 : ��� =5��� -10��� -55���+60 Définition : Les fonctions définies sur ℝ par ��� sont des fonctions polynômes de degré 3.

Les coefficients ���, ���

et ��� sont des réels avec ���≠0.

En partant de l'expression développée précédente, on peut vérifier que 4, 1 et -3 sont des

racines du polynôme ���. 4 =5×4 -10×4 -55×4+60=320-160-220+60=0 1 =5×1 -10×1 -55×1+60=5-10-55+60=0 -3 =5× -3 -10× -3 -55× -3 +60=-135-90+165+60=0

4, 1 et -3, solutions de l'équation ���

=0, sont donc des racines de f. Propriété : Soit la fonction ��� définie sur ℝ par ���

L'équation ���

=0 possède trois solutions (éventuellement égales) :���=��� et appelées les racines de la fonction polynôme f. Méthode : Étudier le signe d'un polynôme de degré 3

Vidéo https://youtu.be/g0PfyqHSkBg

Étudier le signe de la fonction polynôme ��� définie sur ℝ par : =2 ���+1 ���-2 ���-5

Correction

2 étant un nombre positif, le signe de 2

���+1 ���-2 ���-5 dépend du signe de chaque facteur : ���+1, ���-2 et ���-5. On étudie ainsi le signe de chaque facteur et on présente les résultats dans un tableau de signes. ���+1=0 ou ���-2=0 ou ���-5=0 ���=-1 ���=2 ���=5

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-1, 2 et 5 sont donc les racines du polynôme ���. En appliquant la règle des signes dans le tableau suivant, on pourra en déduire le signe du produit ��� =2 ���+1 ���-2 ���-5 On en déduit que ���(���)≥0 pour ���∈ -1;2

5;+∞

et -∞;-1 2;5

La représentation de la fonction ��� à l'aide d'un logiciel permet de confirmer les résultats

établis précédemment.

Partie 4 : Équation de la forme x

3 = c

Propriété :

L'équation ���

=���, avec c positif, possède une unique solution

Cette solution peut également se noter ���

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Méthode : Résoudre une équation du type x 3 = c

Vidéo https://youtu.be/4tQJRkpIH3k

Résoudre dans ℝ les équations : a) ��� =27, b) 2��� -6=16

Correction

a) On cherche le nombre qui, élevé au cube, donne 27. Ce nombre est égal à la racine cubique de 27, soit : ���= 27
=3. b) 2��� -6=16

2���

=16+6

2���

=22 =11 L'équation admet donc une unique solution ���= 11quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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