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La réforme des "maths modernes"

vue par un débutant

Marc Roux

Je vous parle d"un temps que les moins de cinquante ans ne peuvent pas conna"tre (1) Žtaient dŽfinitivement engagŽs dans l"une des deux voies?: courte (CEG) ou longue (lycŽes, qui comprenaient donc un premier cycle)?; le choix entre les deux Žtait fait mixtes?! Ces prŽcisions sur le contexte sont indispensables pour comprendre la suite. Pour davantage de dŽtails historiques, en particulier sur le r™le de l"APMEP dans cette rŽforme, le lecteur se reportera ˆ l"article Ç Les annŽes des mathŽmatiques modernesÈ, d"ƒric Barbazo, dans le BV 490 Ç SpŽcial centenaire È. Je me bornerai ici ˆ des souvenirs personnels, ŽtayŽs par des documents d"Žpoque. technique commercial (sŽries G?: secrŽtariat, comptabilitŽ, etc) o les programmes Just. En premier cycle, on y utilisait les fiches Galion. J"ai ainsi plongŽ simultanŽment dans les programmes rŽnovŽs et dans les techniques pŽdagogiques innovantes. Žtudes?: thŽorie des groupes, relation d"Žquivalence, et tutti quanti. Deux ans plus tard (2) D (3) les dŽfinitions d"espace vectoriel, application linŽaire, anneau, isomorphisme, ... Peut-tre conscient de vivre une Žpoque historique, j"ai conservŽ jusqu"ˆ prŽsent de nombreux documents de cette Žpoque. deux traits marquants dans les programmes Žtaient?: matriciel (en dimension 2),

44o((ir"(grn(réorm(»

n o (*) marc.roux15@wanadoo.fr

(1) Incorrigible passŽiste, je fais allusion ˆ une chanson de Charles Aznavour, qu"ils ne

connaissent peut-tre pas non plus ! oubliŽe.

(3) Section ˆ prŽdominance SVT et physique, Žquivalent de notre S sans spŽcialitŽ maths.

Roux-Texte.qxp_Mise en page 1 25/02/2017 06:56 Page44 -les probabilitŽs, jusqu"ˆ l"inŽgalitŽ de BienaymŽ-Tchebycheff et la loi faible des grands nombres (y compris les dŽmonstrations).

Le premier cycle.

Il y a lieu de bien distinguer quatre domaines, mme si, ˆ l"Žpoque, un dŽbutant comme moi avait tendance ˆ confondre les trois premiers?: -les programmes, rŽdigŽs par la commission LichnŽrowicz, qui ne comprenait aucun enseignant de premier cycle (4) -les instructions, rŽdigŽes le plus souvent par l"Inspection GŽnŽrale ; -les manuels ; -ma pratique personnelle.

1. Les programmes.

Ils sont prŽvus pour un horaire hebdomadaire de 4 heures, dont une heure en est d"inclure des notions qui, de nos jours, ne se rencontrent pas avant les Žtudes post- baccalaurŽat?: relations d"Žquivalence et d"ordre, groupes, ... Ils sont concis, les niveaux d"approfondissement et les savoir-faire exigibles n"y sont pas prŽcisŽs. On pourra y noter?: , , les relations ; mais il est prŽcisŽ que ces notions sont Ç mises en -Le calcul algŽbrique (calculs sur les polyn™mes, identitŽs, exemples devient progressivement axiomatique?: Ç il est absolument indispensable que de nombreuses manipulations, des exercices pratiques utilisant les instruments de dessin aient prŽcŽdŽ ˆ la fois l"ŽnoncŽ des axiomes et tout raisonnement È?; ce n"est qu"Ç ˆ la fin de l"annŽe [que]la gŽomŽtrie, nŽe de groupes) est utilisŽ constamment tant en analyse (fonctions numŽriques) qu"en gŽomŽtrie (isomŽtries, ...).

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membres. APMEP n o 522
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2. Les instructions

quatre ans, l"initiative d"une expŽrimentation Žlargie ˆ l"ensemble des ŽtablissementsÈ. J"en extrais les quelques citations suivantes (5) raisonnement dŽductifÈ. comme4 et3? ; on pourra proposer des exercices nombreux avec des notations diverses, par exemple?:3g,4p(g pour gain, p pour perte)?;3g,4d (g pour gauche, d pour droite); 3, 4(, en dessous, en dessus)È. appara"tra dans quelques sŽquencesÈ.

Žventuellement scindŽs en deux groupesÈ.

confrontent frŽquemment leurs expŽriences et s"accordent pour rŽdiger des fiches communesÈ. On remarque des phrases en accord avec des positions que l"APMEP a toujours dŽfendues : font inflŽchir le cours, rŽdiger enfin les rŽsultats obtenus avec le souci de les rendre communicablesÈ?; -donner aux mathŽmatiques un aspect culturel? : Ç une connaissance convenable des mathŽmatiques dans leur logique et leur symbolisme, ainsi qu"un emploi habituel des ressources de leur langage, sont des ŽlŽments indispensables d"une formation humaineÈ?; Ç dans des ŽlŽments d"astronomie, en liaison avec la gŽographieÈ?; -ne pas parachuter brutalement un vocabulaire abstrait?: Ç l"acte de nommer consacre normalement la prise de possession dŽfinitive d"une notionÈ.

3. Les manuels.

Je me propose d"Žtudier la faon dont les programmes et les instructions Žtaient traduits dans la pratique ˆ travers trois exemples de notions typiques des programmes de l"Žpoque : relation d"Žquivalence, axiomatique de la gŽomŽtrie, notion de groupe.

3.1. Les relations d"Žquivalence.

Les instructions disent ˆ leur sujet? : Ç bien des exercices auront fait

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n o (5) Texte intŽgral des instructions : voir annexe 1. Roux-Texte.qxp_Mise en page 1 25/02/2017 06:56 Page46 relier logiquement les notions d"Žquivalence et de classes d"ŽquivalenceÈ. Les fiches Galion s"efforcent de respecter les consignes ˆ la lettre?: de Galion 5 s"appuie sur un exemple ŽtudiŽ antŽrieurement pour introduire la rŽflexivitŽ?: D"autres manuels n"ont pas ce souci de progressivitŽ dans l"introduction des notions?; voici par exemple la prŽsentation de la mme notion dans le Monge/Guinchan/Pelle (Belin)?: Fig 2?: la dŽfinition de la rŽflexivitŽ, chez Monge?: Poussons plus loin la comparaison? : Galion consacre 7 fiches, soit 14 pages, ˆ

l"introduction des propriŽtŽs de rŽflexivitŽ, symŽtrie et antisymŽtrie, transitivitŽ, puis

des notions de relation d"Žquivalence?et d"ordre (6) ; les partitions en classes sont

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informatiques renvoie ˆ une relation d"ordre, le tri des dŽchets correspond ˆ une relation d"Žquivalence. APMEP n o 522
Roux-Texte.qxp_Mise en page 1 25/02/2017 06:56 Page47 Monge arrive ˆ la dŽfinition de l"Žquivalence en 3 pages 1/2, suivies de 3 pages 1/2 sur les partitions en classes d"Žquivalence, puis consacre un chapitre distinct ˆ la relation d"ordre. Je me permets ici une apprŽciation subjective (avec un recul de 45 ans)?: chez Galion, la partition en classes est un peu escamotŽe, alors que c"est la raison d"tre mme de la relation d"Žquivalence, celle qui ouvre la voie aux ensembles-quotients, premier pas, selon moi, vers l"abstraction, celle qui permet de regrouper des individus multiples en un unique concept. Quand, en sciences de la vie, on Žtudie Ç le cheval È, il s"agit bien d"une classe d"individus ayant un certain nombre de mmes caractŽristiques.

3.2. L"axiomatisation de la gŽomŽtrie?:

On a beaucoup glosŽ sur une dŽfinition

de la droite, donnŽe dans les Commentaires 1971)
(7) et qui fut alors jugŽe si absconse qu"elle eut les honneurs du Canard

Encha"nŽ du 2 dŽcembre 1970.

En fait le programme n"impose rien?: Ç On

pourra adopter comme axiomes ceux qui sont indiquŽs dans les commentaires?; mais d"autres choix demeurent lŽgitimesÈ. L"APMEP s"Žtait Žmue et avait protestŽ?contre cette dŽfinition, Žvidemment ˆ cent lieues de ce que peut assimiler un adolescent de 13 ans?; pourtant elle est reprise quasi-textuellement dans le manuel codirigŽ par son ancien prŽsident (1960-1962)

AndrŽ Revuz?:

Fig 4?: Queysanne-Revuz 4e, page 243?:

Ç dessin et raisonnement È et 19 Ç Translations dans le plan È?:

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Roux-Texte.qxp_Mise en page 1 25/02/2017 06:56 Page48

Fig 5?: Extrait de Galion 4, fiche 18?:

Fig 6?: Extrait de Galion 4, fiche 19 :

jeu È sont adoptŽes sans indiquer clairement qu"elles sont choisies en accord avec les propriŽtŽs constatŽes sur les dessins. Comparons avec ce qu"on trouve dans le manuel Queysanne-Revuz (Nathan)?: le chapitre 16. Le plan, ses points, ses droitess"ouvre par deux paragraphes sur le

Ç plan physique È et les Ç droites physiques È, puis introduit prŽcautionneusement les

objets mathŽmatiques?: Fig 7: de l"objet physique ˆ l"objet mathŽmatique selon Queysanne-Revuz

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n o Roux-Texte.qxp_Mise en page 1 25/02/2017 06:56 Page49 Suit le texte des axiomes d"incidence, qui dŽfinissent plan et droites.

Fig 8?: Les axiomes d"incidence (Queysanne-Revuz)

Un peu plus loin, pour montrer que ces axiomes ne suffisent pas, on introduit le

Ç plan ˆ quatre points È?:

Fig 9?: Le plan ˆ quatre points

Le but du jeu Žtait de sortir (plus ou moins progressivement) du concret pour entrer dans le monde des IdŽes. Ainsi Queysanne-Revuz, dans un chapitre intitulŽ

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n o Roux-Texte.qxp_Mise en page 1 25/02/2017 06:56 Page50 Graduations de la droite, Žtudie la Ç droite physique È, ˆ grand renfort de dessins haut.

1.2.3. La notion de groupe.

programme ni dans les manuels, sa dimension historique n"Žtait ŽvoquŽe?: le nom d"ƒvariste Galois n"appara"t pas, les groupes ne sont vus que comme gŽnŽralisation, ˆ d"autres ensembles, des opŽrations et sur les nombres. Des exemples de groupes finis sont nŽanmoins ŽtudiŽs. Fig 10?: Introduction des groupes dans Galion 4 (prŽcisons que, dans la fiche 4, H est un ensemble ˆ 4 ŽlŽments munis d"une loi sans ŽlŽment neutre, et que le G de la fiche 3 est l"ensemble des parties de {a, b}) puisque je l"avais barrŽ manuellement, ˆ une date inconnue mais avant 1977.

4. La mise en application concrète, telle que je l"ai vécue.

Au lycŽe Saint-Just j"ai ŽtŽ intŽgrŽ sans difficultŽ notable ˆ une Žquipe dŽjˆ

soudŽe, qui bŽnŽficiait depuis l"annŽe prŽcŽdente d"un dispositif expŽrimental? :

niveau?; 5 heures de mathŽmatiques pour les groupes les plus faibles, contre 4 dans l"horaire officiel? ; une heure de concertation nous permettait d"harmoniser nos l"autre en cours d"annŽe, en fonction de leurs rŽsultats. Ces mutations, assez rares,

crŽaient une Žmulation chez les meilleurs ŽlŽments des groupes ˆ 5 heures, qui

rvaient de gagner une heure de libertŽ?; mais n"allaient pas sans grincements de

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n o Roux-Texte.qxp_Mise en page 1 25/02/2017 06:56 Page51 peine d"une marque d"Ç infamie È et d"une heure de cours supplŽmentaire. J"avais la que l"heure supplŽmentaire n"Žtait pas une panacŽe?: dans les groupes ˆ 5 heures le rythme et le niveau d"assimilation des connaissances restaient infŽrieurs ˆ ce qu"ils Žtaient dans les groupes Ç Žlitistes È. Nous employions les fiches Galion, Ç tout naturellement È, dirai-je, puisque l"origine de ce nom n"est autre que Ç gars de Lyon È. Un paragraphe entier des

instructions Žtait consacrŽ ˆ Ç L"emploi des fichesÈ. Lyon Žtait l"une des rares

villes (8) o existait dŽjˆ un IREM, dirigŽ par Maurice Glaymann (qui avait ŽtŽ prŽsident de l"APMEP de 1966 ˆ 1968, et ˆ ce titre avait fortement contribuŽ ˆ la crŽation des dits IREM). Nous Žtions tous, je crois, adhŽrents de l"APMEP, qui Žtait

Exemples d"explications orales?:

sans l"avoir dŽmontrŽ. Cette affirmation, vraie mais sans dŽmonstration, on appelle a un axiomeÈ (9) -diffŽrenciation entre un objet et son image ?: Ç Vous n"avez jamais vu une droite, et vous n"en verrez jamais?!È?; ou encore?: Ç Si vous avez faim et qu"on rapidement ˆ dire, avec justification, si une relation Žtait ou n"Žtait pas rŽflexive, symŽtrique, transitive, d"Žquivalence, d"ordre?; mais ils avaient beaucoup plus de difficultŽs ˆ dŽterminer les classes. Ë partir de 1972, ˆ Aubenas, j"ai encore utilisŽ les fiches Galion en premier

Ç faibles È, ni heure de concertation?; l"hŽtŽrogŽnŽitŽ des classes a posŽ quelques

d"ordre Žconomique?: les manuels Žtaient ˆ la charge des familles?; les fiches, prŽvues pour qu"on Žcrive directement dessus, n"Žtaient pas revendables. des termes et pour la correction de la syntaxeÈ. Par exemple, selon la fiche 41 de tolŽrŽ) !

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n o (8) Trois, avec Paris et Strasbourg (9) Cette conception de l"axiomatique n"est certes pas celle que j"ai ultŽrieurement acquise

gr‰ce ˆ de multiples lectures ; mais elle a au moins le mŽrite d"tre accessible ˆ un adolescent.

Roux-Texte.qxp_Mise en page 1 25/02/2017 06:56 Page52 On pouvait aussi constater une insuffisance de rŽsultats dans le domaine des mathŽmatiques Ç de tous les jours È peut-tre par rŽduction du temps qui y Žtait consacrŽ. Ainsi dans la marge d"une fiche d"exercices de Galion, portant sur des calculs de longueurs , avais-je Žcrit en 1977 Ç rŽsultats catastrophiquesÈ.?

Conclusion.

Cette plongŽe dans des souvenirs fort anciens m"inspire les rŽflexions suivantes, -C"Žtait pour moi une pŽriode professionnellement heureuse et facile? ; en effet? : 1) j"Žtais jeune (a compte !)? ; 2) j"avais ˆ enseigner des savoirs fra"chement acquis. ne ressentaient pas plus de difficultŽs qu"ˆ d"autres Žpoques?; les taux de rŽussite au bac Žtaient tout ˆ fait honorables (sans atteindre les sommets des exceptionnels. -Les intentions affichŽes dans les extraits citŽs des instructions vont ˆ l"encontre de l"accusation de Ç bourbakisme È souvent prononcŽe contre la rŽforme (10) -En premier cycle?un effort de renouvellement pŽdagogique a ŽtŽ concomitant ˆ la rŽforme ; il n"a malheureusement pas ŽtŽ prolongŽ dans le second cycle. dŽfinition de la droite ŽvoquŽe plus haut, ont ŽtŽ montŽs en Žpingle, alors qu"ils auraient pu tre gommŽs sans douleur. Je n"avais pas ˆ l"Žpoque le sentiment que la rŽforme avait ŽchouŽ ; j"ai longtemps espŽrŽ que les dŽcideurs sauraient trouver un Žquilibre entre d"une part les difficultŽs pŽdagogiques et politiques, d"autre part la volontŽ d"enseigner les -Les mathŽmatiques Žtaient considŽrŽes alors comme un domaine intellectuel Ç contemplŽes È plus que considŽrŽes comme outils? ; les exercices se bornaient souvent ˆ la vŽrification de l"assimilation d"un vocabulaire (Ç telle relation est-elle une relation d"Žquivalence? ? Telle loi est-elle une loi de groupe? ?È) Pourtant, comme l"Žcrivent Caroline Ehrardt et Renaud d"Enfer (11) , ˆ cette Žpoque Ç les mathŽmatiques modernes sont ŽrigŽes en un langage universel, commun ˆ l"ensemble des sciences [...] pour lesquelles secondaire, la mathŽmatisation du rŽel Žtait rejetŽe ˆ l"extŽrieur du champ mathŽmatique, la coupure Žtait quasi totale avec les autres disciplines et avec

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(10) Pour nos plus jeunes lecteurs, rappelons que le groupe Bourbaki, dans ses ouvrages, sŽpare strictement le domaine mathŽmatique du monde concret ; et aussi, qu"il ne s"adresse pas

ˆ des collŽgiens ni lycŽens !

(11) Apprendre les maths, ˆ quoi a sert ?Le Square, 2016. APMEP n o 522
Roux-Texte.qxp_Mise en page 1 25/02/2017 06:56 Page53 les applications ; on a pu dire que les mathŽmatiques souffraient d"une forme d"autisme. sans commune mesure avec ce qu"ils sont actuellement. Elle est entrŽe en secondaires, dont on ne peut qu"approuver le principe, est la principale des raisons qui interdisent dŽfinitivement le retour ˆ des programmes aussi ambitieux et sŽlectifs. -Ë ceci s"est ajoutŽe une rŽsistance de la part des enseignants en place depuis longtemps et peu familiers des notions nouvelles?; en particulier les nombreux

PEGC qui enseignaient dans la voie 3.

-Toutefois, pour pallier ce manque de formation, ont ŽtŽ mis en place et dŽveloppŽs les IREMs?, qui perdurent contre vents et marŽes?: c"est une retombŽe positive de la rŽforme. -Je continue ˆ penser que Ç abstraction È n"est pas un Ç gros mot È, je continue ˆ espŽrer que les mathŽmatiques resteront ou redeviendront un chemin On trouvera sur le site de l"APMEP, les annexes suivantes?:

1. Brochure ministŽrielle Horaires, Programmes, Instructions, 1970

3. Programmes Terminales toutes sections, 1971

4. Programmes Terminale C 1972

5. Extrait des instructions pour la classe de 4e, 1971.

Merci ˆ Pierre Legrand pour ses conseils, et pour avoir complŽtŽ ma documentation.

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n o Roux-Texte.qxp_Mise en page 1 25/02/2017 06:56 Page54quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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