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CONCOURS COMMUN INP
FILIÈRE MP
BANQUE
ÉPREUVE ORALE
DE MATHÉMATIQUES
SESSION 2022
avec corrigésV. Bellecave, J.-L. Artigue, A. Begyn, P. Berger, M. Boukhobza, F. Bernard, J.-P. Bourgade, J.Y. Boyer,
S. Busson, S. Calmet, A. Calvez, D. Clenet, J. Esteban, M. Fructus, R. Gabay, B. Harington, J.-P. Keller,
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2014, CC BY-NC-SA 3.0 FR
Dernière mise à jour : le 19/09/21
Banque épreuve orale de mathématiques session 2022, CCINP, filière MP Mise à jour : 19/09/21
Introduction
L"épreuve orale de mathématiques du CCINP, filière MP, se déroule de la manière suivante :
25mn de préparatio nsur table.
25mn de passage à l"oral.
Chaque sujet proposé est constitué de deux exercices :un exercice sur 8 p ointsis sude la banque publique accessible sur le site http://ccp.scei-concours.fr
un exercice sur 12 p oints. Les deux exercices proposés portent sur des domaines différents. Ce document contient les112 exercices de la banque pour la session 2022:58 exercices d"analyse ( exercice 1 à exercice 58).
36 exercices d"algèbre (exercice 59 à exercice 94).
18 exercices de probabilités (exercice 95 à exercice 112).
Dans l"optique d"aider les futurs candidats à se préparer au mieux aux oraux du CCINP, chaque exercice de la
banque est proposé, dans ce document, avec un corrigé. Il se peut que des mises à jour aient lieu en cours d"année scolaire.Cela dit, il ne s"agira, si tel est le cas, que de mises à jour mineures : reformulation de certaines questions pour
plus de clarté, relevé d"éventuelles erreurs, suppression éventuelle de questions ou d"exercices.
Nous vous conseillons donc de vérifier, en cours d"année, en vous connectant sur le site : http://ccp.scei-concours.frsi une nouvelle version a été mise en ligne, la date de la dernière mise à jour se trouvera en haut de chaque page.
Si tel est le cas, les exercices concernés seront signalés dans le présent document, page 3.
Remerciements à David DELAUNAY pour l"autorisation de libre utilisation du fichier source de ses corrigés des
exercices de l"ancienne banque, diffusés sur son sitehttp://mp.cpgedupuydelome.fr NB : la présente banque intègre des éléments issus des publications suivantes : A. Antibi, L. d"Estampes et interrogateurs, Banque d"exercices de mathématiques pour le programme2003-2014 des oraux CCP-MP,Éd. Ress. Pédag. Ouv. INPT,0701(2013) 120 exercices.
http://pedagotech.inp-toulouse.fr/130701 D. Delaunay, Prépas Dupuy de Lôme, cours et exercices corrigés MPSI - MP, 2014. http://mp.cpgedupuydelome.fr L"équipe des examinateurs de l"oral de mathématiques du CCINP, filière MP.Contact: Valérie BELLECAVE, coordonnatrice
des oraux de mathématiques du CCINP, filière MP. vbellecave@gmail.comCC BY-NC-SA 3.0 FR Page 2
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MISES À JOUR :
Les mises à jour signalées sont des mises à jour par rapport à la dernière version publiée sur le site du concours
commun INP, en date du 22/05/21.Exercice 36
barème modifié pour les examinateurs.Exercice 39 corrigé 3.
rajout de la ligne : On remarque déjà queFl2.Exercice 49 corrigé 1.a
Panconverge absolument, donc converge simplement remplacé par :Panconverge absolument, donc converge.
Exercice 81 énoncé question 3.
Déterminer la projection orthogonale remplacé par : Déterminer le projeté orthogonal.Exercice 86 corrigé 2.a
p^k= 1(carpest premier) donc, d"après 1.,p^k! = 1remplacé par :8i2J1;kK,p^i= 1(carpest premier)
donc, d"après 1.,p^k! = 1.Exercice 96
SUPPRIMÉ et REMPLACÉpar :
SoitXune variable aléatoire à valeurs dansN, de loi de probabilité donnée par :8n2N,P(X=n) =pn.
La fonction génératrice deXest notéeGXet elle est définie parGX(t) =E[tX] =+1X n=0p ntn. 1. Prouv erque l"in tervalle]1;1[est inclus dans l"ensemble de définition deGX. 2. Soit X1etX2deux variables aléatoires indépendantes à valeurs dansN.On poseS=X1+X2.
Démontrer que8t2]1;1[,GS(t) =GX1(t)GX2(t):
(a) en utilisan tle pro duitde C auchyde deux séries en tières. (b) en utilisan tuniquemen tla définition de l afonction génératrice par GX(t) =E[tX].Remarque: on admetra, pour la question suivante, que ce résultat est généralisable ànvariables
aléatoires indépendantes à valeurs dansN. 3.Un sac con tientquatr eb oules: une b oulen umérotée0, deux b oulesn umérotées1 et une b oulen umérotée2.
Soitn2N. On effectuentirages successifs, avec remise, d"une boule dans ce sac.On noteSnla somme des numéros tirés.
Soitt2]1;1[.
DéterminerGSn(t)puis en déduire la loi deSn.Exercice 13
SUPPRIMÉ et REMPLACÉpar :
1.Rapp eler,oralemen t,la définition, par les suites de v ecteurs,d"une partie compacte d"un espace v ectoriel
normé. 2.Démon trerq u"unepartie compacte d"un espace v ectorielnormé est une partie fermée de cet espace.
3.Démon trerq u"unepartie compacte d"un espace v ectorielnormé est une partie b ornéede cet espace.
Indication: On pourra raisonner par l"absurde.
4. On se place su E=R[X]muni de la normejj jj1définie pour tout polynômeP=a0+a1X+::::+anXndeEpar :jjPjj1=nX
i=0jaij. (a) Justifier que S(0;1) =fP2R[X]=jjPjj1= 1gest une partie fermée et bornée deE. (b) Calculer jjXnXmjj1pourmetnentiers naturels distincts. S(0;1)est-elle une partie compacte deE? Justifier.CC BY-NC-SA 3.0 FR Page 3
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BANQUE ANALYSE
EXERCICE 1 analyse
Énoncé exercice 1
1.On considère deux suites n umériques(un)n2Net(vn)n2Ntelles que(vn)n2Nest non nulle à partir d"un
certain rang etuns+1vn. Démontrer queunetvnsont de même signe à partir d"un certain rang. 2. Déterminer le signe, au v oisinagede l"infini, de : un=sh1n tan1nCorrigé exercice 1
1.P arh ypothèse,9N02N=8n2N;n>N0=)vn6= 0.
Ainsi la suiteunv
n est définie à partir du rangN0.De plus, commeuns+1vn, on alimn!+1u
nv n= 1.Alors,8" >0,9N2N=N>N0et8n2N;n>N=)u
nv n16". (1)Prenons"=12
. Fixons un entierNvérifiant(1).Ainsi,8n2N;n>N=)u
nv n1612C"est-à-dire,8n2N;n>N=) 12
6unv n1612On en déduit que8n2N;n>N=)unv
n>12Et donc,8n2N;n>N=)unv
n>0. Ce qui implique queunetvnsont de même signe à partir du rangN. 2.Au v oisinagede +1, sh(1n
) =1n +16n3+o1n 3 ettan1n =1n +13n3+o1n 3 . Doncuns+116n3. On en déduit, d"après 1., qu"à partir d"un certain rang,unest négatif.CC BY-NC-SA 3.0 FR Page 4
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EXERCICE 2 analyse
Énoncé exercice 2
On posef(x) =3x+ 7(x+ 1)2.
1.Décomp oserf(x)en éléments simples.
2.En déduire que fest développable en série entière sur un intervalle du type]r;r[(oùr >0).
Préciser ce développement en série entière et déterminer, en le justifiant, le domaine de validitéDde ce
développement en série entière. 3. (a)Soit Panxnune série entière de rayonR >0.
On pose, pour toutx2]R;R[,g(x) =+1X
n=0a nxn. Exprimer, pour tout entierp, en le prouvant,apen fonction deg(p)(0). (b) En déduire le dév eloppementlimité de fà l"ordre 3 au voisinage de 0.Corrigé exercice 2
1. En utilisan tles métho deshabituel lesde décomp ositionen élémen tssimple s,on trouv e: f(x) =3x+ 1+4(x+ 1)2. 2.D"après le cours, x7!1x+ 1etx7!1(x+ 1)2sont développables en série entière à l"origine.
De plus, on a8x2]1;1[,11 +x=+1P
n=0(1)nxn.Et,8x2]1;1[,1(1 +x)2=+1P
n=1(1)n+1nxn1( obtenu par dérivation du développement précédent).On en déduit quefest développable en série entière en tant que somme de deux fonctions développables en
série entière.Et8x2]1;1[,f(x) = 3+1P
n=0(1)nxn+ 4+1P n=0(1)n(n+ 1)xn.C"est-à-dire :8x2]1;1[,f(x) =+1X
n=0(4n+ 7)(1)nxn. NotonsDle domaine de validité du développement en série entière def.D"après ce qui précéde,]1;1[D.
NotonsRle rayon de convergence de la série entièreX(4n+ 7)(1)nxn.D"après ce qui précédeR>1.
Posons, pour tout entier natureln,an= (4n+ 7)(1)n. Pourx= 1etx=1,limn!+1janxnj= +1doncX(4n+ 7)(1)nxndiverge grossièrement.DoncR61,162Det162D.
On en déduit queD= ]1;1[.
3. (a)Soit Panxnune série entière de rayonR >0.
On pose, pour toutx2]R;R[,g(x) =+1X
n=0a nxn.D"après le cours,gest de classeC1sur]R;R[.
De plus,8x2]R;R[,
g0(x) =+1X
n=1na nxn1=+1X n=0(n+ 1)an+1xn g00(x) =+1X
n=1n(n+ 1)an+1xn1=+1X n=0(n+ 1)(n+ 2)an+2xn.CC BY-NC-SA 3.0 FR Page 5
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et, par récurrence, on a :8p2N,8x2]R;R[,g(p)(x) =+1X
n=0(n+ 1)(n+ 2):::(n+p)an+pxn=+1X n=0(n+p)!n!an+pxn.Ainsi, pour toutp2N,g(p)(0) =p!ap.
C"est-à-dire, pour toutp2N,ap=g(p)(0)p!.
(b)fest de classeC1sur]1;1[. Donc d"après la formule de Taylor-Young, au voisinage de0,f(x) =3X p=0f (p)(0)p!xp+o(x3). (*)Or, d"après 3.(a), pour tout entierp,f(p)(0)p!est aussi la valeur dupièmecoefficient du développement en
série entière def. Donc, d"après 2., pour tout entierp,f(p)(0)p!= (4p+ 7)(1)p. (**) Ainsi, d"après (*) et (**), au voisinage de0,f(x) =3X p=0(4p+ 7)(1)pxp+o(x3). C"est-à-dire, au voisinage de0,f(x) = 711x+ 15x219x3+o(x3).CC BY-NC-SA 3.0 FR Page 6
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EXERCICE 3 analyse
Énoncé exercice 3
1.On p oseg(x) = e2xeth(x) =11 +x.
Calculer, pour tout entier naturelk, la dérivée d"ordrekdes fonctionsgethsur leurs ensembles de
définitions respectifs. 2.On p osef(x) =e2x1 +x.
En utilisant la formule de Leibniz concernant la dérivéenièmed"un produit de fonctions, déterminer, pour
tout entier naturelnet pour toutx2Rnf1g, la valeur def(n)(x). 3.Démon trer,dans le cas g énéral,la form ulede Leibniz, utilisée dans la question précéden te.
Corrigé exercice 3
1.gest de classeC1surRethest de classeC1surRnf1g.
On prouve, par récurrence, que :
8x2R,g(k)(x) = 2ke2xet8x2Rnf1g,h(k)(x) =(1)kk!(1 +x)k+1.
2.gethsont de classeC1surRnf1gdonc, d"après la formule de Leibniz,fest de classeC1surRnf1g
et8x2Rnf1g: f (n)(x) =nX k=0 n k g (nk)(x)h(k)(x) =nX k=0 n k 2 nke2x(1)kk!(1 +x)k+1=n!e2xnX k=0(1)k2nk(nk)!(1 +x)k+1. 3.Notons (Pn)la propriété :
Sif:I!Retg:I!Rsontnfois dérivables surIalors,fgestnfois dérivable surIet :8x2I,(fg)(n)(x) =nX
k=0 n k f (nk)(x)g(k)(x).Prouvons que(Pn)est vraie par récurrence surn.
La propriété est vraie pourn= 0et pourn= 1(dérivée d"un produit).Supposons la propriété vraie au rangn>0.
Soitf:I!Retg:I!Rdeux fonctionsn+ 1fois dérivables surI.Les fonctionsfetgsont, en particulier,nfois dérivables surIet donc par hypothèse de récurrence la
fonctionfgl"est aussi avec8x2I,(fg)(n)(x) =nX k=0 n k f (nk)(x)g(k)(x). Pour toutk2 f0;:::;ng, les fonctionsf(nk)etg(k)sont dérivables surIdonc par opération sur les fonctions dérivables, la fonction(fg)(n)est encore dérivable surI. Ainsi la fonctionfgest(n+ 1)fois dérivable et :8x2I,(fg)(n+1)(x) =nX
k=0 n k f(n+1k)(x)g(k)(x) +f(nk)(x)g(k+1)(x)En décomposant la somme en deux et en procédant à un décalage d"indice sur la deuxième somme, on
obtient :8x2I,(fg)(n+1)(x) =nX k=0 n k f (n+1k)(x)g(k)(x) +n+1X k=1 n k1 f (n+1k)(x)g(k)(x).C"est-à-dire
(fg)(n+1)(x) =nX k=1 n k +n k1 f (n+1k)(x)g(k)(x) +n 0 f (n+1)(x)g(0)(x) +n n f (0)(x)g(n+1)(x).Or, en utilisant le triangle de Pascal, on a
n k +n k1 =n+ 1 kOn remarque également que
n 0 = 1 =n+ 1 0 etn n = 1 =n+ 1 n+ 1On en déduit que(fg)(n+1)(x) =n+1X
k=0 n+ 1 k f (n+1k)(x)g(k)(x).Donc(Pn+1)est vraie.
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EXERCICE 4 analyse
Énoncé exercice 4
1. Énoncer le théorème des accroisse mentsfinis. 2.Soit f: [a;b]!Ret soitx02]a;b[.
On suppose quefest continue sur[a;b]et quefest dérivable sur]a;x0[et sur]x0;b[.Démontrer que, sif0admet une limite finie enx0, alorsfest dérivable enx0etf0(x0) = limx!x0f0(x).
3. Prouv erque l"implication : ( fest dérivable enx0)=)(f0admet une limite finie enx0) est fausse. Indication: on pourra considérer la fonctiongdéfinie par :g(x) =x2sin1x six6= 0etg(0) = 0.Corrigé exercice 4
1.Théorème des accroissemen tsfinis :
Soitf: [a;b]!R.
On suppose quefest continue sur[a;b]et dérivable sur]a;b[.Alors9c2]a;b[tel quef(b)f(a) =f0(c)(ba).
2.On p osel= limx!x0f0(x).
Soith6= 0tel quex0+h2[a;b].
En appliquant le théorème des accroissements finis, à la fonctionf, entrex0etx0+h, on peut affirmer
qu"il existechstrictement compris entrex0etx0+htel quef(x0+h)f(x0) =f0(ch)h.Quandh!0(avech6= 0), on a, par encadrement,ch!x0.
Donclimh!01h
(f(x0+h)f(x0)) = limh!0f0(ch) = limx!x0f0(x) =l. On en déduit quefest dérivable enx0etf0(x0) =l. 3. La fonction gproposée dans l"indication est évidemment dérivable sur]1;0[et]0;+1[. gest également dérivable en 0 car1h (g(h)g(0)) =hsin1hOrlimh!0h6=0hsin1h
= 0carjhsin1h j6jhj.Donc,gest dérivable en0etg0(0) = 0.
Cependant,8x2Rnf0g,g0(x) = 2xsin1x
cos1x2xsin1x
x!00(carj2xsin(1x )j62jxj), maisx7!cos1x n"admet pas de limite en 0.Doncg0n"a pas de limite en0.
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EXERCICE 5 analyse
Énoncé exercice 5
1. On considère la série de terme général un=1n(lnn)oùn>2et2R. (a)Cas6660 En utilisant une minoration très simple deun, démontrer que la série diverge. (b)Cas >0Étudier la nature de la série.
Indication: on pourra utiliser la fonctionfdéfinie parf(x) =1x(lnx). 2.Déterminer la nature de la s érie
X n>2 e 1 +1n n e 1n (ln(n2+n))2.Corrigé exercice 5
1. (a)Cas 60
8n>2,lnn>ln2donc(lnn)6(ln2).
On en déduit que :8n>2,un>1(ln2)
1n Or X n>21n diverge. Donc , par critère de minoration pour les séries à termes positifs, on en déduit que X n>2u ndiverge. (b)Cas >0
La fonctionf:x7!1x(lnx)est continue par morceaux, décroissante et positive sur[2;+1[donc : X n>2f(n)etZ +1 2 f(x)dxsont de même nature.Puisque
Z X 2 f(x)dx= t=lnxZ ln(X) ln2dtt , on peut affirmer que :Z +1 2 f(x)dxconverge() >1.On en déduit que :
X n>2f(n)converge() >1. 2.On p ose,p ourtout en tiernaturel n>2,un=
e 1 +1n n e 1n (ln(n2+n))2.Au voisinage de+1,
e 1 +1n n = eenln(1+1n )= een(1n12n2+o(1n
2))= ee112n+o(1n
)=e2n+o1nOn en déduit qu"au voisinage de+1,e
1 +1n n s+1e2n.De plus, au voisinage de+1,lnn2+n= 2lnn+ ln
1 +1n = 2lnn+1n +o1nDonclnn2+ns+12lnn.
Et commee1n
s+11, on en déduit queuns+1e81n(lnn)2.
Or, d"après 1.(b),
X n>21n(lnn)2converge.CC BY-NC-SA 3.0 FR Page 9
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Donc, par critère d"équivalence pour les séries à termes positifs, X n>2uquotesdbs_dbs47.pdfusesText_47[PDF] maths niveau 3eme
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