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Fonctions réelles. J. Gillibert. Corrigé du TD no 11. Exercice 1. Soient f et g deux fonctions continues R ? R. On suppose que : ?x ? Q f(x) = g(x).
CORRECTIONSDéclic Maths
Fonctionspolynômesduseco nddegré.Equations
Correctiondesexercicesbilan page37
•Bilan11)Onaf(x)=(m!1)x
2 !2mx+m+2 festunp olynômedu seconddegrésiet seulements ilecoe!cientdutermeen x 2 est nonnul;ici m!1"=0doncD=R\{1}2)(a)-1estu ne racine#f(!1)=0
#m!1+2m+m+2=0 #4m=!1 #m= !1 4 (b)fadmetuneraci neuniquesi etseulementsisondi scriminantestnul. ici!=b 2 !4ac=0#(!2m) 2 !4(m!1)(m+2)=0 #4m 2 !4(m 2 +m!2)=0 #m=2 (c)fadmetdeuxracin esdistinctes sietseulementsisondiscr iminanteststrictement positif. ici!=b 2 !4ac>0#(!2m) 2 !4(m!1)(m+2)>0 #!4(m!2)>0 #m!2<0 #m<2 (d)fsefactorisepar x!2sietseulemen tsi 2estuneracine. f(2)=0 #4(m!1)!4m+m+2=0 #4m!4!4m+m+2=0 #m=2 (e)Lasomme desracinesvaut S= !b a 2m m!1 =62m=6m!6
m= 3 2 (f)Leproduit desracinesvaut P= c a m+2 m!1 =!1 m+2=!m+1 m=! 1 2 •Bilan31)Aprèsav oircalculerlediscriminant,ontro uveque-2et
1 2 sontlesracine sde f, doncf(x)=2(x+2) x! 1 2 =(x+2)(2x!1). Aprèsav oircalculerlediscriminant,ontro uveque4et 1 2 sontlesracinesdeg, doncg(x)=2(x!4) x! 1 2 =(x!4)(2x!1). 2) 1 f(x) 1 g(x) 1 (x+2)(2x!1) 1 (x!4)(2x!1)1(x!4)+x(x+2)
(x+2)(x!4)(2x!1) x 2 +3x!4 (x+2)(x!4)(2x!1) (x+4)(x!1) (x+2)(x!4)(2x!1)Doncl'équation
1 f(x) 1 g(x) =0admetdeuxsolu tions-4et1. •Bilan51)Enno tantpleprixinitia ldemandé auxélèves,o na:
x$p=168pourlaprem ièrev ersionet (x!2)(p+0,40)=168Onad oncp=
168x etp= 168
x!2 !0,4
2)Ils'agitde résoudr eunsy stèmededeuxéquationsàdeux inconnuesq uiseramèneà
uneéquatio nduseconddegré.Ona alors :0,4x 2 !0,8x!336=0 Ontr ouve!=538,24etlesdeux solutionssont -28et30. Seulelasolution positive n'esten visageable.Ilyadonc30élèvesdans laclasse. •Bilan61)a)Onpose AM=xdoncAN=6!x.
L'airedutriang levau tici
AM$AN 2Onch ercheàrésoudre
x(6!x) 2 =10soit!x 2 +6x!20=0 dontlediscriminant estnégatif.Il n'ya doncpasun teltriangled'aire 10cm 2 b)Onch ercheàrésoudre x(6!x) 2 =3soit!x 2 +6x!6=0dontlediscriminant vaut12.Les deuxsolut ionssont 3! 3et3+3(lesrôles deAMetAN
s'échangent)2)a)x&[0;6]
b)D'aprèslethéorèmedePyt hagor e,onaf(x)=x 2 +(6!x) 2 =2x 2 !12x+363)a)Onrésou tf(x)=16soit2x
2 !12x+20=0dontlediscriminantest négatif.Donciln'yapa sdetel triangle AMNa vecMN=4cm.
b)Onrésou tf(x)=25soit2x 2 !12x+11=0dontlediscriminantv aut5 6.Il yadoncdeuxsolutionsAM= 6! 14 2 etAN= 6+ 14 2 etladeuxième enéchangeantlesrôlesdeAMetAN.
4)a)f(x)=2x
2 !12x+36=2(x 2 !6x)+36=2(x!3) 2 !18+36 =2(x!3) 2 +18 b)f(x)!f(3)=f(x)!18=2( x!3) 2 quiest toujours positifounul.Doncf(x)!f(3)
c)Onad oncMN 2 !18commeun longueurestp ositiveMN!3 2. Onad ansce casAM=AN=3etletriangle estisocèle rectangleenA. •Bilan81)Lescoo rdonnéesd'unpointdelacourb ereprésenta tived'unefonctionfsontdela
forme(x;f(x));iciA(a; 1 a2)Lepo intIestlemilieudusegmen t[AB].
x I x A +x B 2 doncx B =2x I !x A 7 2 !a y I y A +y B 2 doncy B =2y I !y A 7 3 1 aOnab ienB
7 2 !a; 7 3 1 a3)Lepo intBappartientàlacourb eCsietseulemen tsi sescoordonnéesvérifient
y B 1 x B .D'aprèslaquestionprécédente: 1 x B 1 7!2a 2 2 7!2a B&C# 2 7!2a 7a!3 3a #6a=(7!2a)(7a!3) #!14a 2 +49a!21=0#2a 2 !7a+3=0=0
4)Ona!=25doncdeuxsolutio nsa
1 1 2 eta 2 =3.Orcesd euxab scissessonttelles que
1 2 +3 2 7 4 =x I Doncilexiste deux pointsAetBa ppartenantà lecourbeCdontlemilieudusegmen t [AB]estlep ointI.Fonctionspolynômesduseco nddegré,parabole
Correctiondesexercicesbilan page67
•Bilan11)Onconsi dèreunefonctionfdéfiniesurRparf(x)=!3x
2 +6x!4 a)Lediscriminan tdutrinômevaut !=36!3$4 2 =!12. Ilestnégat if,donc letrinômeestt oujoursdu signedea,icinégatif.Ainsi,po urtoutx,f(x)<0.
b)Graphiquement,celasignifieque lacourbe sesitueen dessousdel'axe desabs- cisses.2)f(x)=!3(x
2 !2x)!4=!3[(x!1) 2 !1]!4=!3(x!1) 2 +3!4=!3(x!1) 2 !13)Laforme canoniquenousp ermetd'a!rmerquel'a xedesymétrie estladroited'é qua-
tionx=1etquele sommetap ourcoordonnées (1;!1). 4)a) x!'1+' f !1 b)Enét udiantletableaudevariat ions,o npeutdireque: pourm!1,l'équationf(x)=mn'admetpasde solution.5)Déterminerlesabsciss esdespo intsd'intersectiondelacourbeavecla droited'équation
y=!4revientàrésoudre l'équation f(x)=!4. !3x 2 +6x!4=!4 !3x 2 +6x=03x(!x+2)=0
Cetteéquatio nproduitadmetdeuxsoluti ons0et2quisontlesabsc issesdespoints d'intersection.Onpeutvérifier quef(0)= !4etf(2)= !4.Lespointsd'intersection sontdonc(0;!4)et(2;4).6)Pourétudie rlapositionrelativede lacour beCparrapport àladroited'équation
f(x)!(!4x+3)=!3x 2 +6x!4+4x!3=!3x 2 +10x!7.Lesracines decetrinômeso nt1 et
7 3 etcetrinôme estdusigne dea,icinégatif,à l'extérieurdesra cines.DoncCestaudessus dela droitesur]1;
7 3 [et endessousde ladroite sur]!';1[(] 7 3 7) •Bilan31)Onal afigu resuiv ante:
a)Lepo intMappartientausegmen t[AB ],doncx&[0;6] b)Lestriang lesBMNetBAContdeuxangleséga ux,don cilss ontsembla bles.Donc BMNesta ussiisoc èlerectangle,ai nsiMB=MN=AP=6!x.DoncA(x)=AM$AP=x(6!x)=!x
2 +6x2)A(x)!8#!x
2 +6x!8!0Lesracines decetrinômes ont2 et4.
Letrinôme estdusignede a,icinégatifàl'extérieurdesracines.DoncA(x)!8pourx&[2;4]
3)A(x)"
1 4 AB$AC 2 A(x)" 1 4 36quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47
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