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Préparer les maths Hec en prépa ECE

116 exercices et 74 questions courtes d"oraux avec corrigés

Martin Canu

2021
2

Table des matières

Références à des parties du programme de ECE iii

Avant-propos vii

1 Exercices 1

1.1 Algèbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2 Analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.3 Probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

2 Questions courtes 59

2.1 Algèbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59

2.2 Analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

65

2.3 Probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

69

3 Corrigés des exercices 77

3.1 Algèbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

77

3.2 Analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

108

3.3 Probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

162

4 Corrigés des questions courtes 257

4.1 Algèbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

257

4.2 Analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

273

4.3 Probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

288
i ii

Références à des parties du programme

de ECE

Partie 0 : Révisions de première année.

Exercice 28 page 14

Exercice 31 page 16

Exercice 38 page 19

Exercice 39 page 19

Exercice 41 page 20

Exercice 42 page 20

Exercice 48 page 22

Exercice 50 page 23

Exercice 53 page 25

Exercice 61 page 29

Exercice 64 page 30

Exercice 65 page 31

Exercice 70 page 34

Exercice 71 page 34

Exercice 81 page 37

Exercice 82 page 37

Exercice 84 page 38

Exercice 89 page 40

Exercice 98 page 45Question 30 page 65

Question 34 page 66

Question 35 page 66

Question 36 page 66

Question 41 page 67

Question 46 page 69

Question 47 page 69

Question 48 page 69

Question 49 page 69

Question 51 page 70

Question 52 page 70

Question 53 page 70

Question 54 page 71

Question 57 page??

Question 63 page 72

Question 64 page 72

Question 67 page 73

Question 69 page 74

Question 70 page 74

Partie 1 : Espaces vectoriels et applications linéaires.

Exercice 2 page 1

Exercice 6 page 3

Exercice 7 page 4

Exercice 8 page 5

Exercice 9 page 5

Exercice 11 page 6

Exercice 13 page 6

Exercice 17 page 8Question 3 page 59

Question 7 page 60

Question 10 page 60

Question 14 page 61

Question 15 page 62

Question 17 page 62

Question 19 page 63

Question 22 page 63

Question 23 page 63

Question 25 page 64

Partie 2 : Compléments sur les suites et les séries. iii iv

Exercice 33 page 17

Exercice 35 page 18

Exercice 36 page 18

Exercice 43 page 21

Exercice 52 page 24

Exercice 54 page 25

Exercice 55 page 26

Exercice 56 page 26Question 38 page 67

Partie 3 : Compléments sur les intégrales et les comparaisons de fonctions.

Exercice 29 page 15

Exercice 32 page 16

Exercice 34 page 17

Exercice 37 page 19

Exercice 40 page 20

Exercice 44 page 21

Exercice 45 page 21

Exercice 46 page 22

Exercice 49 page 22

Exercice 51 page 24

Exercice 57 page 27Question 31 page 65

Question 32 page 66

Question 40 page 67

Question 43 page 68

Partie 4 : Réductions des endomorphismes et des matrices.

Exercice 1 page 1

Exercice 3 page 2

Exercice 4 page 2

Exercice 5 page 2

Exercice 10 page 5

Exercice 12 page 6

Exercice 14 page 7

Exercice 15 page 7

Exercice 16 page 7

Exercice 18 page 8

Exercice 19 page 8

Exercice 20 page 9

Exercice 21 page 10

Exercice 22 page 10

Exercice 23 page 11

Exercice 24 page 12

Exercice 25 page 12

Exercice 26 page 13

Exercice 27 page 14Question 1 page 59

Question 2 page 59

Question 4 page 59

Question 5 page 59

Question 6 page 60

Question 8 page 60

Question 9 page 60

Question 11 page 61

Question 12 page 61

Question 13 page 61

Question 16 page 62

Question 18 page 62

Question 20 page 63

Question 21 page 63

Question 24 page 64

Question 26 page 64

Question 27 page 64

Question 28 page 65

Question 29 page 65

Partie 5 : Couples et vecteurs aléatoires discrets.

Préparation aux oraux hec voie Ev

Exercice 63 page 30

Exercice 66 page 31

Exercice 68 page 32

Exercice 72 page 34

Exercice 73 page 34

Exercice 74 page 35

Exercice 76 page 35

Exercice 79 page 37

Exercice 91 page 42

Exercice 94 page 43

Exercice 95 page 43

Exercice 97 page 45

Exercice 99 page 46

Exercice 100 page 47

Exercice 102 page 48

Exercice 104 page 49

Exercice 107 page 51

Exercice 110 page 52

Exercice 113 page 54Question 56 page 71

Question 58 page 71

Question 62 page 72

Question 65 page 73

Question 66 page 73

Question 68 page 73

Question 72 page 74

Question 74 page 75

Partie 6 : Fonctions de deux variables, recherche d"extremum.

Exercice 30 page 15

Exercice 47 page 22Question 37 page 66

Question 39 page 67

Question 42 page 68

Question 44 page 68

Question 45 page 68

vi Partie 7 : Variables aléatoires à densité.

Exercice 58 page 28

Exercice 59 page 28

Exercice 67 page 32

Exercice 69 page 33

Exercice 75 page 35

Exercice 77 page 36

Exercice 85 page 38

Exercice 86 page 39

Exercice 88 page 40

Exercice 90 page 41

Exercice 92 page 42

Exercice 93 page 42

Exercice 101 page 47

Exercice 103 page 48

Exercice 105 page 49

Exercice 109 page 52

Exercice 116 page 57Question 33 page 66

Question 50 page 69

Question 60 page 71

Question 61 page 72

Question 73 page 75

Partie 8 : Convergences et approximations en probabilités.

Exercice 60 page 29

Exercice 62 page 29

Exercice 79 page 36

Exercice 83 page 38

Exercice 108 page 51

Exercice 111 page 53

Exercice 114 page 55

Exercice 115 page 56Question 55 page 70

Question 71 page 74

Partie 9 : Estimation ponctuelle, intervalles de confiance.

Exercice 78 page 36

Exercice 87 page 39

Exercice 96 page 44

Exercice 106 page 50

Exercice 112 page 54Question 61 page 72

Avant-propos

Un objectif ...

Préparer les oraux de maths de Hec pour un étudiant de prépa ECE, ce n"est pas si facile. Les ECS sont plus aidés car ils préparent en même temps les oraux de Hec et de l"Escp, oraux de maths qui se ressemblent beaucoup et pour lesquels l"Escp fournit des outils assez développés depuis au moins 1996. Hec n"a d"ailleurs jamais caché sa préférence à recruter des étudiants de profil ECS. Les chiffres donnant le nombre de candidats, d"admissibles et d"admis dans les différentes voies sont extrêmement parlants. Il faut donc être bien préparé etcommencer tôt, et surtout ne pas attendre la publication des résultats d"admissibilité. D"ailleurs, préparer ces exercices d"oraux rendra de précieux services à tous ceux qui souhaitent s"aguerrir pour les écrits. C"est un des moyens les plus efficaces pour passer de

15 à 20 dans vos résultats des épreuves écrites maths hec (ou essec).

Les sources ...

Presque tous les exercices (et questions) sont extraits de planches d"oraux HEC. Du- est appelé à exposer sa solution pendant 20 à 25 minutes. Le jury peut intervenir pour ai- der le candidat ou pour lui demander d"accélérer si celui-ci s"attarde trop sur des parties faciles. Le jury soumet ensuite une question courte au candidat (dans un autre domaine

que celui couvert par l"exercice). L"exposé de la solution à la question est donc improvisé,

et cela sur un temps de 5 à 10 minutes. Dans tous les cas, l"exercice ou bien la question portera sur les probabilités. Les exercices (et questions) marqués "Entraînement" sont de grands classiques, de sources diverses et perdues dans le temps (extrait de problèmes, échanges entre enseignants, oraux de l"Escp ...). Les exercices (et questions) sont presque tous datées entre 1996 et 2015. A partir de 2016, Hec a enfin accepté de publier un échantillon de planches posées aux oraux, accompagnées de corrigés. Le travail de préparation peut donc s"effectuer directe- ment avec ces planches qui sont publiques, à disposition des enseignants et des étudiants de prépas.

Choisir un exercice ...

Les exercices sont classés dans l"ordre des années de préparation (et donc, le plus souvent, des années d"oraux de Hec). Mais chaque exercice et chaque question possèdent une référence à une partie du programme de deuxième année de ECE. On peut donc puiser dans ce recueil les exercices vii viii

au fur et à mesure que l"on avance dans l"année. Pour ceux qui ont déjà fait une deuxième

année, tous les exercices sont directement accessibles. On remarquera la présence d"assez nombreux exercices (et questions), référencés [Part

0], qui sont accessibles aux étudiants de première année, en fin d"année, ou aux étudiants

de deuxième année, dès le début de l"année.

Vers un mode d"emploi ...

Une fois l"exercice choisi, il faut y consacrer au moins 30 minutes de préparation (comme à l"oral de Hec) et faire un premier bilan. Je conseille de poursuivre par au moins

15 minutes complémentaires, car il est presque impossible de traiter la totalité de l"exer-

cice en 30 minutes. Ce n"est qu"après ce temps de préparation que l"on pourra se référer à la correction.

Celle-ci doit être travaillée en profondeur, et il ne faut pas hésiter à y consacrer au moins

45 minutes et à compléter ce travail sur le corrigé par un retour sur les parties du cours

mal assimilées. les aborder frontalement en essayant d"exposer tout de suite une solution. Si cela s"avère trop difficile, un regard rapide sur le corrigé peut permettre de lancer le travail (ce qui correspond à une indication donnée par le jury un jour d"oral). On peut consacrer 15 à

30 minutes à chaque question pour en profiter pleinement et retravailler le corrigé 5 à 15

minutes ensuite.

Bonnes maths!

Martin Canu

Professeur en prépa Hec puis ECE2 de 1990 à 2020 au lycée Gustave Flaubert Rouen

Chapitre 1

Exercices

1.1 Algèbre

Exercice 1[Part 4] Entraînement

R

3est muni de sa base canonique(i;j;k).

Soitfetgdeux endomorphismes tels quefg=gf.

1)Le résultat de cette question pourra être admis dans un premier temps.

Montrer que sixest un vecteur propre defassocié à une valeur propreldont l"espace propre est de dimension 1, alors il est vecteur propre deg.

2)SoitA=0

@3 11 1 3 1

0 2 21

A la matrice defdans(i;j;k).

On posee1=i+k,e2=12

(i+j),e3=j+ketB= (e1;e2;e3). Montrer queBest une base deR3et donner la matrice defdansB.

3)On cherche la forme de la matrice degdansB.

Montrer l"existence de 2 réelsaetctels queg(e1) =a:e1etg(e3) =c:e3.

Montrer queu=g(e2)a:e2est un vecteur propre def.

En déduire la forme de la matrice degdansB.

4)Réciproquement, siga pour matrice0

@a b0 0a0 0 0c1 A dansB,fetgcommutent-ils?

5)Trouver la forme générale des matricesMqui commutent avecA.

Exercice 2[Part 1] Entraînement

On noteI=1 0

0 1 . SoitA=a b c d

2M2(R), avecb6=0. On définit :

C(A) =fM2M2(R)=AM=MAgetR(A) =fX2M2(R)=X2=Ag

1 2 1) a: SoitM=x1x2 x 3x4

2M2(R).

Montrer que :M2C(A)()(bx3=cx2etbx1= (ad)x2+bx4).

b:Montrer queC(A)est le sous espace vectoriel deM2(R)engendré parAetI. 2) a: Montrer queR(A)C(A). b:Montrer qu"il existe un couple unique(t;d)2R2, que l"on déterminera, tel queA2=tAdI.

3)Pour les matricesAisuivantes (16i63), indiquer le nombre d"éléments deR(Ai)

et lorsqu"il n"est pas vide, donner le produit et la somme de ses éléments : A 1=01 1 0 A 2=0 1 1 0 A 3=2 2 1 3

Exercice 3[Part 4] Entraînement

SoitE=R3[X]l"ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à 3. Soitfl"appli- cation deEdansEdéfinie par : f:P7!QavecQ(X) =6P0(0)X3+3P00(0)X2+6P(0)X+P000(0)

1)Rappeler la dimension de l"espace vectorielE

2)Montrer quefest un endomorphisme deE.

3)Choisir une base deEet donner la matriceBdefdans cette base.

4)CalculerB3le plus simplement possible.

Quelles sont les valeurs propres deB?

Best-elle diagonalisable?

Exercice 4[Part 4] Entraînement

Soita,b, etctrois réels non nuls tels quea2+b2+c2=1.

SoitA=0

@a2ab ac ab b 2bc ac bc c 21
A

2M3(R).

On notefl"endomorphisme deR3dont la matrice dans la base canonique deR3estA.

1)Déterminer une baseB1de kerf.

2)Déterminer une baseB2de Imf.

3)Montrer que la famille constituée par les vecteurs deB1et ceux deB2est une base

deR3.

4)En déduire quefest diagonalisable.

Exercice 5[Part 4] HEC 2001 oral voie E

Préparation aux oraux hec voie E3

On considère les matrices suivantes :

A=3 4 43
B=1 2 2 1 I=1 0 0 1 1) a: Les matricesAetBsont-elles diagonalisables? b:Déterminez les valeurs propres deAetB.

2)On veut déterminer les matricesM, carrées d"ordre 2 à coefficients réels, vérifiant

les conditions : (S)8 :M

33M2+3M=A

et M

2+2M=B

On dira qu"une telle matrice est solution du système(S). On suppose que le système (S)a des solutions et on noteMl"une d"elles. a:Établir les égalités :(MI)3=AIet(M+I)2=B+I. b:En déduire que les matricesMIetM+Ine sont pas inversibles. c:En déduire que la matriceMest diagonalisable et vérifie l"égalitéM2=I. d:Déterminer toutes les solutions du système(S).

3)On veut déterminer les matricesMcarrées d"ordre 2 à coefficients réels vérifiant

l"égalité : M

33M2+3M=A

NotonsMune telle matrice (s"il en existe).

a:Montrer qu"il existe deux réelsaetbet une matricePinversible tels qu"on a M=P1a 0b P 1 b:En déduire que la matriceM24M+7Iest inversible. c:Établir les égalités :(M+I)(M24M+7I) =A+7I. d:Déterminer toutes les matricesMvérifiant l"égalité :M33M2+3M=A

Exercice 6[Part 1] Entraînement

Cours :Formule du binôme : énoncé, une démonstration? on associe la suite ba= (ba0;ba1;:::;caN)où, pour tout entierntel que 06n6N,ban est défini par l"égalité : b an=nå k=0 n k (1)kak Pour tout entier naturelntel que 06n6N, calculerbandans les cas suivants : a:Pour tout entier naturelntel que 06n6N,an=qnoùqest un réel fixé. 4 b:Pour tout entier naturelntel que 06n6N,an=n2. c:Pour tout entier naturelntel que 06n6N,an=n p oùpest un entier naturel fixé.

2)Pour tout suite finiea= (a0;a1;:::;aN), vérifier quebba=a.

3)Dans cette question, on suppose queN=3 et on noteFl"application qui à tout

élémenta= (a0;a1;a2;a3)deR4associe l"élémentba= (ba0;ba1;ba2;ba3)deR4. a:Vérifier queFest linéaire et donner sa matriceMrelativement à la base cano- nique deR4. b:Justifier l"inversibilité deMet déterminerM1. c:On noteFl"ensemble des élémentsa= (a0;a1;a2;a3)deR4vérifianta=ba.

Déterminer la dimension deF.

Exercice 7[Part 1] HEC 1999 oral voie E

On considère un entier naturelnnon nul et on noteMn(R)l"espace vectoriel des matrices

carrées d"ordrenà coefficients réels. L"élément deMn(R)dont tous les coefficients sont

nuls est notéOn.

1)Étant donné un élémentBdeMn(R), on considère l"application deMn(R)dans

lui-même notéFB, qui à toute matriceMdeMn(R)associeFB(M) =MBBM. a:Vérifier queFBest un endomorphisme deMn(R). b:Dans le cas particulier oùn=2 etB=1 1 0 0 , déterminer les matricesA telles queFB(A) =A.

Que vautA2pour une telle matrice?

2)On considère deux élémentsAetBdeMn(R)vérifiant :ABBA=A.

a:Montrer que :A2BBA2=2A2 puis que, pour tout entier naturelk,AkBBAk=kAk.quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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