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c) Les suites (S2n) et (S2n+1) convergent vers une même limite donc la suite (Sn) converge (vers cette limite commune). 1.4 Fonctions usuelles. Exercice 28.
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Exercice 12 – Soit A et B deux matrices carrées de même ordre on suppose que la matrice. AB est inversible d'inverse la matrice C. Montrer alors que B est
1 Analyse 1
1.1 Sommes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5 Convexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.6 Intégration, primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.7 Limites, continuité, dérivabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.8 Formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2 Algèbre 19
2.1 Dénombrements, applications et ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2 Complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3 Polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.4 Espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.5 Matrices et systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.6 Applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3 Probabilités 30
3.1 Probabilités élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.2 Variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4 Informatique 33Ces exercices courts, pour la plupart donnés en colles en première année, constitue
une collection quasiment exhaustive des propriétés et méthodes que doit maîtriser unétudiant en fin de première année. Il constitue une base de révision pour l"étudiant de
seconde année.NicolasMaillard
colasmaillard@free.fr1 Analyse1.1 SommesExercice1.1.Démontrer par récurrence surnla formule donnantnX
k=0k 2.2.En calculant de deux façonsnX
k=0 (k+ 1)4k4, retrouver la formule donnant
n X k=0k3.Correction n
o1.1.Pourn2N;P(n): "nX
k=0k2=n(n+ 1)(2n+ 1)6
2.Par télescopagenX
k=0 (k+ 1)4k4= (n+ 1)4, et en développant : (k+ 1)4k4== 4k3+ 6k2+ 4k+ 1, (n+ 1)4= 4nX k=0k3+ 6nX
k=0k2+ 4nX
k=0k+nX k=01 (n+ 1)4= 4nX k=0k3+n(n+ 1)(2n+ 1) + 2n(n+ 1) +net il n"y a plus qu"à isoler
n X k=0k3==n2(n+ 1)24
.Exercice2.Calculer nX i=10 nX j=1max(i;j)1 A .Correction n o2.nX i=1 nX j=1max(i;j)! =nX i=1 iX j=1i+nX j=i+1j! =nX i=1 ii+n(n+ 1)2 i(i+ 1)2 nX i=1 i22 i2 +n(n+ 1)2 =12 n(n+ 1)(2n+ 1)6 n(n+ 1)2 +n2(n+ 1)Lycée HenriPoincaré1/35lo
1.2 SuitesRecueil d"exercices corrigés de première année ECS1 ANALYSE=
n(n+ 1)(2n+ 1)3 + 6n)12 =n(n+ 1)(8n2)12 =n(n+ 1)(4n1)6 Exercice3.Soitdetfdeux entiers naturels tels qued6f(d=début etf=fin!).1. a)Montrer que :8i2[[d;f]];
i d! i+ 1 d+ 1! i d+ 1! b)En déduirefX i=d i d!2.Retrouver ce résultat en raisonnant par récurrence surf.Correction n
o3.1. a)Formule de Pascal :
i+ 1 d+ 1! i d! i d+ 1! b)Télescopage : fX i=d i d! =fX i=d i+ 1 d+ 1! i d+ 1!! f+ 1 d+ 1! d d+ 1! f+ 1 d+ 1!1.2 SuitesExercice4.On considère la suite(un)n2Ndéfinie par
u0= 2,u1= 5et8n2N; un+2= 5un+16un.
Calculerunen fonction den.Correction n
o4.Suite récurrente linéaire d"ordre 2, racines de l"équation caractéristique :2et3.8n2N;un=
2 n+ 3n.Exercice5.On considère la suite(un)n2Ndéfinie par u0= 2,u1=2 +p3
2 et8n2N; un+2=un+1un.Calculerunen fonction den.Correction n
o5. Suite récurrente linéaire d"ordre 2, racines de l"équation caractéristique : 1ip3 2 =ei=3:9(a;b)2R;8n2N; un=asin(n=3) +bcos(n=3) u0= 2)b= 2,u1=2 +p3
2 )a= 1:8n2N;un= sin(n=3) + 2cos(n=3).Exercice6.On considère la suite(un)n2Ndéfinie par u0=1,u1= 4et8n2N; un+2= 4un+14un.
Calculerunen fonction den.Correction n
o6.Suite récurrente linéaire d"ordre 2, unique racine de l"équation caractéristique :2:9(a;b)2
R;8n2N; un= 2n(an+b)
u0=1)b=1,u1= 4)a= 3:8n2N;un= 2n(3n1).Exercice7.Étudier la suiteudéfinie paru0= 0,u1= 1et
8n2N; un+2= 4un+14un+ 2.
On pourra utiliser une suite auxiliaire du type(unCte)n2NoùCteest une constante adéquate.Correction n o7.Soit2Ret, pour toutndeN,vn=un. Alors :8n2N;
u n+2= 4un+14un+ 2,vn+2+= 4vn+1+ 44vn4+ 2 ,vn+2= 4vn+14vn+ (2)En prenant= 2,vvérifie une relation de récurrence linéaire d"ordre 2, d"équation caracté-
ristiquex24x+ 4 = 0dont la racine double est2. Il existe(a;b)2R2tel que8n2N; vn= 2n(an+b), avecv0=u0+ 2 = 2etv1=u1+ 2 = 3.
On trouve alors :8n2N; vn= 2n(2n=2) = 2n1(4n),
puis :8n2N; un= 2n1(4n)2.Exercice8.Étudier la suiteudéfinie paru0= 1,u1= 0et8n2N; un+2=un+1+ 2un+ 3.
On pourra utiliser une suite auxiliaire du type(unn)n2Noùest une constante adéquate.Correction n o8.Soit2Ret, pour toutndeN,vn=unn. Alors :8n2N;
u n+2= 4un+14un+ 2,vn+2+ (n+ 2)=vn+1(n+ 1)+ 2vn+ 2n+ 3 ,vn+2=vn+1+ 2vn+ (3)Lycée HenriPoincaré2/35lo
1.2 SuitesRecueil d"exercices corrigés de première année ECS1 ANALYSEEn prenant= 3,vvérifie une relation de récurrence linéaire d"ordre 2, d"équation caracté-
ristiquex2+x2 = 0dont les racines sont2et1. Il existe(a;b)2R2tel que8n2N; vn= (2)na+b, avecv0=u0= 1etv1=u13 =3.
On trouve alors :8n2N; vn=43
(2)n13 =13 (2)n+21, puis :8n2N; un=13 (2)n+21+ 3n.Exercice9.Soitvla suite définie par v0=eet8n2N; vn+1=ev2n:
1.Montrer quevest strictement positive et strictement croissante.
2.Montrer quevdiverge et quelimn!+1vn= +1.
3.Pour toutndeN, on pose :un= ln(vn). Exprimerunen fonction denet en
déduirevnen fonction den. Retrouver les réponses aux questions précédentesà l"aide de cette expression.Correction n
o9.1.On montre par récurrence que :8n2N; vn>e.
Du coup :8n2N;vn+1v
n=evn>e2>1doncvcroît.2.On peut montrer par récurrence que :8n2N; vn>en, et par comparaison,
limn!+1vn= +1. On peut aussi raisonner par l"absurde. Supposonsvconvergent, de limite`. Alors limn!+1vn+1=`etlimn!+1ev2n=e`2. Par unicité de la limite :`=e`2. `=e`2,`(1e`) = 0,(`= 0ou`= 1=e). Or :8n2N;vn>e)`>e, donc`6= 0et`6= 1=e. Contradiction : doncvdiverge, et commevest croissante,vdiverge vers+1.3.uvérifie la relation de récurrence :8n2N;un+1= ln(ev2n) = 1+2un: c"est une suite
arithmético-géométrique.Avecu0= 1, on obtient :8n2N;un= 2n+11.
Alors :8n2N;vn= exp(2n+11)!n!+1+1.Exercice10.On considère la suite(un)n2Ndéfinie par u0= 1et8n2N; un+1= ln(un+ 1).
1.Montrer que la suite(un)n2Nest bien définie. et que :8n2N; un>0.
2.Montrer que la suite(un)n2Nest décroissante.
3.Justifier la suite(un)n2Nest convergente et déterminer sa limite.Correction n
o10.1.Par récurrence surn2N:P(n): "unexiste etun>0».
2.Par récurrence :u1= ln(2)6u0, etun6un1)un+16un1+1)ln(un+1)6
ln(un1+ 1))un+16un. Variante :un+1un= ln(un+ 1)unet on montre (en l"étudiant) que la fonction x7!ln(x+ 1)xest négative sur]0; +1[.3.uest décroissante et minorée donc converge, et commeuest positive, sa limite`est
positive (ou nulle). Commelimn!+1un+1=`etlimn!+1ln(un+ 1) = ln(`+ 1),`= ln(`) + 1. L"étude dex7!ln(x+ 1)xsur[0; +1[montre que`= 0est l"unique solution de `= ln(`) + 1. Donc`= 0.Exercice11.On considère la suite(un)n2Ndéfinie par u0= 0et8n2N; un+1=pu
n+ 2.1.Montrer que la suite(un)n2Nest bien définie. et que :8n2N;06un62.
2.Étudier la variation de la suite(un)n2N.
3.Justifier la suite(un)n2Nest convergente et déterminer sa limite.Correction n
o11.1.Par récurrence surn2N:P(n): "unexiste et2>un>0».
2.Par récurrence :u1=p2>u0, etun>un1)un+ 2>un1+ 2)pu
n+ 2>pu n1+ 2)un+1>un.3.uest croissante et majorée donc converge, et comme06u62, sa limite`est positive
et inférieure à2.Commelimn!+1un+1=`etlimn!+1pu
n+ 2 =p`+ 2,`=p`+ 2.`=p`+ 2,`2`2 = 0,(`= 2ou`=1), or`>0, donc`= 2.Exercice12.Étudier la suiteudéfinie paru0= 1et8n2N; un+1=unu
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