[PDF] Cours de probabilités et statistiques

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Stage ATSM - Ao^ut 2010

Cours de probabilit

´es et statistiques

A. Perrut

contact : Anne.Perrut@univ-lyon1.fr 2

Table des matiµeres

1 Le modµele probabiliste 5

1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.4 Trois autres lois discrµetes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.4.2 Loi de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.4.3 Loi uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.1 Loi d'une v.a. continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.2 Loi uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.3 La loi normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.4 La loi exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.5 Fonction d'une v.a. continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.1 Loi des grands nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.3 Intervalles de con¯ance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3

4TABLE DES MATIµERES

5 Tests statistiques 47

5.1 Tests d'hypothµeses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5.2 Test d'ajustement du chi-deux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

B Tables statistiques 61

C.1 Variable quantitative discrµete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 C.2 Variable quantitative continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 C.3 Variable qualitative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

Chapitre 1

Le modµele probabiliste

1.1 Introduction

Exemples :

- l'enfant µa na^³tre sera une ¯lle, - Proportion :

P(A) =3

6 = 1=2. Alors

P(¯lle) = limn!+1k

n n mais cette limite a-t-elle un sens? - Opinion : pour que l'OL soit championne de France? Dans ce cas, on ne peut pas rejouer le m^eme subjectif. 5

6CHAPITRE 1. LE MODµELE PROBABILISTE

Exemples :

\Lyon ne gagne pas". chi®re pair", ieA=f2;4;6g. jcelui du second.

B: \on obtient pile au deuxiµeme lancer" est

B=f(f;p;f);(f;p;p);(p;p;f);(p;p;p)g

le nombre de \face" obtenus. Alors, =f0;1;2;3g. Le modµele est beaucoup plus simple, notations vocabulaire ensembliste vocabulaire probabiliste ensemble plein ensemble vide A sous-ensemble de !2A !appartient µaA

A½B

Ainclus dansB

AimpliqueB

A[B AouB A\B intersection deAetB AetB A cou A A\B=;

AetBdisjoints

AetBincompatibles

Exemple : soit =f0;1;2g. ConstruisonsP().

P() =n

;;f0g;f1g;f2g;f0;1g;f0;2g;f1;2g;o telle que : -P(A) =X -P() =X !2P(!) = 1

0.95 :Ava trµes probablement se produire.

4.0 : incorrect.

-2 : incorrect.

0.5 : une chance sur deux.

8CHAPITRE 1. LE MODµELE PROBABILISTE

faire quelques calculs :

1) SiAetBsont incompatibles,P(A[B) =P(A) +P(B).

2)P(Ac) = 1¡P(A).

3)P(;) = 0.

5)P(A[B) =P(A) +P(B)¡P(A\B).

2) CommeAetAcsont incompatibles,1 =P() =P(A[Ac) =P(A) +P(Ac).

3)P(;) = 1¡P(;c) = 1¡P() = 0.

P i2NA i´ =X i2NP(Ai) - axiome 3 :P() = 1

1 =P() =X

!2P(!) =X !2p=p£card()

D'oµup=P(!) =1

card()

P(A) =X

!2AP(!) =card(A) card() dire : - choisir, par

P(BjA) =P(A\B)

P(A) Utilisation 2 : QuandP(BjA)etP(A)sont faciles µa trouver, on peut obtenirP(A\B). Exemple 6Une urne contientrboules rouges etvboules vertes. On en tire deux, l'une =frouge;verteg £ frouge;verteg rouge".

P(A\B) =P(BjA)P(A) =r¡1

r+v¡1¢r r+v

P(B) =P(BjA)P(A) +P(BjAc)P(Ac)

10CHAPITRE 1. LE MODµELE PROBABILISTE

preuve : CommeA[Ac= ,P(B) =P(B\(A[Ac)) =P((B\A)[(B\Ac)). OrB\A

P(B) =P(B\A) +P(B\Ac)

On garde le m^eme formalisme.

P(B) =P(BjA)P(A) +P(BjAc)P(Ac)

r¡1 r+v¡1¢r r+v+r r+v¡1¢v r+v =r r+v (i)[i2IAi= (ii) lesAisont deux µa deux incompatibles : pour tousi6=j,Ai\Aj=;.

P(B) =X

i2IP(BjAi)P(Ai) dans l'ordre chronologique. Nous allons maintenant voir une formule µa remonter le temps...

1etP(B)>0. Alors,

P(AjB) =P(BjA)P(A)

P(BjA)P(A) +P(BjAc)P(Ac)

preuve :

P(AjB) =P(A\B)

P(B)=P(BjA)P(A)

P(B) i2I,

P(AijB) =P(BjAi)P(Ai)

P j2IP(BjAj)P(Aj) bleaux sur informatique. Les tableaux deAcomportent des fautes dans 5,2% des cas et ceux deBdans 6,7% des cas. On prend un tableau au hasard. Il comporte des fautes. T T

F=\ le tableau comporte des fautes".

P(TAjF) =P(FjTA)P(TA)

P(FjTA)P(TA) +P(FjTB)P(TB)

P(A\B) =P(A)P(B)

P(BjA) =P(B)()P(AjB) =P(A)()P(A\B) =P(A)P(B)

Proposition 14Soit =E£FoµuEest de cardinalnetFde cardinalp. Supposons que

P(!) =P((x;y)) =1

card() =1 np =PE(fxg)PF(fyg) =fP;Fg £ f1;:::;6g

12CHAPITRE 1. LE MODµELE PROBABILISTE

8!2; P(!) =1

card() = 1=12 P N³ (!1;:::;!N)´ =P(!1)¢¢¢P(!N) surN. Pourtant, le nombre de combinaisons dont la somme fait 12 est le m^eme que le nombre de combinaisons dont la somme fait 11. Alors?

1.6 Exercices

3) On tire trois cartes dans un jeu .

suppose que

P(A[B) = 7=8; P(A\B) = 1=4; P(A) = 3=8:

CalculerP(B),P(A\Bc),P(B\Ac).

ros impairs ont chacun la m^eme chance d'appara^³tre, chance qui est deux fois plus grande hasard, et l'on observe que les quatre places libres se suivent. Est-ce surprenant?

1.6. EXERCICES13

Exercice 6 {SoientM1,M2,M3trois personnes. La premiµereM1dispose d'une infor- la transmet µaM3. Malheureusement, µa chaque fois que l'information est transmise, il y a le bon message? Et siM3transmet l'information dont il dispose µa une quatriµeme personneM4, quelle est elle re»coit un vaccin? daire? Exercice 8 |Dans une usine, la machine A fabrique 60% des piµeces, dont 2% sont C? Exercice 9 |Dans une jardinerie : 25% des plantes ont moins d'un an, 60% ont de 1 µa 2 ans, 25% ont des °eurs jaunes, 60% ont des °eurs roses, 15% ont des °eurs jaunes et moins d'un an, 3% ont plus de 2 ans et n'ont ni °eurs jaunes, ni °eurs roses. 15% de celles qui ont de 1 µa 2 ans, ont des °eurs jaunes, 15% de celles qui ont de 1 µa 2 ans, n'ont ni

°eurs jaunes ni °eurs roses. On suppose que les °eurs ne peuvent pas ^etre µa la fois jaunes

et roses. On choisit une plante au hasard dans cette jardinerie.

14CHAPITRE 1. LE MODµELE PROBABILISTE

Exercice 10 |Deux chau®eurs de bus se relaient sur la m^eme ligne. Lors d'une grµeve, le premier a60%de chances de faire grµeve et le second80%. Pendant la prochaine grµeve, Exercice 11 |Une loterie comporte 500 billets dont deux seulement sont gagnants.

Chapitre 2

PPP PPF PFP FPP FFP FPF PFF FFF

valeur deX

3 2 2 2 1 1 1 0

k(valeur prise parX)

3 2 1 0

fPPPg fPPF,PFP,FPPg fPFF,FPF,FFPg fFFFg k(X=k) = 15 elle est ditecontinue(exemples : hauteur d'un arbre, distance de freinage d'une voiture souvent une formule, plut^ot qu'une liste. [X= 3] [X= 2] [X= 1] [X= 0] fPPPg fPPF,PFP,FPPg fPFF,FPF,FFPg fFFFg

1/8 3/8 3/8 1/8

F(x) =P[X·x]

Exemple :Xest le nombre de Face quand on lance trois fois une piµece. On a vu que la loi deXest P[X= 0] = 1=8; P[X= 1] =P[X= 2] = 3=8; P[X= 3] = 1=8

D'oµu,

F(x) =8

>>>>>:0six <0;

1=8si0·x <1;

4=8si1·x <2;

7=8si2·x <3;

1six¸3

1)Fest croissante,

3) lim x! ¡1F(x) = 0;limx!+1F(x) = 1

E[X] =X

kkP[X=k] oµu on somme sur toutes les valeurskque peut prendreX.

E[g(X)] =X

kg(k)P[X=k] preuve : observons queg(X) =yssiX=xavecg(x) =y. Ainsi,

P(g(X) =y) =X

x:g(x)=yP(X=x)

E(Y) =X

yyP(Y=y) =X yX x:g(x)=yg(x)P(X=x) =X xg(x)P(X=x)

Var(X) =Eh

(X¡E[X])2i =X k(k¡E[X])2P[X=k] =E[X2]¡E[X]2 k2X()jkjP(X=k)<1 sa valeur moyenneE[X]. Exemple 18: nous avons la loi du nombreXde PILE quand on lance trois fois une piµece.

E[X] =3X

k=0kP[X=k] = 3¢1 8 + 2¢3 8 + 1¢3 8 + 0¢1 8 =12 8 =3 2

Var(X) =E[X2]¡E[X]2=3X

k=0k

2P[X=k]¡E[X]2

= 3

2¢1

8 + 22¢3 8 + 12¢3 8 + 02¢1 8

¡µ3

2 2 3 4 nbr de PILE [X= 3] [X= 2] [X= 1] [X= 0]

0.125 0.375 0.375 0.125

0.2 0.6 0.1 0.1

partir de quelques observations.

P[X=i;Y=j] =P[X=i]P[Y=j]

P[(X;Y) = (i;j)] =P[X=i;Y=j].

touti2X(),

P[X=i] =X

j2Y()P[X=ijY=j]P[Y=j]

SoitZ=X+Y. Quelle est la loi deZ?

valeur que prendX, la valeur que prendYet la valeur deZ. XnY

1 2 3 4 5 6

1

2 3 4 5 6 7

2

3 4 5 6 7 8

3

4 5 6 7 8 9

4

5 6 7 8 9 10

5

6 7 8 9 10 11

6

7 8 9 10 11 12

pour tous1·i;j·6; P[X=i;Y=j] =P[X=i]P[Y=j] = 1=36

2] =P[Z= 12] = 1=36,P[Z= 3] =P[Z= 11] = 2=36,P[Z= 4] =P[Z= 10] = 3=36,

1·j·12.

P[Z=j] =6X

i=1P[Z=jjX=i]P[X=i] 1 6 6 X i=1P[X+Y=jjX=i] 1 6 6 X i=1P[Y=j¡ijX=i] 1 6 6 X i=1P[Y=j¡i] rappeler queP[Y=k] = 1=6seulement sikest dansf1;:::;6g. preuve : pour le premier point, il faut observer que X yP(X=x;Y=y) =P³ (X=x)\([y(Y=y))´ =P³ (X=x)\´ =P(X=x) et il vient

E[X+Y] =X

x;y(x+y)P(X=x;Y=y) X x;yxP(X=x;Y=y) +X x;yyP(X=x;Y=y) X xxP(X=x) +X yyP(Y=y) =E[X] +E[Y] Pour le second point, on montre tout d'abord queE(XY) =E(X)E(Y), la suite venant facilement. Ainsi,

E[XY] =X

x;yxyP(X=x;Y=y) X x;yxyP(X=x)P(Y=y) µX =E(X)E(Y)

P[Y= 1] =p; P[Y= 0] =q= 1¡p

Var(Y) =E[Y2]¡E[Y]2=E[Y]¡E[Y]2=p(1¡p).

conditions.

P(E) =q= 1¡p.

P(X=k) =µn

p k(1¡p)n¡kpour tout0·k·n oµu ¡n k¢=n! k!(n¡k)!.

P(!) =pk(1¡p)n¡k

Il en existe¡n

P(X=k) =X

!:X(!)=kP(!) = card(f!:X(!) =kg)pk(1¡p)n¡k µn p k(1¡p)n¡k np(1¡p). (preuve) AouB. Puis on le remet dans le lot et on recommence : on choisit µa nouveau un individu binomialeB(n;NA=N). loi binomialeB(4;p).

P(X= 0) =¡4

0¢q4=q4,

P(X= 1) =¡4

1¢p1q3= 4pq3,

P(X= 2) =¡4

2¢p2q2= 6p2q2,

P(X= 3) =¡4

3¢p3q1= 4p3q,

P(X= 4) =¡4

4¢p4=p4.

Pourp= 1=5, on obtient les va-

leurs :0 1 2 3 4

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4

Loi binomiale pour n=4, p=1/5

valeurs de X probabilites

Voici d'autres exemples.

0 1 2 3 4 5

0.05 0.15 0.25

Loi binomiale pour n=5, p=0.5

valeurs de X probabilites

0 2 4 6 8 10

0.00 0.10 0.20

Loi binomiale pour n=10, p=0.5

valeurs de X probabilites

0 2 4 6 8 10

0.00 0.10 0.20 0.30

Loi binomiale pour n=10, p=0.2

valeurs de X probabilites

0 2 4 6 8 10

0.00 0.10 0.20 0.30

Loi binomiale pour n=10, p=0.8

valeurs de X probabilites X=nX i=1Y i

2.4. TROIS AUTRES LOIS DISCRµETES23

par le traitement?

P[X·6] =P[X= 0] +P[X= 1] +¢¢¢+P[X= 6]

1 2

15³

µ15

+µ15 +µ15 +µ15 +µ15 +µ15 +µ15 1 2

15(1 + 15 + 105 + 455 + 1365 + 3003 + 5005)

= 0:304 P[6·X·10] =P[X= 6] +P[X= 7] +P[X= 8] +P[X= 9] +P[X= 10] = 0:790 P[X¸12] =P[X= 12] +P[X= 13] +P[X= 14] +P[X= 15] = (455 + 105 + 15 + 1)=215 = 0:018

En¯n,E[X] = 15=2 = 7;5.

2.4 Trois autres lois discrµetes

8k= 1;2;::: P[Y=k] =p(1¡p)k¡1

preuve : admettons tout d'abord que, sur[0;1[, 1X k=0x 0 =1X k=0(xk)0=1X k=1kx k¡1 et

µ1X

k=0x 0 =µ1 0 =1 (1¡x)2

D'oµu, pourx= 1¡p,

E[Y] =1X

k=1kP[X=k] =p1X k=1k(1¡p)k¡1=p=p2= 1=p Un calcul analogue permet de calculer la variance (exercice).

2.4.2 Loi de Poisson

Cette loi est une approximation de la loi binomiale quandnpest petit etngrand (en

8k2N; P[X=k] = exp(¡¸)¸k

k! informatique pendant une minute, le nombre de globules rouges dans un ml de sang, le nombre d'accidents du travail dans une entreprise pendant un an... Dans le cas de l'approximation de la loi binomiale par la loi de Poisson, le paramµetre de la loi de Poisson est¸=np.

2.4.3 Loi uniforme

Mis µa part le prestige d^u µa son nom, la loi uniforme est la loi de l'absence d'information. valeur le m^eme poids :1=n. Et

8k= 1;:::;n; P[X=k] =1

n

On montre facilement que

E[X] =n+ 1

2 etVar(X) =(n+ 1)(n¡1) 12 P[X=¡1] = 0:2; P[X= 0] = 0:1; P[X= 4] = 0:3; P[X= 5] = 0:4

2.5. EXERCICES25

2.5 Exercices

P[X=¡1] = 0:2; P[X= 0] = 0:1; P[X= 4] = 0:3; P[X= 5] = 0:4 Exercice 3 |On admet que le nombre d'accidents survenant sur une autoroute quoti- diennement est une va qui suit la loi de Poisson de paramµetre¸= 3. CalculerP[X=k] b) Une urne contient une boule blanche et une boule noire. On prend dans cette urne unequotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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