PROBABILITES
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. PROBABILITES. Activités conseillées. Activité conseillée p290 n°1 : Probabilité ou certitude ?
PROBABILITÉS CONDITIONNELLES ET INDÉPENDANCE
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PROBABILITÉS CONDITIONNELLES
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. 1. PROBABILITÉS. CONDITIONNELLES. I. Exemple d'introduction. Un laboratoire pharmaceutique a
MATHÉMATIQUES
des notions élémentaires de probabilités. Objectifs. Au cycle 4 un travail sur le hasard est engagé. Il vise à repérer les représentations initiales que.
PROBABILITÉS
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. PROBABILITÉS exposer une théorie nouvelle : les calculs de probabilités.
PROBABILITÉS
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. PROBABILITÉS. En 1654 Blaise Pascal (1623 ; 1662) entretient avec Pierre de.
Cours de probabilités et statistiques
IREM de Lyon - Département de mathématiques. Stage ATSM - Août 2010. Cours de probabilités et statistiques. A. Perrut contact : Anne.Perrut@univ-lyon1.fr
VARIABLES ALÉATOIRES
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PROBABILITÉS
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Probabilités et Statistiques Licence de Mathématiques (Parcours
des probabilités et au raisonnement statistique. S'agissant d'un cours ciblé sur le parcours Math-Info l'accent sera mis en priorité sur tout ce qui rel`
Stage ATSM - Ao^ut 2010
Cours de probabilit
´es et statistiques
A. Perrut
contact : Anne.Perrut@univ-lyon1.fr 2Table des matiµeres
1 Le modµele probabiliste 5
1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4 Trois autres lois discrµetes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4.2 Loi de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.4.3 Loi uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.1 Loi d'une v.a. continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2 Loi uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.3 La loi normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.4 La loi exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.5 Fonction d'une v.a. continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.1 Loi des grands nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.3 Intervalles de con¯ance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
34TABLE DES MATIµERES
5 Tests statistiques 47
5.1 Tests d'hypothµeses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.2 Test d'ajustement du chi-deux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
B Tables statistiques 61
C.1 Variable quantitative discrµete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 C.2 Variable quantitative continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 C.3 Variable qualitative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70Chapitre 1
Le modµele probabiliste
1.1 Introduction
Exemples :
- l'enfant µa na^³tre sera une ¯lle, - Proportion :P(A) =3
6 = 1=2. AlorsP(¯lle) = limn!+1k
n n mais cette limite a-t-elle un sens? - Opinion : pour que l'OL soit championne de France? Dans ce cas, on ne peut pas rejouer le m^eme subjectif. 56CHAPITRE 1. LE MODµELE PROBABILISTE
Exemples :
\Lyon ne gagne pas". chi®re pair", ieA=f2;4;6g. jcelui du second.B: \on obtient pile au deuxiµeme lancer" est
B=f(f;p;f);(f;p;p);(p;p;f);(p;p;p)g
le nombre de \face" obtenus. Alors, =f0;1;2;3g. Le modµele est beaucoup plus simple, notations vocabulaire ensembliste vocabulaire probabiliste ensemble plein ensemble vide A sous-ensemble de !2A !appartient µaAA½B
Ainclus dansB
AimpliqueB
A[B AouB A\B intersection deAetB AetB A cou A A\B=;AetBdisjoints
AetBincompatibles
Exemple : soit =f0;1;2g. ConstruisonsP().
P() =n
;;f0g;f1g;f2g;f0;1g;f0;2g;f1;2g;o telle que : -P(A) =X -P() =X !2P(!) = 10.95 :Ava trµes probablement se produire.
4.0 : incorrect.
-2 : incorrect.0.5 : une chance sur deux.
8CHAPITRE 1. LE MODµELE PROBABILISTE
faire quelques calculs :1) SiAetBsont incompatibles,P(A[B) =P(A) +P(B).
2)P(Ac) = 1¡P(A).
3)P(;) = 0.
5)P(A[B) =P(A) +P(B)¡P(A\B).
2) CommeAetAcsont incompatibles,1 =P() =P(A[Ac) =P(A) +P(Ac).
3)P(;) = 1¡P(;c) = 1¡P() = 0.
P i2NA i´ =X i2NP(Ai) - axiome 3 :P() = 11 =P() =X
!2P(!) =X !2p=p£card()D'oµup=P(!) =1
card()P(A) =X
!2AP(!) =card(A) card() dire : - choisir, parP(BjA) =P(A\B)
P(A) Utilisation 2 : QuandP(BjA)etP(A)sont faciles µa trouver, on peut obtenirP(A\B). Exemple 6Une urne contientrboules rouges etvboules vertes. On en tire deux, l'une =frouge;verteg £ frouge;verteg rouge".P(A\B) =P(BjA)P(A) =r¡1
r+v¡1¢r r+vP(B) =P(BjA)P(A) +P(BjAc)P(Ac)
10CHAPITRE 1. LE MODµELE PROBABILISTE
preuve : CommeA[Ac= ,P(B) =P(B\(A[Ac)) =P((B\A)[(B\Ac)). OrB\AP(B) =P(B\A) +P(B\Ac)
On garde le m^eme formalisme.
P(B) =P(BjA)P(A) +P(BjAc)P(Ac)
r¡1 r+v¡1¢r r+v+r r+v¡1¢v r+v =r r+v (i)[i2IAi= (ii) lesAisont deux µa deux incompatibles : pour tousi6=j,Ai\Aj=;.P(B) =X
i2IP(BjAi)P(Ai) dans l'ordre chronologique. Nous allons maintenant voir une formule µa remonter le temps...1etP(B)>0. Alors,
P(AjB) =P(BjA)P(A)
P(BjA)P(A) +P(BjAc)P(Ac)
preuve :P(AjB) =P(A\B)
P(B)=P(BjA)P(A)
P(B) i2I,P(AijB) =P(BjAi)P(Ai)
P j2IP(BjAj)P(Aj) bleaux sur informatique. Les tableaux deAcomportent des fautes dans 5,2% des cas et ceux deBdans 6,7% des cas. On prend un tableau au hasard. Il comporte des fautes. T TF=\ le tableau comporte des fautes".
P(TAjF) =P(FjTA)P(TA)
P(FjTA)P(TA) +P(FjTB)P(TB)
P(A\B) =P(A)P(B)
P(BjA) =P(B)()P(AjB) =P(A)()P(A\B) =P(A)P(B)
Proposition 14Soit =E£FoµuEest de cardinalnetFde cardinalp. Supposons queP(!) =P((x;y)) =1
card() =1 np =PE(fxg)PF(fyg) =fP;Fg £ f1;:::;6g12CHAPITRE 1. LE MODµELE PROBABILISTE
8!2; P(!) =1
card() = 1=12 P N³ (!1;:::;!N)´ =P(!1)¢¢¢P(!N) surN. Pourtant, le nombre de combinaisons dont la somme fait 12 est le m^eme que le nombre de combinaisons dont la somme fait 11. Alors?1.6 Exercices
3) On tire trois cartes dans un jeu .
suppose queP(A[B) = 7=8; P(A\B) = 1=4; P(A) = 3=8:
CalculerP(B),P(A\Bc),P(B\Ac).
ros impairs ont chacun la m^eme chance d'appara^³tre, chance qui est deux fois plus grande hasard, et l'on observe que les quatre places libres se suivent. Est-ce surprenant?1.6. EXERCICES13
Exercice 6 {SoientM1,M2,M3trois personnes. La premiµereM1dispose d'une infor- la transmet µaM3. Malheureusement, µa chaque fois que l'information est transmise, il y a le bon message? Et siM3transmet l'information dont il dispose µa une quatriµeme personneM4, quelle est elle re»coit un vaccin? daire? Exercice 8 |Dans une usine, la machine A fabrique 60% des piµeces, dont 2% sont C? Exercice 9 |Dans une jardinerie : 25% des plantes ont moins d'un an, 60% ont de 1 µa 2 ans, 25% ont des °eurs jaunes, 60% ont des °eurs roses, 15% ont des °eurs jaunes et moins d'un an, 3% ont plus de 2 ans et n'ont ni °eurs jaunes, ni °eurs roses. 15% de celles qui ont de 1 µa 2 ans, ont des °eurs jaunes, 15% de celles qui ont de 1 µa 2 ans, n'ont ni°eurs jaunes ni °eurs roses. On suppose que les °eurs ne peuvent pas ^etre µa la fois jaunes
et roses. On choisit une plante au hasard dans cette jardinerie.14CHAPITRE 1. LE MODµELE PROBABILISTE
Exercice 10 |Deux chau®eurs de bus se relaient sur la m^eme ligne. Lors d'une grµeve, le premier a60%de chances de faire grµeve et le second80%. Pendant la prochaine grµeve, Exercice 11 |Une loterie comporte 500 billets dont deux seulement sont gagnants.Chapitre 2
PPP PPF PFP FPP FFP FPF PFF FFF
valeur deX3 2 2 2 1 1 1 0
k(valeur prise parX)3 2 1 0
fPPPg fPPF,PFP,FPPg fPFF,FPF,FFPg fFFFg k(X=k) = 15 elle est ditecontinue(exemples : hauteur d'un arbre, distance de freinage d'une voiture souvent une formule, plut^ot qu'une liste. [X= 3] [X= 2] [X= 1] [X= 0] fPPPg fPPF,PFP,FPPg fPFF,FPF,FFPg fFFFg1/8 3/8 3/8 1/8
F(x) =P[X·x]
Exemple :Xest le nombre de Face quand on lance trois fois une piµece. On a vu que la loi deXest P[X= 0] = 1=8; P[X= 1] =P[X= 2] = 3=8; P[X= 3] = 1=8D'oµu,
F(x) =8
>>>>>:0six <0;1=8si0·x <1;
4=8si1·x <2;
7=8si2·x <3;
1six¸3
1)Fest croissante,
3) lim x! ¡1F(x) = 0;limx!+1F(x) = 1E[X] =X
kkP[X=k] oµu on somme sur toutes les valeurskque peut prendreX.E[g(X)] =X
kg(k)P[X=k] preuve : observons queg(X) =yssiX=xavecg(x) =y. Ainsi,P(g(X) =y) =X
x:g(x)=yP(X=x)E(Y) =X
yyP(Y=y) =X yX x:g(x)=yg(x)P(X=x) =X xg(x)P(X=x)Var(X) =Eh
(X¡E[X])2i =X k(k¡E[X])2P[X=k] =E[X2]¡E[X]2 k2X()jkjP(X=k)<1 sa valeur moyenneE[X]. Exemple 18: nous avons la loi du nombreXde PILE quand on lance trois fois une piµece.E[X] =3X
k=0kP[X=k] = 3¢1 8 + 2¢3 8 + 1¢3 8 + 0¢1 8 =12 8 =3 2Var(X) =E[X2]¡E[X]2=3X
k=0k2P[X=k]¡E[X]2
= 32¢1
8 + 22¢3 8 + 12¢3 8 + 02¢1 8¡µ3
2 2 3 4 nbr de PILE [X= 3] [X= 2] [X= 1] [X= 0]0.125 0.375 0.375 0.125
0.2 0.6 0.1 0.1
partir de quelques observations.P[X=i;Y=j] =P[X=i]P[Y=j]
P[(X;Y) = (i;j)] =P[X=i;Y=j].
touti2X(),P[X=i] =X
j2Y()P[X=ijY=j]P[Y=j]SoitZ=X+Y. Quelle est la loi deZ?
valeur que prendX, la valeur que prendYet la valeur deZ. XnY1 2 3 4 5 6
12 3 4 5 6 7
23 4 5 6 7 8
34 5 6 7 8 9
45 6 7 8 9 10
56 7 8 9 10 11
67 8 9 10 11 12
pour tous1·i;j·6; P[X=i;Y=j] =P[X=i]P[Y=j] = 1=362] =P[Z= 12] = 1=36,P[Z= 3] =P[Z= 11] = 2=36,P[Z= 4] =P[Z= 10] = 3=36,
1·j·12.
P[Z=j] =6X
i=1P[Z=jjX=i]P[X=i] 1 6 6 X i=1P[X+Y=jjX=i] 1 6 6 X i=1P[Y=j¡ijX=i] 1 6 6 X i=1P[Y=j¡i] rappeler queP[Y=k] = 1=6seulement sikest dansf1;:::;6g. preuve : pour le premier point, il faut observer que X yP(X=x;Y=y) =P³ (X=x)\([y(Y=y))´ =P³ (X=x)\´ =P(X=x) et il vientE[X+Y] =X
x;y(x+y)P(X=x;Y=y) X x;yxP(X=x;Y=y) +X x;yyP(X=x;Y=y) X xxP(X=x) +X yyP(Y=y) =E[X] +E[Y] Pour le second point, on montre tout d'abord queE(XY) =E(X)E(Y), la suite venant facilement. Ainsi,E[XY] =X
x;yxyP(X=x;Y=y) X x;yxyP(X=x)P(Y=y) µX =E(X)E(Y)P[Y= 1] =p; P[Y= 0] =q= 1¡p
Var(Y) =E[Y2]¡E[Y]2=E[Y]¡E[Y]2=p(1¡p).
conditions.P(E) =q= 1¡p.
P(X=k) =µn
p k(1¡p)n¡kpour tout0·k·n oµu ¡n k¢=n! k!(n¡k)!.P(!) =pk(1¡p)n¡k
Il en existe¡n
P(X=k) =X
!:X(!)=kP(!) = card(f!:X(!) =kg)pk(1¡p)n¡k µn p k(1¡p)n¡k np(1¡p). (preuve) AouB. Puis on le remet dans le lot et on recommence : on choisit µa nouveau un individu binomialeB(n;NA=N). loi binomialeB(4;p).P(X= 0) =¡4
0¢q4=q4,
P(X= 1) =¡4
1¢p1q3= 4pq3,
P(X= 2) =¡4
2¢p2q2= 6p2q2,
P(X= 3) =¡4
3¢p3q1= 4p3q,
P(X= 4) =¡4
4¢p4=p4.
Pourp= 1=5, on obtient les va-
leurs :0 1 2 3 40.0 0.1 0.2 0.3 0.4
Loi binomiale pour n=4, p=1/5
valeurs de X probabilitesVoici d'autres exemples.
0 1 2 3 4 5
0.05 0.15 0.25
Loi binomiale pour n=5, p=0.5
valeurs de X probabilites0 2 4 6 8 10
0.00 0.10 0.20
Loi binomiale pour n=10, p=0.5
valeurs de X probabilites0 2 4 6 8 10
0.00 0.10 0.20 0.30
Loi binomiale pour n=10, p=0.2
valeurs de X probabilites0 2 4 6 8 10
0.00 0.10 0.20 0.30
Loi binomiale pour n=10, p=0.8
valeurs de X probabilites X=nX i=1Y i2.4. TROIS AUTRES LOIS DISCRµETES23
par le traitement?P[X·6] =P[X= 0] +P[X= 1] +¢¢¢+P[X= 6]
1 215³
µ15
+µ15 +µ15 +µ15 +µ15 +µ15 +µ15 1 215(1 + 15 + 105 + 455 + 1365 + 3003 + 5005)
= 0:304 P[6·X·10] =P[X= 6] +P[X= 7] +P[X= 8] +P[X= 9] +P[X= 10] = 0:790 P[X¸12] =P[X= 12] +P[X= 13] +P[X= 14] +P[X= 15] = (455 + 105 + 15 + 1)=215 = 0:018En¯n,E[X] = 15=2 = 7;5.
2.4 Trois autres lois discrµetes
8k= 1;2;::: P[Y=k] =p(1¡p)k¡1
preuve : admettons tout d'abord que, sur[0;1[, 1X k=0x 0 =1X k=0(xk)0=1X k=1kx k¡1 etµ1X
k=0x 0 =µ1 0 =1 (1¡x)2D'oµu, pourx= 1¡p,
E[Y] =1X
k=1kP[X=k] =p1X k=1k(1¡p)k¡1=p=p2= 1=p Un calcul analogue permet de calculer la variance (exercice).2.4.2 Loi de Poisson
Cette loi est une approximation de la loi binomiale quandnpest petit etngrand (en8k2N; P[X=k] = exp(¡¸)¸k
k! informatique pendant une minute, le nombre de globules rouges dans un ml de sang, le nombre d'accidents du travail dans une entreprise pendant un an... Dans le cas de l'approximation de la loi binomiale par la loi de Poisson, le paramµetre de la loi de Poisson est¸=np.2.4.3 Loi uniforme
Mis µa part le prestige d^u µa son nom, la loi uniforme est la loi de l'absence d'information. valeur le m^eme poids :1=n. Et8k= 1;:::;n; P[X=k] =1
nOn montre facilement que
E[X] =n+ 1
2 etVar(X) =(n+ 1)(n¡1) 12 P[X=¡1] = 0:2; P[X= 0] = 0:1; P[X= 4] = 0:3; P[X= 5] = 0:42.5. EXERCICES25
2.5 Exercices
quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47[PDF] MATHS PROBLEME 4ème
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