VECTEURS ET REPÉRAGE
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. VECTEURS ET REPÉRAGE. Tout le cours en vidéo : https://youtu.be/9OB3hct6gak.
mathématiques au cycle 4 - motivation engagement
https://maths.ac-creteil.fr/IMG/pdf/brochure_cyc60fb.pdf
LES FONCTIONS DE REFERENCE
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr 3) Dans un repère orthogonal la courbe de la fonction carré est symétrique.
Repèrage_Consignes Minion
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-?et-?tiques.fr Il s'agit de placer dans un repère les points définis par leurs coordonnées et de les ...
CE1 > Mathématiques > Repères annuels de progression
CE1 > Mathématiques > Repères annuels de progression Les élèves mettent ces unités en relation : m dm
Reperage 2Sb
EXERCICE 16 : Le plan est rapporté à un repère orthonormé );(. jiO On considère l'ensemble (Dm) des points M du plan dont les coordonnées (x
VARIATIONS DUNE FONCTION
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr On a représenté ci-dessous dans un repère la fonction définie par ( ) = 5 ? .
Guide de lenseignant
associés à des repères individuel. Manuel p. 11 exercices A à C par élève. – cahier de maths. APPRENDRE. Nombres. Grands nombres. (lecture écriture
Asterix.pdf
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. ASTERIX. Version 5e (coordonnées relatives). Commentaires : Il s'agit de placer dans le repère
Exercices de mathématiques - Exo7
Soit P un plan muni d'un repère R(Oi
Droites du plan ; droites et plans de l"espace
Fiche corrigée par Arnaud Bodin
1 Droites dans le plan
Exercice 1SoitPun plan muni d"un repèreR(O;~i;~j), les points et les vecteurs sont exprimés par leurs coordonnées dans
R. 1.Donner un v ecteurdirecteur ,la pente une équation paramétrique et une équation cartésienne des droites
(AB)suivantes : (a)A(2;3)etB(1;4) (b)A(7;2)etB(2;5) (c)A(3;3)etB(3;6) 2.Donner des équations paramétriques et cartésiennes des droites passant par Aet dirigées par~vavec :
(a)A(2;1)et~v(3;1) (b)A(0;1)et~v(1;2) (c)A(1;1)et~v(1;0) 3. Donner des équations paramétriques et cartésiennes des droites définies comme suit : (a) passant par le point (0;4)et de pente 3, (b) passant par le point (2;3)et parallèle à l"axe desx, (c) passant par le point (2;5)et parallèle à la droiteD: 8x+4y=3. On considère le triangleABCdont les côtés ont pour équations(AB):x+2y=3;(AC):x+y=2;(BC):2x+3y=4.
1.Donner les coordonnées des points A;B;C.
2. Donner les coordonnées des milieux A0;B0;C0des segments[BC],[AC]et[AB]respectivement. 3. Donner une équation de chaque médiane et vérifier qu"elles sont concourantes. Montrer qu"il existe un pointM0équidistant de toutes les droitesDl.Exercice 4
Déterminer le projeté orthogonal du pointM0(x0;y0)sur la droite(D)d"équation 2x3y=5 ainsi que son
symétrique orthogonal. Exercice 51.T rouverune équation du plan (P)défini par les éléments suivants. (a)A,BetCsont des points de(P) i.A(0;0;1),B(1;0;0)etC(0;1;0). ii.A(1;1;1),B(2;0;1)etC(1;2;4). (b)Aest un point de(P),~uet~vsont des vecteurs directeurs de(P) i.A(1;2;1),~u(4;0;3)et~v(1;3;1). ii.A(1;0;2),~u(2;1;3)et~v(1;4;5). (c)Aest un point de(P),Dest une droite contenue dans(P) i.A(0;0;0)et(D):x+yz+3=04xy+2z=0
ii.A(1;1;0)et(D):8 :x=t y=1+2t z=13t (d)DetD0sont des droites contenues dans(P) i.(D):x+yz+3=0 xy2=0et(D0):3xyz+5=0 x+yz+1=0 ii.(D):x+2yz+1=0 x+3y+z4=0et(D0):2x+y3z+7=03x+2y+z1=0
2. Montrer que les représentations paramétriques sui vantesdéfinissent le même plan : 8< :x=2+s+2t y=2+2s+t z=1stet8 :x=1+3s0t0 y=3+3s0+t0 z=12s0 On considère la famille de plans(Pm)m2Rdéfinis par les équations cartésiennes : m2x+(2m1)y+mz=3
1. Déterminer les plans Pmdans chacun des cas suivants : (a)A(1;1;1)2Pm (b)~n(2;52 ;1)est normal àPm. (c)~v(1;1;1)est un vecteur directeur dePm 2. Montrer qu"il e xisteun unique point Qappartenant à tous les plansPm. 2 1.Déterminer la distance du point Aau plan(P)
(a)A(1;0;2)et(P): 2x+y+z+4=0. (b)A(3;2;1)et(P):x+5y4z=5. 2. Calculer la distance du point A(1;2;3)à la droite(D):2x+y3z=1 x+z=1 1. On considèrelepointA(2;4;1), lesvecteurs!u(1;1;1);!v(2;2;4),!w(3;1;1)etlerepère(A;!u;!v;!w).On notex0;y0etz0les coordonnées dans ce repère. Donner les formules analytiques du changement de
repère exprimantx;y;zen fonction dex0;y0;z0. 2.On considère la droite (D):yz=3
x+y=2. Utiliser le changement de repère pour donner une équation deDdans le repère(A;!u;!v;!w). 3. Donner les formules analytiques du changement de repère in verse. 1. Définir analytiquement la projection orthogonale sur le plan d"équation 2 x+2yz=1. 2. Définir analytiquement la projection orthogonale sur la droite d"équation x+y+z=12xz=2.
3. Donner l"e xpressionanalytique de la projection sur le plan (P)contenant le pointC(2;1;1)et ayant pour vecteurs directeurs~u(0;1;1)et~u0(2;0;1), selon la droite(AB), oùA(1;1;0)etB(0;1;3).Indication pourl"exer cice2 NLes médianes sont les droites(AA0),(BB0),(CC0).Indication pourl"exer cice3 NLadistanced"unpointM0(x0;y0)àunedroiteDd"équationax+by+c=0estdonnéeparlaformuled(M0;D)=
jax0+by0+c0jpa2+b2.4
Correction del"exer cice1 N1.(a) Un v ecteurdirecteur est !ABdont les coordonnées sont(xBxA;yByA) = (3;1). Pour n"importe quel vecteur directeur~v= (xv;yv)la pente est le réelp=yvx v. La pente est indépendante du choix du vecteurdirecteur. Ontrouveicip=13 . Uneéquationparamétriquedeladroitedevecteurdirecteur ~vpassant parA= (xA;yA)est donnée parx=xvt+xA y=yvt+yA:Donc ici pour le vecteur directeur!AB on trouve l"équation paramétrique x=3t+2 y=t+3 Il y a plusieurs façons d"obtenir une équation cartésienneax+by+c=0.Première méthode.On sait queA= (xA;yA)appartient à la droite donc ses coordonnées vérifient
l"équationaxA+byA+c=0, idem avecB. On en déduit le système2a+3b+c=0 a+4b+c=0:Lessolutions s"obtiennent à une constante multiplicative près, on peut fixera=1 et on trouve alors
b=3 etc=11. L"équation est doncx+3y11=0. (b)On trouv e~v=!AB= (5;3),p=35
etx=5t7 y=3t2 ainsi x+75 =t y+23 =tOn en déduitx+75 =y+23 ; d"où l"équation 3x+5y+31=0. (c) On trouve~v=!AB=(0;3), ladroiteestdoncverticale(sapenteestinfinie)uneéquationparamétrique estx=3 y=3t+6. Une équation cartésienne est simplement(x=3). 2. (a)Equation paramétrique
x=3t+2 y=t+1 Troisième méthode.Pour une droite d"équation cartésienneax+by+c=0, on sait que~n= (a;b) est un vecteur normal à la droite et donc~v= (b;a)est un vecteur directeur (car alors~v~n=0). Réciproquement si~v= (b;a)est un vecteur directeur alors une équation est de la forme
ax+by+c=0 pour une certaine constantecà déterminer. Ici on nous donne le vecteur directeur~v= (3;1)donc on cherche une équation sous la forme x+3y+c=0. Pour trouverc, on utilise queAappartient à la droite doncxA+3yA+c=0, ce qui conduit àc=1. Ainsi une équation de la droite estx+3y=1. (b)On trouv e2 xy+1=0.
(c)Droite horizontale d"équation (y=1).
3.V oicijuste les résultats :
(a)y=3x+4, (b)y=3, (c)8 x+4y=4 (les droites parallèles à 8x+4y=3 sont de la forme 8x+4y=c).Correction del"exer cice2 N1.Le point Aest l"intersection des droites(AB)et(AC). Les coordonnées(x;y)deAsont donc solutions du
système :x+2y=3 x+y=2donné par les équations des deux droites. La seule solution est(x;y) = (1;1). On a doncA= (1;1). On fait de même pour obtenir le pointB= (1;2)etC= (2;0). 2. Notons A0lemilieude[BC]alorslescoordonnéessetrouventparlaformulesuivanteA0=(xB+xC2 ;yB+yC2 12 ;1). De même on trouveB0= (32 ;12 )etC0= (0;32 53.(a) Les médianes ont pour équations : (AA0):(y=1);(BB0):(3x+5y=7);(CC0):(3x+4y=6).
(b)Vérifions que les trois médianes sont concourantes (ce qui est vrai quelque soit le triangle). On
calcule d"abord l"intersectionI= (AA0)\(BB0), les coordonnées du pointId"intersection vérifient
donc le systèmey=13x+5y=7. On trouveI= (23
;1).Il ne reste plus qu"à vérifier queIappartient à la droite(CC0)d"équation 3x+4y=6. En effet
3xI+4yI=6 doncI2(CC0).
Conclusion : les médianes sont concourantes au pointI= (23;1).Correction del"exer cice3 NNous savons que la distance d"un pointM0(x0;y0)à une droiteDd"équationax+by+c=0 est donnée par la
formuled(M0;D) =jax0+by0+c0jpa 2+b2. Pour une droiteDlla formule donne :d(M0;Dl) =j(1l2)x0+2ly0(4l+2)jp(1l2)2+4l2.Analyse.
On cherche un pointM0= (x0;y0)tel que pour toutl,d(M0;Dl) =koùk2Rest une constante.L"égalitéd(M0;Dl)2=k2conduit à
(1l2)x0+2ly0(4l+2) 2=k2 (1l2)2+4l2pour toutl2R. Nos inconnues sontx0;y0;k. On regarde l"égalité comme une égalité de deux polynômes en
la variablel.Pour ne pas avoir à tout développer on raffine un peu : on identifie les termes de plus haut degré enl4:
x20l4=k2l4doncx20=k2.
En évaluant l"égalité pourl=0 cela donne(x02)2=k2. On en déduit(x02)2=x20dont la seule solution
estx0=1. Ainsik=1 (cark>0). L"égalité pourl= +1 donne(2y06)2=4k2et pourl=1 donne(2y0+2)2=4k2. La seule solution est y 0=2.Synthèse.Vérifions que le point de coordonnéesM0= (1;2)est situé à une distancek=1 de toutes les droites
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