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ÉQUATIONS

Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr RESOUDRE UNE EQUATION : c'est chercher et trouver le nombre caché sous l'inconnue.



SECOND DEGRE (Partie 2)

Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. SECOND DEGRE (Partie 2). I. Résolution d'une équation du second degré.



ÉQUATIONS POLYNOMIALES

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ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

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EQUATIONS INEQUATIONS

Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. EQUATIONS Méthode : Résoudre une équation en se ramenant à une équation-produit.



PRIMITIVES ET ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

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SECOND DEGRE (Partie 2)

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ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

Tout le cours en vidéo : https://youtu.be/qHF5kiDFkW8

Partie 1 : Notion d'équation différentielle

Définition : Une équation différentielle est une équation dont l'inconnue est une fonction.

Exemples :

a) L'équation différentielle =5 peut se noter =5 en considérant que est une fonction inconnue qui dépend de . Dans ce cas, une solution de cette équation est =5. En effet,

5

=5. On peut également noter l'équation différentielle sous la forme : =5. b) Une solution de l'équation différentielle =2 est = Pour une équation différentielle, la solution n'est habituellement pas unique.

Par exemple, =

+1 est une autre solution de l'équation différentielle.

En effet,

+1 =2. Méthode : Vérifier qu'une fonction est solution d'une équation différentielle

Vidéo https://youtu.be/LX8PxR-ScfM

Prouver que la fonction définie sur

0;+∞

par =3 +ln est solution de l'équation différentielle =6+

Correction

Pour tout de sur

0;+∞

, on a : =3×2+ 1 =6+ 1 Donc, est bien solution de l'équation différentielle =6+ Partie 2 : Équations différentielles du type '=

Propriété : Les solutions de l'équation différentielle '=, ∈ℝ, sont les fonctions de la

forme ⟼ , où est une constante réelle quelconque. Méthode : Résoudre une équation différentielle du type '=

Vidéo https://youtu.be/YJNHTq85tJA

On considère l'équation différentielle 3 +5=0. Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr 2

1) a) Déterminer la forme générale des solutions de l'équation.

b) Représenter à l'aide de la calculatrice ou d'un logiciel, quelques courbes des fonctions solutions.

2) Déterminer l'unique solution telle que

1 =2.

Correction

1) a) 3

+5=0

3

=-5 5 3

Les solutions sont de la forme :

b) Pour différentes valeurs de , on obtient :

2)

1 =2

Donc :

=2 =2 =2

Et donc :

=2 =2 =2

Propriété : Si et sont deux solutions de l'équation différentielle '=, ∈ℝ,

alors + et ,∈ℝ,sont également solutions de l'équation différentielle.

Démonstrations :

Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr 3 Partie 3 : Équations différentielles du type '=+

Propriété : La fonction ⟼-

est solution de l'équation différentielle

'=+ (≠0). Cette solution est appelée solution particulière constante.

Démonstration :

On pose :

. Alors =0.

Or :

+=×E-

F+=-+=0=

Donc :

est donc solution de l'équation différentielle '=+.

Propriété : Les solutions de l'équation différentielle '=+ ( et deux réels, non

nul) sont les fonctions de la forme :

où est la solution particulière constante de l'équation différentielle '=+

et est une solution quelconque de l'équation différentielle '=.

Remarque : L'équation '=+ est appelée équation différentielle linéaire du premier

ordre à coefficients constants.

Corollaire : Les solutions de l'équation différentielle '=+ sont les fonctions de la

forme ⟼ , où ∈ℝ. Méthode : Résoudre une équation différentielle du type '=+

Vidéo https://youtu.be/F_LQLZ8rUhg

Vidéo https://youtu.be/CFZr44vny3w

On considère l'équation différentielle 2 -=3. a) Déterminer la forme générale des solutions de l'équation. b) Déterminer l'unique solution telle que 0 =-1.

Correction

a) 2 -=3

2

=+3 1 2 3 2

Les solutions sont de la forme :

3 2 1 2

Soit :

-3, ∈ℝ b) 0 =-1

Donc :

-3=-1 Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr 4 -3=-1 =2

Et donc :

=2 -3 Partie 4 : Équations différentielles du type

Propriété (non exigible) :

Les solutions de l'équation différentielle =0 sont les fonctions de la forme ⟼ cos sin , où Méthode : Résoudre une équation différentielle du type =0

Vidéo https://youtu.be/klU6n691j7I

Résoudre l'équation différentielle : +9=0 avec 0 =1 et 0 =2.

Correction

+9=0 s'écrit +3 =0.

Les solutions sont alors de la forme :

cos

3

sin

3

- Or, 0 =1 donc :

×1+

×0=1 soit

=1. - Et, 0 =2. =-3 sin

3

+3 cos

3

Donc : -3

×0+3

×1=2 soit

3 On en déduit la solution de l'équation différentielle : =cos

3

3 sin

3

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