E. Les graphes probabilistes
Spécialité Mathématiques. Term ES. E. Les graphes probabilistes. 1 Présentation. Définition 1 Un graphe probabiliste est un graphe orienté et pondéré dans
Graphes probabilistes A Quelques exemples
Tracer un graphe probabiliste pour décrire cette situation et écrire la matrice de transition https ://www.maths-cours.fr/cours/graphe-probabiliste-spe/.
Théorie des graphes Introduction Programme de Terminale ES
On utilise prin- cipalement le calcul matriciel (programme de Premi`ere ES Spécialité) et pour la derni`ere partie sur les graphes probabilistes
GRAPHES - EXERCICES CORRIGES Compilation réalisée à partir
1. Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets A et B. 2. Écrire la matrice de transition M de ce graphe en prenant les sommets
Suite de Matrices - Spé Maths Évolution - Arbre et Graphe
`A chaque seconde il peut soit rester dans l'état o`u il se trouve soit en changer
Sujet du bac ES Mathématiques Spécialité 2017 - Centres étrangers
ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ Sujets Mathématiques Bac 2017 ... le candidat A. On représente ce modèle par un graphe probabiliste (G) de sommets.
Introduction à la théorie des graphes
Graphes valués et problème du plus court chemin . Graphes probabilistes . ... elle constitue une branche à part entière des mathématiques grâce aux ...
Graphes probabilistes
ENSM - Éléments de Théorie des Graphes. Master Sciences Technologies
PROGRAMME DE MATH/PHYSIQUE-CHIMIE/SVT AU LYCEE VS
Matrice de transition d'un graphe probabiliste. Chaînes de Markov. Programme de TS « spé math ». Utilité pour le programme du PASS. Algèbre et géométrie.
Baccalauréat ES spécialité Index des exercices avec des graphes
Traduire les données de l'énoncé par un graphe probabiliste de sommets C et R. Un élève a cours de mathématiques dans le bâtiment 1. À la fin du cours ...
Tapuscrit : GUILLAUMESEGUIN
NoLieu et datechainenombrematricechaînegraphegraphesuiteétatautre1Antilles juin 2016××××
2Asie 2016×××
3Pondichery 2016××système + algo à compléter
4Liban 2016××inéquation
5Polynésie juin 2016××××V/F + matrice
6Métropole juin 2016×××
7Centres étrangers 2016×××
8Amerique du nord 2016××2 algos + inéq
9Polynésie sept 2015×××
10Métropole sept 2015×××écrire algo
11Nouvelle Calédonie nov 2015××algo + limite
12Antilles sept 2015×algo (non commun)
13Amérique du Sud nov 2015×××algo
14Antilles 2015××
15Asie 2015×××
16Métropole 2015×××
17Polynésie 2015××résol. système
18Centres étrangers 2015×××
19Amérique du nord 2015×résol système
20Liban 2015×××algo
21Pondichery 2015××
22Nouvelle Calédonie mars 2015××××
23Nouvelle Calédonie nov 2014××résolution système
24Amérique du sud nov 2014×××algo
25Polynésie sept 2014×××
26Métropole sept 2014××3 sommets
27Antilles sept 2014×××
28Pondichery 2014××résol. système + algo
29Polynésie juin 2014××××
30Métropole 2014××algo
31Centres Etrangers 2014×××
32Asie juin 2014×××
33Antilles juin 2014××algo
34Liban mai 2014×××
35Amérique du Nord 2014
36Nouvelle Calédonie mars 2014××
37Nouvelle Calédonie nov 2013××résolution equat
38Amérique du sud nov 2013××××algorithme
39Métropole sept 2013××××
40Antilles sept 2013×××
41Pondichery avril 2013×××
42Polynésie juin 2013××résolution système
43Métropole juin 2013××
44Métropole dévoilé juin 2013×××algorithme
45Liban mai 2013×××
46Centres étrangers juin 2013×××
47Asie juin 2013×××
48Antilles juin 2013×××
49Amérique du Sud mai 2013×××limite
50Polynésie sept 2012××
51Nouvelle Caledonie nov 2012××
52Amerique du Sud nov 2012××
53Antilles sept 2012×××limite
54Polynésie juin 2012×××
55Métropole juin 2012××
56Liban mai 2012×××résolut équ puiss
57Etranger juin 2012×××
Baccalauréat ES spécialitéles graphes
NoLieu et datechaînenombrematricechaînegraphegraphesuiteétatautre58Asie juin 2012×××
59Antilles juin 2012×××
60Amerique du Nord mai 2012×××
61Pondichery avril 2012××××
62Nouvelle Calédonie nov 2011×graphe à faire
63Amerique du Sud nov 2011×××limite
64Polynesie sept 2011×××
65Liban mai 2011×××limite
66Métropole juin 2011××matrice 3*3
67Asie juin 2011×××
68Polynésie juin 2011×××
69Amerique du Nord juin 2011×××××
70Pondichery avril 2011×××
71Amérique du Nord juin 2010××limite
72Antilles juin 2010×××limite
73La Réunion juin 2010××surface
74Polynésie juin 2010×××limite
75Liban mai 2010××résolut équ puiss
76Pondichéry avril 2010××
77Nouvelle Calédonie nov 2009×××limite
78Antilles sept 2009×××limite
79Polynésie sept 2009×××limite
80Amérique du Nord juin 2009×××
81Asie juin 2009××
82Centres Etrangers juin 2009×××limite
83Antilles juin 2009×××
84Métropole juin 2009×××
85Pondichéry avril 2009××
86Amérique du Sud nov 2008×××
87Nouvelle Calédonie 2008××××
88Métropole sept 2008××loi binomiale
89Antilles juin 2008××limite
90Métropole juin 2008×××
91La Réunion juin 2008×××limite
92Polynésie juin 2008×××
93Amérique du Nord mai 2008×matrice 3*3
94Nouvelle Calédonie nov 2007×××
95La Réunion sept 2007×××
96Asie juin 2007××
97Centres Etrangers juin 2007×××
98Amérique du Nord mai 2007××
99Liban mai 2007×××
100Nouvelle Calédonie mars 2007×××limite
101Amérique du Sud nov 2006×××
102Antilles sept 2006×××limite
103Nouvelle Calédonie nov 2006××
104Polynésie sept 2006×××limite
105Liban mai 2006××××
106Amérique du Nord juin 2004×××
107La Réunion juin 2004×××
108Métropole 2004××
109Asie 2003××××
110La Réunion 2003××××
111Centre Etrangers 2003××××
112sujet bac 1×
113Antilles juin 2003×××
114Métropole juin2003××
bac-graphes-ES-spe2Guillaume SeguinBaccalauréat ES spécialitéles graphes
1. Antillesjuin 2016
Les parties A et B sont indépendantes.
Partie A
Des touristes sont logés dans un hôtel H.
Un guide souhaite faire visiter la région à ces touristes en empruntant les routes signalées comme d"intérêt touris- tique par l"office du tourisme. Les tronçons de route qu"il souhaite emprunter sont re- présentés sur le graphe ci-contre. Le long de chaque arête figure la distance en kilomètres des différents tronçons.? ?B GH C D E F 12921
3 913
20 8 7 511
1. (a) Le guide peut-il emprunter tous les tronçons de route en passant une et une seule fois sur chacun d"eux, en
partant de l"hôtel et en y revenant? Justifier la réponse.(b) Le guide peut-il emprunter tous les tronçons de route en passant une et une seule fois sur chacun d"eux, en
partant de l"hôtel mais sans forcément y revenir? Justifier la réponse.2. Un musée est situé en E. Déterminer le plus court chemin menant de l"hôtel H au musée E. Justifier la réponse.
Partie B
L"office de tourisme évalue chaque année les hôtels de sa région et répertorie les meilleurs sur son site internet. On admet
que dans cette région, la création ou la disparition d"hôtels est négligeable. On constate que, chaque année :
10% des hôtels répertoriés ne seront plus répertoriés l"année suivante;20% des hôtels non répertoriés sur le site seront répertoriés l"année suivante.
1. Réaliser un graphe décrivant cette situation (on noteraRl"évènement " l"hôtel est répertorié » et
Rson évènement
contraire).2. Écrire la matrice de transition de ce graphe.
3. En 2015, 30% des hôtels de la région étaient répertoriés.
Quel pourcentage d"hôtels sera répertorié en 2016? en 2017?4. Quel pourcentage d"hôtel serait répertorié à long terme?
retour au tableau bac-graphes-ES-spe3Guillaume SeguinBaccalauréat ES spécialitéles graphes
2. Asie2016
PARTIEA
On considère le grapheGci-dessous
ACFIK BEH DGJ1. En justifiant la réponse, dire si ce graphe admet une chaîneeulérienne.
Si oui, donner une telle chaîne.
2. On considère la matriceMci-après (a,b,cetdsont des nombres réels).
M=((((((((((((((((((((0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 01 0 0 0 1 1 0 0 0 0 01 0 0a1 1 1 0 0 0 01 0 0 0 0 1b0 0 0 0
0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0
0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0
0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1
0 0 0 0c1 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1
0 0 0 0d0 0 1 1 1 0))))))))))))))))))))
(a) Déterminer les réelsa,b,cetdpour que la matriceMreprésente la matrice d"adjacence associée au grapheG,
les sommets étant pris dans l"ordre alphabétique. (b) On donne M3=((((((((((((((((((((0 8 10 8 0 0 0 5 5 5 08 0 0 0 10 13 6 0 0 0 5
10 0 0 0 11 16 9 0 0 0 6
8 0 0 0 7 12 8 0 0 0 4
0 10 11 7 0 0 0 10 10 7 0
0 13 16 12 0 0 0 13 13 12 0
0 6 9 8 0 0 0 5 5 7 0
5 0 0 0 10 13 5 0 0 0 8
5 0 0 0 10 13 5 0 0 0 8
5 0 0 0 7 12 7 0 0 0 7
0 5 6 4 0 0 0 8 8 7 0))))))))))))))))))))
Déterminer, en justifiant, le nombre de chemins de longueur 3reliantAàJ. Préciser ces chemins.
PARTIEB
On oriente et on pondère le grapheGci-dessus pour qu"il représente un réseau d"irrigation. bac-graphes-ES-spe4Guillaume SeguinBaccalauréat ES spécialitéles graphes
ACFIK BEH DGJ 2 5 3 3 2 5 3 4 5 6 2 4 5 2 1 2 3 3 5• Le sommetAcorrespond au départ d"eau, le sommetKau bassin d"infiltration et les autres sommets représententles
stations de régulation.• Les arêtes représentent les canaux d"irrigation et les flèches, le sens du ruissellement.
• La pondération donne, en km, les distances entre les différentes stations du réseau.Déterminer unchemin delongueur minimale entreledépartd"eauenAetlebassind"infiltration enKetdonner salongueur.
retour au tableau bac-graphes-ES-spe5Guillaume SeguinBaccalauréat ES spécialitéles graphes
3. Pondichery 2016
Une étude statistique sur une population d"acheteurs a montré que :90% des personnes qui ont fait leur dernier achat en utilisant internet affirment vouloir continuer à utiliser internet
pour faire le suivant. Les autres personnes comptent faire leur prochain achat en magasin;60% des personnes qui ont fait leur dernier achat en magasin affirment vouloir continuer à effectuer le suivant en
magasin. Les autres comptent effectuer leur prochain achaten utilisant internet.Danstoute lasuite del"exercice,ndésigne unentier naturelnonnul.Une personne estchoisie auhasardparmilesacheteurs.
On note :
anla probabilité que cette personne fasse sonn-ième achat sur internet; bnla probabilité que cette personne fasse sonn-ième achat en magasin.On suppose de plus quea1=1 etb1=0.
On notePn=?anbn?l"état probabiliste correspondant aun-ième achat. AinsiP1=?1 0?.On note :
Al"état : "La personne effectue son achat sur internet»; Bl"état : "La personne effectue son achat en magasin».1. Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommetsAetB.
2. Écrire la matrice de transitionMassociée à ce graphe en prenant les sommets dans l"ordre alphabétique.
3. (a) Calculer la matriceM4.
(b) En déduire que la probabilité que la personne interrogéefasse son 5eachat sur internet est égale à 0,8125.
4. On noteP=(a b) l"état stable associé à ce graphe.
(a) Montrer que les nombresaetbsont solutions du système : ?0,1a-0,4b=0 a+b=1 (b) Résoudre le système précédent. (c) À long terme, quelle est la probabilité que cette personne fasse ses achats sur internet?5. (a) Montrer que pour tout entier naturelnnon nul, on a :
a n+1=0,5an+0,4(b) Recopier et compléter l"algorithme suivant afin qu"il affiche le plus petit entier naturelnnon nul tel quean?
0,801.
Variables:Nest un entier naturel
Aest un nombre réel
Initialisation:Affecter àNla valeur 1
Affecter à A la valeur 1
Traitement:Tant que ...
Affecter àAla valeur 0,5×A+0,4
Affecter àNla valeur ....
Fin Tant que
Sortie :AfficherN
(c) Quelle est la valeur affichée par l"algorithme en sortie? retour au tableau bac-graphes-ES-spe6Guillaume SeguinBaccalauréat ES spécialitéles graphes
4. Liban mai 2016
L"entreprise PiscinePlus, implantée dans le sud de la France, propose des contrats annuels d"entretien aux propriétaires de
piscines privées.C"est la seule entreprise dans les environs. Aussi, les propriétaires de piscines n"ont que deux choix possibles : soit ils s"oc-
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