[PDF] Fonctions et Applications Notion de fonction. Fonction. Une

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Fonctions et Applications

Université de Toulouse

Année 2020/2021

1 / 13

Notion de fonction

Fonction

Unefonctionf:E!F(deEdansF) est définie par un sous-ensemble deGfEFtel que pour toutx2E, il existe au plus uny2Ftel que (x;y)2Gf, on note y=f(x).Exemple 1 :

SoitE=f1;2;3;4getF=fa;b;cg.

On définit la fonctionfpar le graphe :

G f=f(1;a);(2;c);(4;a)g EF

Autrement dit

f:E!F 17!a 27!c
47!a

Exemple 2 :

H=f(1;a);(2;c);(4;a);(1;b)g EFn"est pas le graphe d"une fonction Introduction à la notion d"ensemblesPremières notions2 / 13

Comment définir une fonction

Table de valeur

Diagramme de Venn

Formule algébrique

Courbe

Algorithme

Introduction à la notion d"ensemblesPremières notions3 / 13

Comment définir une fonction

Table de valeur

Diagramme de Venn

Formule algébrique

Courbe

Algorithme

E ab cde F 1 2 34
Introduction à la notion d"ensemblesPremières notions3 / 13

Comment définir une fonction

Table de valeur

Diagramme de Venn

Formule algébrique

Courbe

Algorithme

f:?!? x7!3x2+2x5Introduction à la notion d"ensemblesPremières notions3 / 13

Comment définir une fonction

Table de valeur

Diagramme de Venn

Formule algébrique

Courbe

Algorithme

051015202468

Introduction à la notion d"ensemblesPremières notions3 / 13

Comment définir une fonction

Table de valeur

Diagramme de Venn

Formule algébrique

Courbe

Algorithme

Introduction à la notion d"ensemblesPremières notions3 / 13

Ensemble image

Ensemble image

Soitf:E!Fune fonction deEdansF.

Image :f(x)est l"imagedex

Ensemble image deAE:

f(A) =fy2Ftel que9x2Avérifiantf(x) =yg =fy2Ftel que9x2Avérifiant(x;y)2Gfg

Ensemble image def:

Im(f) =f(E) =fy2F:9x2Etel quef(x) =ygExemple :

SoitE=f1;2;3;4getF=fa;b;cgetf:E!Fdéfinit par

G f=f(1;a);(2;c);(4;a)g EF. On a : f(f1g) =fagf(f1;4g) =fagf(f3g) =;f(f1;2;3g) =fa;cg Im(f) =fa;cgIntroduction à la notion d"ensemblesPremières notions4 / 13

Préimage

Ensemble image

Soitf:E!Fune fonction deEdansF.

Antécédent :xest l"antécedentdeysiy=f(x)

Préimage deBF:

f

1(B) =fx2Etel que9y2Bvérifiantf(x) =yg

=fx2Etel que9y2Bvérifiant(x;y)2Gfg

Domaine de définition def:

Dom(f) =f1(F) =fx2E:9y2Ftel quef(x) =ygExemple :

SoitE=f1;2;3;4getF=fa;b;cgetf:E!Fdéfinit par

G f=f(1;a);(2;c);(4;a)g EF. On a : f

1(fag) =f1;4gf1(fa;cg) =f1;2;4gf1(;) =;f1(fbg) =;

Dom(f) =f1;2;4gIntroduction à la notion d"ensemblesPremières notions5 / 13

Application

Application

Une fonctionf:E!Fest une application siDom(f) =E.Exemple :

SoitE=f1;2;3;4getF=fa;b;cg.

Le grapheG=f(1;a);(2;c);(4;a)g EFdéfinit une fonction deE dansFmais pas une application.

SoitE0=f1;2;4getF=fa;b;cg.

Le grapheG=f(1;a);(2;c);(4;a)g E0Fdéfinit une fonction deE0

dansFqui est une application deE0dansF.Introduction à la notion d"ensemblesPremières notions6 / 13

Composition

Composition

Lafonction composéedef:E!Fparg:F!Gest définie par gf(x) =g(f(x))

Dom(gf) =fx2Dom(f) :f(x)2Dom(g)gF

ab cde G 1 2 34
E fg gfPropriétés

En généralfg6=gf.Associativité :(fg)h=f(gh).Introduction à la notion d"ensemblesPremières notions7 / 13

Injections

Fonction injective

f:E!Festinjectivesi touty2Fadmet au plus un antécédent.

Autrement dit :8x1;x22Eon af(x1) =f(x2) =)x1=x2FE

ab cde f

Exemple :Code ASCII, Code INSEE...

Introduction à la notion d"ensemblesPremières notions8 / 13

Surjections

Fonction surjective

f:E!Festsurjectivesi touty2Fadmet au moins un antécédent.

Autrement dit :Im(f) =f(E) =F.E

ab cde F 1 2 34
g Introduction à la notion d"ensemblesPremières notions9 / 13

Bijections

Application bijective

f:E!Fest une applicationbijectivesi touty2Fadmet exactement un antécédent. Autrement dit :fest une application injective et surjective.E ab cd F 1 2 34
g Introduction à la notion d"ensemblesPremières notions10 / 13

Bijections

Application réciproque

L"applicationf:E!Fest bijective si et seulement si il existe une applicationg:F!Etelle quefg=IdFetgf=IdE. Sifest bijective, l"applicationgest unique, c"est l"application réciproque de l"applicationf, notéef1.Composée de deux bijections Soientf:E!Fetg:F!Gdeux applications bijectives. La composée gfest bijective et (gf)1=f1g1:Introduction à la notion d"ensemblesPremières notions11 / 13

Suites

Soit?un ensemble, unesuite à valeurs dans?est une application de? dans?.

On note??l"ensemble des suite à valeurs dans?.

Etant donnée une suiteu2??, on note souventunlenèmeélément de la

suite etu= (un)n2?.Introduction à la notion d"ensemblesQuelques classes importantes de fonctions12 / 13

Fonctions caractéristiques

Fonctions caractéristiques

SoientA

on définit lafonction caractéristiquede l"ensembleApar 1 A: ! f0;1g x7!(1six2A

0six=2APropriétés

SoientA;B2 P(

), pour toutx2 , on a :1

A\B(x) =1A(x)1B(x)1

A[B(x) =1A(x) +1B(x)1A\B(x)1A

(x) =11A(x)Introduction à la notion d"ensemblesQuelques classes importantes de fonctions13 / 13quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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