[PDF] DÉMONSTRATIONS AU PROGRAMME POUR LE BAC S





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LES SUITES (Partie 1)

Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. Remarque : Une démonstration par récurrence sur les entiers est mise en œuvre.



Online Library Livre De Maths Terminale S Math X

1 day ago Maths TS : le livre qui va sauver ton Bac ! ... du livre Déclic math terminale S LE COURS ... démonstration par récurrence - Maths.



Echec et Math

Echec et Math Le principe de la démonstration par récurrence sera également expliqué en ... nr ce qui est juste (ce sont tous les cas possibles car.



Raisonnement inductif et preuve par récurrence Raisonnement

28-Mar-2015 Alors la propriété est vraie pour tous les entiers. P(n):1+2 ... La démonstration par récurrence peut sembler un peu.



DÉMONSTRATIONS AU PROGRAMME POUR LE BAC S

par récurrence). Donc par le théorème de comparaison lim ... On en déduit que l'intervalle a;+????? contient tous les termes de la suite (vn) à ...



TS Le raisonnement par récurrence un outil puissant de

P n est vraie pour tous les entiers naturels n (qui sont une infinité). TS. Le raisonnement par récurrence un outil puissant de démonstration.



ÉTAT DES CONNAISSANCES DES ÉLÈVES DE TERMINALE S

Raisonnement par récurrence : démonstration qui consiste à étendre à tous les suites et dans le manuel Math'x il s'intitule Raisonner par récurrence.



Mise en page 1

Démonstrations par récurrence pour la classe de TS Les calculs de somme fournissent de beaux exemples de raisonnement par récurrence.



Raisonnement par récurrence Suites numériques I. Le

alors tous les termes de la suite sont inférieurs ou égaux à l. des démonstrations par récurrence pour des suites récurrentes. Exemples : Étudier le ...



Suites numériques

08-Nov-2011 On vérifie facilement par récurrence qu'une suite arithmétique de raison a a ... contenant l contient aussi tous les un pour n assez grand.

YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr 1DÉMONSTRATIONS AU PROGRAMME POUR LE BAC S SUITES Propriété : Si q > 1 alors

lim n→+∞ q n

. D1 - Démonstration au programme (exigible BAC) :Prérequis : Pour tout entier naturel n, on a : ()11

n ana+≥+ (inégalité de Bernoulli qui se démontre par récurrence). On suppose que q>1 , alors on peut poser q=a+1 avec a>0 . ()11 n n qana=+≥+ . Or ()lim1 n na car a>0 . Donc par le théorème de comparaison lim n→+∞ q n

. Théorème de comparaison : Soit (un) et (vn) deux suites définies sur ℕ. Si, à partir d'un certain rang,

u n n et lim n→+∞ u n alors lim n→+∞ v n . D2 - Démonstration au programme (exigible BAC) :Soit un nombre réel a. - lim n→+∞ u n , donc l'intervalle a;+∞

contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang que l'on note n1. On a donc pour tout

n≥n 1 aalors la suite (un) est majorée par L. D3 - Démonstration au programme (non exigible BAC) :Démontrons par l'absurde en supposant le contraire, soit:"Il existe un entier p, tel que

u p >L .»- L'intervalle ouvert L-1;u p contient L. Or, par hypothèse, lim n→+∞ u n =L . Donc l'intervalle L-1;u p

contient tous les termes de la suite (un) à partir d'un certain rang (1). - Comme (un) est croissante :

u n ≥u p pour n>p . Donc si n>p , alors u n ∉L-1;u p (2). (1) et (2) sont contradictoires, on en déduit qu'il n'existe pas p ϵ ℕ, tel que u p >L . Et donc la suite (un) est majorée par L.

YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr 2Propriétés : - Si une suite croissante est non majorée alors elle tend vers +∞

. - Si une suite décroissante est non minorée alors elle tend vers -∞

. D4 - Démonstration au programme (non exigible BAC) :Soit un réel a. Comme (un) n'est pas majorée, il existe un entier p tel que

u p >a . La suite (un) est croissante donc pour tout n>p , on a u n ≥u p . Donc pour tout n>p , on a u n >a

. Et donc à partir d'un certain rang p, tous les termes de la suite appartiennent à l'intervalle

a;+∞ . On en déduit que lim n→+∞ u n . FONCTIONS Théorème : Il existe une unique fonction f dérivable sur ℝ telle que f'=f et f(0)=1

. D5 - Démonstration de l'unicité au programme (exigible BAC) :- Démontrons que f ne s'annule pas sur ℝ. Soit la fonction h définie sur ℝ par

h(x)=f(x)f(-x) . Pour tout réel x, on a : h'(x)=f'(x)f(-x)+f(x)-f'(-x) =f'(x)f(-x)-f(x)f'(-x) =f(x)f(-x)-f(x)f(-x) =0

La fonction h est donc constante. Comme

h(0)=f(0)f(0)=1 , on a pour tout réel x : f(x)f(-x)=1 . La fonction f ne peut donc pas s'annuler. - Supposons qu'il existe une fonction g telle que g'=g et g(0)=1 . Comme f ne s'annule pas, on pose k(x)= g(x) f(x) k'(x)= g'(x)f(x)-g(x)f'(x) f(x) 2 g(x)f(x)-g(x)f(x) f(x) 2 =0 . k est donc une fonction constante. Or k(0)= g(0) f(0) 1 1 =1 donc pour tout x : k(x)=1 . Et donc f(x)=g(x) . L'unicité de f est donc vérifiée. Propriétés : lim x→-∞ e x =0 et lim x→+∞ e x D6 - Démonstrations au programme (exigible BAC) :- Soit la fonction g définie par g(x)=e x -x YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr 3Pour x positif, g'(x)=e x -1≥e 0 -1=0 car la fonction exponentielle est croissante. Donc la fonction g est croissante sur

0;+∞

. On dresse ainsi le tableau de variations : x 0 +∞ g'(x)

0 +

g(x)

1 Comme

g(0)=1 , on a pour tout x, g(x)≥1 . Et donc g(x)=e x -x≥0 , soit e x ≥x . D'après le théorème de comparaison des limites, on en déduit que lim x→+∞ e x car lim x→+∞ x=+∞ lim x→-∞ e x =lim

X→+∞

e -X =lim

X→+∞

1 e X =0

. Théorème : Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle [a ; b]. La fonction F définie sur [a ; b] par

F(x)=f(t)dt

a x

est dérivable sur [a ; b] et sa dérivée est la fonction f. D7 - Démonstration dans le cas où f est strictement croissante (non exigible BAC) : - On considère deux réels x et x+h de l'intervalle [a ; b] avec

h>0 . On veut démontrer que lim h→0

F(x+h)-F(x)

h =f(x)

F(x+h)-F(x)=f(x)dx-f(x)

a x dx a x+h =f(x) x x+h dx

. On a représenté ci-contre, la courbe de la fonction f (en vert). Cette différence est égale à l'aire de la surface colorée en rouge. Elle est comprise entre les aires des rectangles ABFE et ABHG. Or,

AireABFE

=h×f(x) et

AireABHG

=h×f(x+h) . Comme f est croissante sur [a ; b], on a : h×f(x)Puisque h>0 , on a : f(x)<

F(x+h)-F(x)

h F(x+h)-F(x) h =f(x) . - Dans le cas où h<0 , la démonstration est analogue (les encadrements sont inversés). On en déduit que

F'(x)=f(x)

YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr 4Propriété : Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives sur cet intervalle. D8 - Démonstration dans le cas d'une fonction admettant un minimum (non exigible BAC) : Soit f une fonction continue sur un intervalle [a ; b] admettant m comme minimum. - Si m ≥

0 : La fonction f est continue et positive sur [a ; b]. Alors la fonction

F(x)=f(t)dt

a x est dérivable sur [a ; b] et sa dérivée est la fonction f. Commequotesdbs_dbs47.pdfusesText_47