[PDF] Cours de mathématiques - Exo7

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Ensembles et applications

MotivationsAu début duXXesiècle le professeur Frege peaufinait la rédaction du second tome d"un ouvrage qui souhaitait refonder

les mathématiques sur des bases logiques. Il reçut une lettre d"un tout jeune mathématicien :" J"ai bien lu votre premier

livre. Malheureusement vous supposez qu"il existe un ensemble qui contient tous les ensembles. Un tel ensemble ne peut

exister. »S"ensuit une démonstration de deux lignes. Tout le travail de Frege s"écroulait et il ne s"en remettra jamais.

Le jeune Russell deviendra l"un des plus grands logiciens et philosophes de son temps. Il obtient le prix Nobel de

littérature en 1950.

Voici le " paradoxe de Russell » pour montrer que l"ensemble de tous les ensembles ne peut exister. C"est très bref,

mais difficile à appréhender. Par l"absurde, supposons qu"un tel ensembleEcontenant tous les ensembles existe.

Considérons

F=¦

E∈ E |E/∈E©

Expliquons l"écritureE/∈E: leEde gauche est considéré comme un élément, en effet l"ensembleEest l"ensemble de

tous les ensembles etEest un élément de cet ensemble; leEde droite est considéré comme un ensemble, en effet les

élément deEsont des ensembles! On peut donc s"interroger si l"élémentEappartient à l"ensembleE. Si non, alors

par définition on metEdans l"ensembleF.

La contradiction arrive lorsque l"on se pose la question suivante : a-t-onF∈FouF/∈F? L"une des deux affirmation

doit être vraie. Et pourtant :

SiF∈Falors par définition deF,Fest l"un des ensemblesEtel queF/∈F. Ce qui est contradictoire.

SiF/∈FalorsFvérifie bien la propriété définissantFdoncF∈F! Encore contradictoire.

Aucun des cas n"est possible. On en déduit qu"il ne peut exister un tel ensembleEcontenant tous les ensembles.

Ce paradoxe a été popularisé par l"énigme suivante :" Dans une ville, le barbier rase tous ceux qui ne se rasent pas

eux-mêmes. Qui rase le barbier? »La seule réponse valable est qu"une telle situation ne peut exister.

Ne vous inquiétez pas, Russell et d"autres ont fondé la logique et les ensembles sur des bases solides. Cependant il

n"est pas possible dans ce cours de tout redéfinir. Heureusement, vous connaissez déjà quelques ensembles :

l"ensemble des entiers naturelsN={0,1,2,3,...}. l"ensemble des entiers relatifsZ={...,-2,-1,0,1,2,...}. l"ensemble des rationnelsQ=pq |p∈Z,q∈N\{0}. l"ensemble des réelsR, par exemple 1,p2,π, ln(2),... l"ensemble des nombres complexesC.

ENSEMBLES ET APPLICATIONS1. ENSEMBLES2Nous allons essayer de voir les propriétés des ensembles, sans s"attacher à un exemple particulier. Vous vous apercevrez

assez rapidement que ce qui est au moins aussi important que les ensembles, ce sont les relations entre ensembles : ce

sera la notion d"application (ou fonction) entre deux ensembles.

1. Ensembles

1.1. Définir des ensembles

On va définir informellement ce qu"est un ensemble : unensembleest une collection d"éléments.

Exemples :

{0,1},{rouge,noir},{0,1,2,3,...}=N.

Un ensemble particulier est l"ensemble vide, noté∅qui est l"ensemble ne contenant aucun élément.

On notex∈Esixest un élément deE, etx/∈Edans le cas contraire.

Voici une autre façon de définir des ensembles : une collection d"éléments qui vérifient une propriété.

Exemples :x∈R| |x-2|<1,z∈C|z5=1,x∈R|0⩽x⩽1= [0,1].

1.2. Inclusion, union, intersection, complémentaire

L"inclusion.E⊂Fsi tout élément deEest aussi un élément deF. Autrement dit :∀x∈E(x∈F). On dit alors

queEest unsous-ensembledeFou unepartiedeF. L"égalité.E=Fsi et seulement siE⊂FetF⊂E. Ensemble des partiesdeE. On noteP(E)l"ensemble des parties deE. Par exemple siE={1,2,3}: P({1,2,3}) =∅,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}.

Complémentaire. SiA⊂E,∁

EA=x∈E|x/∈AOn le note aussiE\Aet juste∁As"il n"y a pas d"ambiguïté (et parfois aussiAcouA).A∁

EAE

Union. PourA,B⊂E,A∪B=x∈E|x∈Aoux∈BLe" ou »n"est pas exclusif :xpeut appartenir àAet àBen même temps.ABA∪B•

ENSEMBLES ET APPLICATIONS1. ENSEMBLES3

1.3. Règles de calculs

SoientA,B,Cdes parties d"un ensembleE.

A∩B=B∩A

A∩(B∩C) = (A∩B)∩C(on peut donc écrireA∩B∩Csans ambigüité)

A∪B=B∪A

A∪(B∪C) = (A∪B)∪C(on peut donc écrireA∪B∪Csans ambiguïté)

•A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C)•A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C)•

∁∁A=Aet doncA⊂B⇐⇒∁B⊂∁A ∁(A∩B) =∁A∪∁B ∁(A∪B) =∁A∩∁B

Voici les dessins pour les deux dernières assertions.AB∁AAB∁BABA∩B∁(A∩B) =∁A∪∁BABA∪B∁(A∪B) =∁A∩∁BLes preuves sont pour l"essentiel une reformulation des opérateurs logiques, en voici quelques-unes :

•Preuve deA∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C):x∈A∩(B∪C)⇐⇒x∈Aetx∈(B∪C)⇐⇒x∈Aet(x∈Boux∈

Preuve de∁(A∩B)=∁A∪∁B:x∈∁(A∩B)⇐⇒x/∈(A∩B)⇐⇒nonx∈A∩B⇐⇒nonx∈Aetx∈

B⇐⇒non(x∈A)ou non(x∈B)⇐⇒x/∈Aoux/∈B⇐⇒x∈∁A∪∁B.

Remarquez que l"on repasse aux éléments pour les preuves.

1.4. Produit cartésien

SoientEetFdeux ensembles. Leproduit cartésien, notéE×F, est l"ensemble des couples(x,y)oùx∈Eety∈F.

Exemple 1.

1.

V ousconnaissez R2=R×R=(x,y)|x,y∈R.

2. Autre exemple [0,1]×R=(x,y)|0⩽x⩽1,y∈R

ENSEMBLES ET APPLICATIONS2. APPLICATIONS4xy

01

3.[0,1]×[0,1]×[0,1] =(x,y,z)|0⩽x,y,z⩽1xy

z 011 1

Mini-exercices.

1. En utilisant les définitions, montrer : A̸=Bsi et seulement s"il existea∈A\Boub∈B\A. 2.

Énumérer P({1,2,3,4}).

3. Montrer A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C)et∁(A∪B) =∁A∩∁B. 4.

Énumérer {1,2,3}×{1,2,3,4}.

5.Représenter les sous-ensembles deR2suivants :]0,1[∪[2,3[×[-1,1],R\(]0,1[∪[2,3[)×(R\[-1,1])∩

[0,2].2. Applications

2.1. Définitions

Uneapplication(ou unefonction)f:E→F, c"est la donnée pour chaque élémentx∈Ed"un unique élément de

Fnotéf(x).

Nous représenterons les applications par deux types d"illustrations : les ensembles " patates », l"ensemble de départ

(et celui d"arrivée) est schématisé par un ovale ses éléments par des points. L"associationx7→f(x)est représentée

par une flèche.xf(x)EFf

L"autre représentation est celle des fonctions continues deRdansR(ou des sous-ensembles deR). L"ensemble de

départRest représenté par l"axe des abscisses et celui d"arrivée par l"axe des ordonnées. L"associationx7→f(x)

est représentée par le point(x,f(x)).

ENSEMBLES ET APPLICATIONS2. APPLICATIONS5xy

xf(x)•Égalité. Deux applicationsf,g:E→Fsont égales si et seulement si pour toutx∈E,f(x) =g(x). On note alors

f=g.

Legraphedef:E→FestΓ

f=¦x,f(x)∈E×F|x∈E©xy f•

Composition. Soientf:E→Fetg:F→Galorsg◦f:E→Gest l"application définie parg◦f(x) =gf(x).EFGfg

g◦f• Restriction. Soientf:E→FetA⊂Ealors la restriction defàAest l"application f |A:A-→F x7-→f(x)

Exemple 2.

1.

L "identité, idE:E→Eest simplement définie parx7→xet sera très utile dans la suite.

2.

Définissons f,gainsi

f:]0,+∞[-→]0,+∞[ x7-→1x ,g:]0,+∞[-→R x7-→x-1x+1. Alorsg◦f:]0,+∞[→Rvérifie pour toutx∈]0,+∞[: =1x -11 x +1=1-x1+x=-g(x).

2.2. Image directe, image réciproque

SoientE,Fdeux ensembles.Définition 1.

SoitA⊂Eetf:E→F, l"image directedeAparfest l"ensemblef(A) =f(x)|x∈A

ENSEMBLES ET APPLICATIONS2. APPLICATIONS6EF

Af(A)f

xy

Af(A)Définition 2.

SoitB⊂Fetf:E→F, l"image réciproquedeBparfest l"ensemblef -1(B) =x∈E|f(x)∈BEF f -1(B)Bf xy B f -1(B)Remarque. Ces notions sont plus difficiles à maîtriser qu"il n"y paraît! f(A)est un sous-ensemble deF,f-1(B)est un sous-ensemble deE.

•La notation "f-1(B)» est un tout, rien ne dit quefest un fonction bijective (voir plus loin). L"image réciproque

existe quelque soit la fonction.

L"image directe d"un singletonf({x}) =f(x)est un singleton. Par contre l"image réciproque d"un singleton

f-1{y}dépend def. Cela peut être un singleton, un ensemble à plusieurs éléments; mais cela peut-êtreEtout

entier (sifest une fonction constante) ou même l"ensemble vide (si aucune image parfne vauty).

2.3. Antécédents

Fixonsy∈F. Tout élémentx∈Etel quef(x) =yest unantécédentdey. En termes d"image réciproque l"ensemble des antécédents deyestf-1({y}). Sur les dessins suivants, l"élémentyadmet 3 antécédents parf. Ce sontx1,x2,x3.EFf yx 1x 2x 3xy x 1x 2x 3y

Mini-exercices.

1. P ourdeux applications f,g:E→F, quelle est la négation def=g? 2. R eprésenterle graphe de f:N→Rdéfinie parn7→4n+1. 3.

Soient f,g,h:R→Rdéfinies parf(x) =x2,g(x) =2x+1,h(x) =x3-1. Calculerf◦(g◦h)et(f◦g)◦h.

4.

Pour la fonctionf:R→Rdéfinie parx7→x2représenter et calculer les ensembles suivants :f([0,1[),f(R),

ENSEMBLES ET APPLICATIONS3. INJECTION,SURJECTION,BIJECTION7

3. Injection, surjection, bijection

3.1. Injection, surjection

SoitE,Fdeux ensembles etf:E→Fune application.Définition 3.

festinjectivesi pour toutx,x′∈Eavecf(x) =f(x′)alorsx=x′. Autrement dit :∀x,x′∈Ef(x) =f(x′) =⇒x=x′Définition 4.

festsurjectivesi pour touty∈F, il existex∈Etel quey=f(x). Autrement dit :∀y∈F∃x∈Ey=f(x)Une autre formulation :fest surjective si et seulement sif(E) =F.

Les applicationsfreprésentées sont injectives :EFf xy EF) Les applicationsfreprésentées sont surjectives :EFf xy EF

Remarque.Encore une fois ce sont des notions difficiles à appréhender. Une autre façon de formuler l"injectivité et la surjectivité

est d"utiliser les antécédents.

fest injective si et seulement si tout élémentydeFaau plusun antécédent (et éventuellement aucun).

fest surjective si et seulement si tout élémentydeFaau moinsun antécédent.

Remarque.

Voici deux fonctions non injectives :EFf

yxx ′xy xx ′y ENSEMBLES ET APPLICATIONS3. INJECTION,SURJECTION,BIJECTION8

Ainsi que deux fonctions non surjectives :EFf

xy EF )y

Exemple 3.

1.Soitf1:N→Qdéfinie parf1(x) =11+x. Montrons quef1est injective : soitx,x′∈Ntels quef1(x) =f1(x′). Alors

11+x=11+x′, donc 1+x=1+x′et doncx=x′. Ainsif1est injective.

Par contref1n"est pas surjective. Il s"agit de trouver un élémentyqui n"a pas d"antécédent parf1. Ici il est facile

de voir que l"on a toujoursf1(x)⩽1et donc par exempley=2n"a pas d"antécédent. Ainsif1n"est pas surjective.

2.Soitf2:Z→Ndéfinie parf2(x) =x2. Alorsf2n"est pas injective. En effet on peut trouver deux élémentsx,x′∈Z

différents tels quef2(x) =f2(x′). Il suffit de prendre par exemplex=2,x′=-2. f 2

n"est pas non plus surjective, en effet il existe des élémentsy∈Nqui n"ont aucun antécédent. Par exemple

y=3: siy=3avait un antécédentxparf2, nous aurionsf2(x) =y, c"est-à-direx2=3, d"oùx=±p3. Mais

alorsxn"est pas un entier deZ. Doncy=3 n"a pas d"antécédent etf2n"est pas surjective.

3.2. BijectionDéfinition 5.

f

estbijectivesi elle injective et surjective. Cela équivaut à : pour touty∈Fil existe un uniquex∈Etel que

y=f(x). Autrement dit :∀y∈F∃!x∈Ey=f(x)

L"existence duxvient de la surjectivité et l"unicité de l"injectivité. Autrement dit, tout élément deFa un unique

antécédent parf.EFf xy EF

Proposition 1.

Soit E,F des ensembles et f:E→F une application. 1.

L"applicationfest bijective si et seulement si il existe une applicationg:F→Etelle quef◦g=idFetg◦f=idE.

2.Sifest bijective alors l"applicationgest unique et elle aussi est bijective. L"applicationgs"appelle labijection

réciproquede f et est notée f-1. De plusf-1-1=f .Remarque. f◦g=idFse reformule ainsi ∀y∈F fg(y)=y.

Alors queg◦f=idEs"écrit :

∀x∈E gf(x)=x.

ENSEMBLES ET APPLICATIONS4. ENSEMBLES FINIS9

•Par exemplef:R→]0,+∞[définie parf(x) =exp(x)est bijective, sa bijection réciproque estg:]0,+∞[→R

définie parg(y) =ln(y). Nous avons bienexpln(y)=y, pour touty∈]0,+∞[etlnexp(x)=x, pour tout

x∈R.

Démonstration.

1.

Sens⇒. Supposonsfbijective. Nous allons construire une applicationg:F→E. Commefest surjective

alors pour chaquey∈F, il existe unx∈Etel quey=f(x)et on poseg(y) =x. On afg(y)=f(x) =y,

ceci pour touty∈Fet doncf◦g=idF. On compose à droite avecfdoncf◦g◦f=idF◦f. Alors pour tout

x∈Eon afg◦f(x)=f(x)orfest injective et doncg◦f(x) =x. Ainsig◦f=idE. Bilan :f◦g=idFet

g◦f=idE. Sens⇐. Supposons quegexiste et montrons quefest bijective. -f

est surjective : en effet soity∈Falors on notex=g(y)∈E; on a bien :f(x) =fg(y)=f◦g(y) =

idF(y) =y, doncfest bien surjective. -f

estinjective : soientx,x′∈Etels quef(x) =f(x′). On compose parg(à gauche) alorsg◦f(x) =g◦f(x′)

donc idE(x) =idE(x′)doncx=x′;fest bien injective. 2.

Sifest bijective alorsgest aussi bijective carg◦f=idEetf◦g=idFet on applique ce que l"on vient de

démontrer avecgà la place def. Ainsig-1=f.

Sifest bijective,gest unique : en effet soith:F→Eune autre application telle queh◦f=idEetf◦h=idF;

en particulierf◦h=idF=f◦g, donc pour touty∈F,fh(y)=fg(y)orfest injective alorsh(y) =g(y),

ceci pour touty∈F; d"oùh=g.Proposition 2.

Soientf:E→Fetg:F→Gdes applications bijectives. L"applicationg◦fest bijective et sa bijection réciproque est(g◦f)-1=f-1◦g-1Démonstration.

D"après la proposition

1 , il existeu:F→Etel queu◦f=idEetf◦u=idF. Il existe aussiv:G→F

tel quev◦g=idFetg◦v=idG. On a alors(g◦f)◦(u◦v) =g◦(f◦u)◦v=g◦idF◦v=g◦v=idE. Et

(u◦v)◦(g◦f) =u◦(v◦g)◦f=u◦idF◦f=u◦f=idE. Doncg◦fest bijective et son inverse estu◦v. Commeu

est la bijection réciproque defetvcelle degalors :u◦v=f-1◦g-1.Mini-exercices. 1. Les fonctions suivantes sont-elles injectives, surjectives, bijectives ? f1:R→[0,+∞[,x7→x2. f3:N→N,x7→x2. f4:Z→Z,x7→x-7. f5:R→[0,+∞[,x7→ |x|. 2.

Montrer que la fonctionf:]1,+∞[→]0,+∞[définie parf(x) =1x-1est bijective. Calculer sa bijection

réciproque.4. Ensembles finis

4.1. CardinalDéfinition 6.

Un ensembleEestfinis"il existe un entiern∈Net une bijection deEvers{1,2,...,n}. Cet entiernest unique et

s"appelle lecardinaldeE(ou lenombre d"éléments) et est noté CardE.Quelques exemples :

1.E={rouge,noir}est en bijection avec{1,2}et donc est de cardinal 2.

ENSEMBLES ET APPLICATIONS4. ENSEMBLES FINIS10

2.Nn"est pas un ensemble fini.

3. P ardéfinition le cardinal de l"ensemble vide est 0.

Enfin quelques propriétés :

1. Si Aest un ensemble fini etB⊂AalorsBest aussi un ensemble fini et CardB⩽CardA. 2.

Si A,Bsont des ensembles finis disjoints (c"est-à-direA∩B=∅) alors Card(A∪B) =CardA+CardB.

3.SiAest un ensemble fini etB⊂AalorsCard(A\B) =CardA-CardB. En particulier siB⊂AetCardA=CardB

alorsA=B. 4.

Enfin pour A,Bdeux ensembles finis quelconques :Card(A∪B) =CardA+CardB-Card(A∩B)Voici une situation où s"applique la dernière propriété :

BA La preuve de la dernière propriété utilise la décomposition

A∪B=A∪B\(A∩B)

Les ensemblesAetB\(A∩B)sont disjoints, donc

Card(A∪B) =CardA+CardB\(A∩B)=CardA+CardB-Card(A∩B) par la propriété 2, puis la propriété 3.

4.2. Injection, surjection, bijection et ensembles finisProposition 3.

Soit E,F deux ensembles finis et f:E→F une application. 1.

Si f est injective alors CardE⩽CardF.

2.

Si f est surjective alors CardE⩾CardF.

3. Si f est bijective alors CardE=CardF.Démonstration. 1.

Supposonsfinjective. NotonsF′=f(E)⊂Falors la restrictionf|:E→F′(définie parf|(x) =f(x)) est une

bijection. Donc pour chaquey∈F′est associé un uniquex∈Etel quey=f(x). DoncEetF′ont le même

nombre d"éléments. Donc CardF′=CardE. OrF′⊂F, ainsi CardE=CardF′⩽CardF.

2.

Supposonsfsurjective. Pour tout élémenty∈F, il existe au moins un élémentxdeEtel quey=f(x)et donc

CardE⩾CardF.

3.

Cela découle de (

1 ) et ( 2 ) (ou aussi de la preuve du ( 1 )).Proposition 4. Soit E,F deux ensembles finis et f:E→F une application. Si

CardE=CardF

alors les assertions suivantes sont équivalentes : i. f est injective, ii. f est surjective, iii. f est bijective.

ENSEMBLES ET APPLICATIONS4. ENSEMBLES FINIS11

Démonstration.Le schéma de la preuve est le suivant : nous allons montrer successivement les implications :

(i) =⇒(ii) =⇒(iii) =⇒(i) ce qui prouvera bien toutes les équivalences.

•(i) =⇒(ii). Supposonsfinjective. AlorsCardf(E) =CardE=CardF. Ainsif(E)est un sous-ensemble deF

ayant le même cardinal queF; cela entraînef(E) =Fet doncfest surjective.

(ii) =⇒(iii). Supposonsfsurjective. Pour montrer quefest bijective, il reste à montrer quefest injective.

Raisonnons par l"absurde et supposonsfnon injective. AlorsCardf(E)

la même image). Orf(E) =Fcarfsurjective, doncCardF injective et ainsifest bijective.

(iii) =⇒(i). C"est clair : une fonction bijective est en particulier injective.Appliquez ceci pour montrer leprincipe des tiroirs:Proposition 5.

Si l"on range dansktiroirs,n>kpaires de chaussettes alors il existe (au moins) un tiroir contenant (au moins) deux

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