[PDF] Devoir maison Devoir maison. Exercice 1. Soit ?

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Universite Claude Bernard Lyon 1 PCSI L1 UE TMB

Printemps 2014

Devoir maison

Exercice 1.Soitun nombre complexe veriant6= 1 et5= 1.

1. Montrer queest solution de l'equationx4+x3+x2+x+ 1 = 0.

2. Soit=+1

. Montrer queest solution de l'equationx2+x1 = 0.

3. Calculer la forme cartesienne des racines cinquiemes de l'unite.

4. Calculer cos(

25
) et sin(25

5. Calculer cos(

5 ) et sin(5 Exercice 2.SoitABCDun tetraedre. On noteA0;B0;C0etD0les projections orthogonales deA;B;Cet

Dsur les plansBCD;CDA;DABetABC.

1. Montrer :

!AB!CD+!AC!DB+!AD!BC= 0; en deduire que siAB?CDetAC?BDalorsAD?BC(IciMM0designe la droite passant par les pointsM etM0).

2. Montrer queAA0,BB0,CC0etDD0sont concourantes si et seulement si on aAB?CD,AC?BDet

AD?BC. On dit alors queABCDest un tetraedre orthocentrique.

3. Montrer qu'un tetraedre regulier, c'est-a-dire dont les c^otes ont la m^eme longueur, est orthocentrique.

Exercice 3.Soitfun endomorphisme deR3, c'est-a-dire une application lineairef:R3!R3.

1. Supposons quefverie : pour tous vecteurs~uet~vdeR3,f(~u)~v=~uf(~v). Montrer que la matrice

defest une matrice symetrique dans toute base orthonormee deR3.

2. Reciproquement, montrer que si la matrice defdans une base orthonormee est symetrique, alors elle

l'est dans n'importe quelle base orthonormee et quefverie : pour tous vecteurs~uet~vdeR3,f(~u)~v= ~uf(~v).

Exercice 4.Soitfla fonction denie par :

f:R!R;f(x) =x3+ax;six0;px+ 1 +b;six >0: ouaetbsont des parametres reels.

1. Montrer quefest continue et derivable surR.

2. Determiner les valeurs deaetbpour quefsoit continue et derivable surR.

3. En prenant les parametresaetbdetermines en 2), montrer qu'il existec2]1;1[ tel quef0(c) = 1=4.

4. En prenant les parametresaetbdetermines en 2),fest-elle deux fois derivable?

5. En prenant les parametresaetbdetermines en 2), calculer le polyn^ome de Taylor defa l'ordre 2 au

pointx0=1. 1 Exercice 5.Montrer que pour tout (x;y)2R2veriantxy6= 1 on a : arctanx+ arctanyarctan(x+y1xy) =8 :0 sixy <1; sixy >1 etx >0 ety >0; sixy <1 etx <0 ety <0: Exercice 6.Calculer, en justiant, la derivee de la fonction : F:]2 ;2 [!R; F(x) =Z shx tanx1p1 +t2dt: Exercice 7.Soita >0 et soitfla fonction denie parf(x) =x3=2. SoitCla portion de la courbe def delimitee par 0 eta. Calculer le volume engendre par la rotation deCautour de l'axe desx. Exercice 8.Le mouvement d'une particule chargee dans un champ magnetique dirige suivant l'axeOzest regi par un systeme dierentiel de la forme : 8< :x

00=!y0

y

00=!x0

z 00= 0 ou!depend de la masse et de la charge de la particule et du champ magnetique. En utilisantu=x0+iy0 resoudre ce systeme dierentiel. 2quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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