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ale-Maths Complémentaires02-ÉVOLUTIONS - MODÈLES DISCRETSÉVOLUTIONS - MODÈLES DISCRETS

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01? ???????ℓ[[Terminale -Maths Complémentaires-Thème 02Table des matières IGénéralités sur les suites - rappels de 1ère...2

1)Notion de suite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2)Sens de variations d"une suite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

3)Suites arithmétiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

4)Somme des entiers de 1 àn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

5)Suites géométriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

6)Somme des puissances successives d"un réel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

IISuite arithmético-géométrique4

1)Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2)Étude d"une suite arithmético-géométrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

IIILimite finie ou infinie d"une suite6

1)Limite finie : suite convergente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2)Limite infinie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

IVOpérations sur les limites7

1)Limite d"une somme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2)Limite d"un produit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3)Limite d"un quotientunv

nlorsquelimn→+∞vn≠0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

4)Limite d"un quotientunv

nlorsquelimn→+∞vn=0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

5)Formes indéterminées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

6)Limite d"une suite géométrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

VLimites et comparaison9

1)Théorème de comparaison. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2)Théorème d"encadrement. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3)Passage à la limite dans les inégalités. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Polycopié de cours de N. PEYRATP age1 sur10 Lycée Sain t-Charles

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ale-Maths Complémentaires02-ÉVOLUTIONS - MODÈLES DISCRETSIGénéralités sur les suites - rapp elsde 1

ère...

1)

Notion de suite On appelle suiteude nombres réels toute fonction définie sur l"ensembleNdes entiers naturels.

L"image parud"un entier naturelnest un réel notéun, et se lit "uindicen». On dit queunest le terme général de la suiteu.DÉFINITION Une suite peut être définie de plusieurs façons différentes : ?au moyen d"une formule explicite :unen fonction den. (Exemple : la suiteudéfinie, pour tout entier natureln, parun=n2+2n+3) ?au moyen d"une relation de récurrence :un+1en fonction deun. (Exemple : la suiteudéfinie paru0=1et pour tout entier naturelnpar la relationun+1=3un+1.) 2) Sens de va riationsd"une suite Soituune suite définie surN. Si pour tout entier natureln,un+1-un⩾0, alors la suiteuest croissante surN. Si pour tout entier natureln,un+1-un⩽0, alors la suiteuest décroissante surN.PROPRIÉTÉ Déterminer le sens de variations de la suiteudéfinie surNparun=1n+1.EXEMPLE 3)

Suites a rithmétiques

Soituune suite définie surN.

On dit queuest une suite arithmétique de raisonrsi et seulement si il existe un réelrtel que pour tout

entier natureln: u n+1=un+rDÉFINITION Soituune suite arithmétique de raisonrdéfinie surN.

Alors pour tous entiers naturelsnetp, on a :

u n=up+(n-p)r En particulier, siuest définie à partir du rang 0, on a : u n=u0+nrPROPRIÉTÉ

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ale-Maths Complémentaires02-ÉVOLUTIONS - MODÈLES DISCRETSSoitula suite arithmétique de raisonr=3définie surNet telle queu10=2.Calculeru17.EXEMPLE

Soituune suite arithmétique de raisonrdéfinie surN.

Sir>0, alors la suiteuest strictement croissante.

Sir<0, alors la suiteuest strictement décroissante. Sir=0, alors la suiteuest constante.PROPRIÉTÉ 4) Somme des entiers de 1 à nPour tout entier naturelnnon nul, on a :

1+2+...+n=n(n+1)2PROPRIÉTÉ

CalculerS=1+2+3+...+100(=5050)EXEMPLE

5)

Suites géométriques

Soituune suite définie surN.

On dit queuest une suite géométrique de raisonqsi et seulement si il existe un réelqnon nul tel que pour

tout entier natureln: u n+1=q×unDÉFINITION Soituune suite géométrique de raisonqdéfinie surN.

Alors pour tous entiers naturelsnetp, on a :

u n=up×qn-p En particulier, siuest définie à partir du rang 0, on a : u n=u0×qnPROPRIÉTÉ

Soitula suite géométrique de raisonr=12

définie surNet telle queu6=5. Calculeru11.EXEMPLE

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ale-Maths Complémentaires02-ÉVOLUTIONS - MODÈLES DISCRETSSoituune suite définie surN, géométrique de raisonq>0et de premier termeu0.

Siu0>0:

Siq>1, alorsuest strictement croissante.

Siq=1, alorsuest constante.

Si0

Siu0<0:

Siq>1, alorsuest strictement décroissante.

Siq=1, alorsuest constante.

Si0 Siu0=0, alors la suiteuest constante à zéro.THÉORÈME 6)

Somme des puissances successives d"u nréel

Soitqun réel différent de1. Alors pour tout entier natureln, on a : Calculer pour tout entier naturelnla somme1+2+22+...+2n. (=1-2n+11-2=2n+1-1)EXEMPLE

Conséquence : Soitqun réel différent de1, et soit(un)une suite géométrique de raisonqet de premier

II

Suite a rithmético-géométrique

1)

Définition Soientaetbdeux réels.

Une suite arithmético-géométrique est une suiteudéfinie par la donnée de son premier terme (généralement

u

0ou quelques foisu1) et par une relation de récurrence de la forme :

u n+1=a×un+bDÉFINITION ?Sia=1, alors la suite(un)est une suite arithmétique de raisonb. ?Sia=0, alors la suite(un)est une suite constante où tous les termes valentb. ?Sib=0, alors la suite(un)est une suite géométrique de raisona.REMARQUES

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ale-Maths Complémentaires02-ÉVOLUTIONS - MODÈLES DISCRETS2)Étude d"une suite a rithmético-géométrique

Soitaetbdeux réels tels quea≠1et soit(un)une suite arithmético-géométrique vérifiant, pour tout entier

natureln,un+1=aun+b.

Soitαl"unique solution de l"équationx=ax+b.

Alors la suite(vn), définie pour tout entier naturelnparvn=un-αest géométrique de raisona.PROPRIÉTÉ

ax+b=x??(a-1)x=b??x=-ba-1(cara≠1).

Posonsα=-ba-1.

Ainsi, pour toutn?N,⎧

n+1=aun+b α=aα+b, donc en retranchant ces deux égalités, on obtient : u n+1-α=a(un-α)+b-b, soitvn=avn.DÉMONSTRATION

Sia=1, la suite(un)est une suite arithmétique de raisonbet on connait déjà sa formule explicite. De plus,

dans le cas oùa=1, la propriété ci-dessus n"est pas applicable car l"équationx=ax+bn"a pas de solution

(puisquex=ax+b??x=x+b??0=b).REMARQUE Soit(un)une suite arithmético-géométrique définie surNparun=0,5un+2etu0=1. Pour déterminer la forme explicite de cette suite, on procède en trois étapes : ?Étape 1 : On déterminer la suite constante vérifiant la relation de récurrence de(un). Autrement dit, on résout l"équationx=0,5x+2: x=0,5x+2??0,5x=2??x=20,5??x=4. La suite constante égale à4vérifie la même relation de récurrence que(un). ?Étape 2 :

On pose, pour toutn?N, la suitevn=un-4, où4est la constante que l"on vient de trouver, et on montre

que cette suite(vn)est géométrique : Pour toutn?N,vn+1=un+1-4=0,5un+2-4=0,5un-2=0,5(un-4)=0,5vn. Donc(vn)est bien une suite géométrique de raisonq=0,5et de premier termev0=u0-4=1-4=-3. ?Étape 3 : On déduit alors l"expression explicite devn, puis deun:

Ainsi, pour toutn?N,vn=v0×qn=-3×0,5n.

Orvn=un-4, doncun=vn+4=4-3×0,5n.EXEMPLE

Déterminer la formule explicite de la suite(un)définie surNparun=-2un+5etu0=3.EXERCICE

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ale-Maths Complémentaires02-ÉVOLUTIONS - MODÈLES DISCRETSIIILimite finie ou infinie d"une suite

1) Limite finie : suite convergente Soituune suite etlun réel. On dit queuntend verslquandntend vers+∞si tout intervalle ouvert contenantlcontient toutes les valeursunà partir d"un certain rang.

On dit alors que la suiteuconverge verslet quelest la limite deu, et on note :limn→+∞un=l.n

0123456789u

n01? ???????ℓ[[DÉFINITION

Les suites de référencen↦1n

2,n↦1n

3,n↦1⎷n

convergent vers 0.EXEMPLE 2)

Limite infinie

Soituune suite.

On dit queuntend vers+∞quandntend vers+∞si tout intervalle ouvert de la forme]A;+∞[contient

toutes les valeursunà partir d"un certain rang.

On dit alors que la suiteudiverge vers+∞et que+∞est la limite deu, et on note :limn→+∞un=+∞.n

0123456789u

n01ADÉFINITION

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ale-Maths Complémentaires02-ÉVOLUTIONS - MODÈLES DISCRETSOn définit de mêmelimn→+∞un=-∞avec un intervalle ouvert de la forme]-∞;A[.REMARQUE

Les suites de référencen↦n,n↦n2,n↦n3,n↦⎷ntendent vers+∞quandntend vers+∞.EXEMPLES

Certaines suites n"admettent pas de limite. On dit alors que la suiteudivergeou est div ergente. Exemple :la suiteudéfinie pour tout entier naturelnparun=(-1)n.REMARQUE IV

Op érationssur les limites

1) Limite d"une somme Siua pour limiteℓℓou+∞ℓou-∞+∞

Siva pour limiteℓ

Alorsu+va pour limiteℓ+ℓ′+∞-∞????? les rôles deuetvpeuvent être échangés.REMARQUE 2)

Limite d"un p roduit

Siua pour limiteℓℓ≠0∞0

Siva pour limiteℓ

Alorsuva pour limiteℓ×ℓ′∞∞????? ?les rôles deuetvpeuvent être échangés.

?On détermine le signe de la limite infinie en utilisant la règle des signes habituelle.REMARQUES

3)

Limite d"un quotient

unv nlorsquelimn→+∞vn≠0Siua pour limiteℓℓ∞∞

Siva pour limiteℓ

′≠0∞ℓ≠0∞ Alors uv a pour limiteℓ ′0∞?????

On détermine le signe de la limite infinie en utilisant la règle des signes habituelle.REMARQUE

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T ale-Maths Complémentaires02-ÉVOLUTIONS - MODÈLES DISCRETS4)Limite d"un quotient unv nlorsquelimn→+∞vn=0Siua pour limiteℓ≠0ou∞0 Siva pour limite0en gardant un signe constant à partir d"un certain rang0 Alors uv a pour limite∞?????

On détermine le signe de la limite infinie en utilisant la règle des signes habituelle.REMARQUE

5)

F ormesindéterminées

Les quatre cases?????dans les tableaux précédents représentent des cas de formes indéterminées. En effet, on ne

peut déterminer la limite de manière générale : ?Forme indéterminée+∞-∞:u nv nu n+vnlim n→+∞unlim n→+∞vnlim n

2+1-n21+∞-∞1

n+1n-n1 n+∞-∞0 ?Forme indéterminée∞×0:u nv nu n×vnlim n→+∞unlim n→+∞vnlim n→+∞(un×vn)n 21
nn+∞0+∞ n- 1n 2-

1n+∞00

5n32 n

310+∞010

?Forme indéterminée∞∞ :u nv nu n÷vnlim n→+∞unlim n→+∞vnlim n→+∞(un÷vn)n3n1

3+∞+∞1

3

2n2-n-2n+∞-∞-∞

n2n31

2n2+∞+∞0

?Forme indéterminée00 :u nv nu n÷vnlim n→+∞unlim n→+∞vnlim n→+∞(un÷vn)3 n1 n3003 1 n1 n

2n00+∞

Les cas de formes indéterminées nécessitent une étude particulière chaque fois qu"ils se présentent.

Pour les mémoriser, on les note "∞ - ∞», "0× ∞», "∞∞

» et "00

», maisces écritures ne doivent jamais être

utilisées dans une rédaction ni apparaitre sur une copie!Polycopié de cours de N. PEYRATP age8 sur10 Lycée Sain t-Charles

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ale-Maths Complémentaires02-ÉVOLUTIONS - MODÈLES DISCRETSExercices du livre et de la feuille distribuée.EXERCICES

6)

Limite d"une suite géométrique

Soitqun réel strictement positif.

?Si01, alors la suite(qn)diverge vers+∞.THÉORÈME

Dans les exercices, pour déterminer la limite d"une suite géométrique(un)de terme généralun=u0×qn,

avecqun réel strictement positif, on applique le théorème précédent avec la limite d"un produit d"une suite

et d"un réel.REMARQUE Soit(un)une suite géométrique de raisonqtelle que00 Par produit,limn↦+∞u0(1-qn+1)=u0, et par quotient,limn↦+∞u

0(1-qn+1)1-q=u01-q.DÉMONSTRATION

V

Limites et compa raison

1)

Théo rèmede compa raisonSoituetvdeux suites. Si pour tout entier naturelnsupérieur à un certain entier natureln0,

?un⩽vnetlimn→+∞un=+∞, alorslimn→+∞vn=+∞ ?un⩽vnetlimn→+∞vn=-∞, alorslimn→+∞un=-∞THÉORÈME Soit(un)la suite définie pour tout entier naturelnparun=n+(-1)n. 1.

Justifier que la suite n"es tpas monotone.

2. Déterminer sa limite quand ntend vers∞.EXEMPLE

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T ale-Maths Complémentaires02-ÉVOLUTIONS - MODÈLES DISCRETS2)Théo rèmed"encadrement

Soitu,vetwtrois suites telles que :

?vn⩽un⩽wnà partir d"un certain rangn0, ?vetwconvergent vers la même limitel, alors la suiteuconverge et sa limite estl.THÉORÈME

Le théorème d"encadrement ne s"applique qu"à des suitesconvergentes; dans le cas où les suites(vn)et

(wn)divergent vers l"infini, le théorème de comparaison suffit.REMARQUE Étudier la convergence de la suiteudéfinie pour tout entier naturelnnon nul parun=2+3cosnn .EXEMPLE 3)

P assageà la limite dans les inégalités

Soientuetvdeux suites convergentes de limites respectivesℓetℓ′et soitNun entier naturel.

Si pour tout entiern⩾N, on aun⩽vn, alorsℓ⩽ℓ′.THÉORÈME

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