[PDF] Second CC – devoir maison Métiers de l'enseignement

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Métiers de l'enseignement et de la formation : Math virginie.zampa.free.fr - -- - virginie.zampa@univ-grenoble-alpes.fr 1

Second CC - devoir maison

Exercice 1

Reproduire (sur cette feuille) le chat par symétrie axiale

Exercice 2

1) Mononcle,automobilisteprudent,roule1hà60km/h,puis1hà40km/h.Quelleestsa

vitessemoyennesurl'ensembleduparcours?

1hà60km/h=>60km

1hà40km/h=>40km

Total100kmen2h=>50km/hdemoyenne

2) Mamère,randonneusemesurée,marche1kmà6km/h,puis1kmà4km/h.Quelleestsa

vitessemoyennesurl'ensembleduparcours?

1kmà6Km/h=>10min

1kmà4km/h=>15min

Total2kmen25min=>2*60/25=4,8km/h

3) Monbeau-cousin,cyclistefatigué,roule30kmà18km/hettrouvesaperformancebien

Aller

Km1830

Min6030*60/18=100minutes=1h40

Totalparcours

Km2460

Min6060*60/24=150=2h30

ð Onveutdoncqueladuréederetoursoitde150-100=50minutes Métiers de l'enseignement et de la formation : Math virginie.zampa.free.fr - -- - virginie.zampa@univ-grenoble-alpes.fr 2 ð doncsi30kmsontfaitsen50min,monbeau-cousindoitroulerà30*60/50=36km/h surletrajetduretour.

Exercice 3

Le prix d'un article a augmenté de 5% en 2001 et de 6% en 2002. Quel est le pourcentage d'augmentation de cet article sur les deux années écoulées ? Si le prix est x au départ, en 2001 il coûte x+ 0,05x En 202 il coute (x + 0,05x) + 0,06*(x + 0,05x) = x + 0,05x + 0,06x + 0,003x = x+ 0,113x sur les deux années le prix de l'article a augmenté de 11,3%.

Exercice 4

Voici des indications sur la répartition durant l'année scolaire 2004-2005, des 260 élèves d'un

établissement scolaire sans internat.

• II y a 78 garçons demi-pensionnaires, • 35% des garçons sont externes, • 45% des filles sont externes.

1) a) Déterminer le nombre de garçons.

b) Compléter le tableau suivant :

Nombrede

garçons

NombredefillesTotal

Nombrededemi-

pensionnaires 78

65%pourgarçon

140-63=77

55*140/100=77

77+78=155

Nombred'externes35%->

35*78/100=42

45%
=140*45/100=63

63+42=105

Total78+42=120260-120=140260

2) Parmi les élèves de l'établissement (Les résultats seront arrondis à l'unité) :

a) Quel est le pourcentage des externes ? 105*100/260 = 40% b) Quel est le pourcentage des garçons demi-pensionnaires ? 78*100/260 = 30% c) Quel est le pourcentage des élèves qui sont des garçons ou des externes ? somme garçons et filles externes = 120 + 63 = 183 => 183*100/260 = 70%

3) De l'année scolaire 2003-2004 à la suivante, les effectifs de l'établissement ont augmenté

de 4 %. Quel était le nombre d'élèves scolarisés dans cet établissement en 2003-2004 ?

100 -> 104

x -> 260 on a donc x = 260*100/104 = 250

Exercice 5

Un particulier souhaite carreler le sol d'une pièce rectangulaire à l'aide de dalles carrées en

linoléum. La pièce mesure 4,2 m sur 8,7 m. Il souhaite n'utiliser que des dalles entières. Il a le choix entre des dalles carrées de 15 cm, 12 cm, 29 cm, 30 cm ou 45 cm de côtés.

1) Quellessontlesdallesqu'ilseraitpossibled'utiliser?

Dans la largeur de la pièce

- 420/12=35 - 420/15=28 - 420/29=14,48=>impossible Métiers de l'enseignement et de la formation : Math virginie.zampa.free.fr - -- - virginie.zampa@univ-grenoble-alpes.fr 3 - 420/30=14 - 420/45=9,33=>impossible

Dans la longueur

- 870/12=72,5=>impossible - 870/15=58 - 870/29=30 - 870/30=29 - 870/45=19,33 ð lesmodèlesdedallespossiblessansdécoupesont15*15et30*30

2) Sachantquelesprixdesdallessontaffichésàl'unité

Dimension12x1215x1529x2930x3045x45

Prixen€1,01,22,32,35,0

Quel sera le coût minimal de cet achat ?

Avec les dalles de 15*15 il en faut 28*58 = 1624 à 1,2€/pièce => 1624*1,2 = 1948,8€ Avec les dalles de 30*30 il en faut 14*29 = 406 à 2,3€/pièce => 406*2,3 = 933,8€ Le coût minimal de cet achat sera 933,8€ avec les dalles de 30*30cm.

Exercice 6

Sur la figure ci-dessous, les points A, B et C sont les centres de trois cercles, de même rayon, tangents deux à deux. Soit r le rayon de ces cercles. Calculez, en fonction de r, l'aire de la partie noire intérieure au triangle et délimitée par les trois cercles. ABC triangle équilatéral de coté 2r. => chacun des angles est égal à 60°.

L'aire de chacune des portions est de 1/6

de cercle soit 1/6 π r 2

La somme des 3 portions = ½ π r

2

L'aire du triangle ABC = base * hauteur /2

Calcul de la hauteur (pythagore) : h

2 + r 2 4r 2 => h 2 = 3r 2 2

Aire de la partie noire = aire du triangle - 3

2

½ π r

2 = r 2

½ π) = 1,43 r

2

Exercice 7

ABCDEFGH est un octogone régulier de centre O.

1) a) Calculer la valeur en degrés de l'angle HOG. HOG = 360/8 = 45° b) Calculer la valeur en degrés de l'angle HBE. HOB est isocèle de sommet O (car OH = OB) donc OHB=HBO Comme la somme des angles d'un triangle vaut 180° on en déduit que

HBO = (180-HOB)/2

Or HOB= 2*HOA = 2*45 = 90 donc HBO=(180-90)/2 = 45. De la même façon OBE= (180-135)/2=45/2=22,5°

On en déduit que HBE=HBO+OBE=45+22,5=67,5

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3) Construireàlarègleetaucompascetoctogonedanslecasoùlerayondesoncercle

circonscritestégalà5cm.L adescriptio ndela procédure deconstructionn'estpas

3) On veut obtenir une pyramide régulière de base l'octogone ABCDEFGH construit

précédemment et de sommet S. a) Quelles conditions doivent vérifier les longueurs des arêtes [SA], [SB], [SC], [SD], [SE], [SF], [SG], [SH] ? elles doivent toutes être égales b) On prend SA = 13 cm. Calculer alors SO.

SOA est un triangle rectangle en O. on a donc SA

2 = SO 2 + OS 2

On a donc OS

2 = SA 2 - SO 2 => OS 2 = 13 2 - 5 2 = 169 - 25 = 144 => OS =12 cm

4) OncoupelapyramideSABCDEFGHparunplanparallèleàsabaseetpassantparlemilieu

Exercice 8

Le responsable commercial d'un grand magasin achète un lot d'ordinateurs de même prix. Il

en vend le tiers avec un bénéfice de 20 %, le quart avec un bénéfice de 16 % puis le reste avec

une perte de 7 %.

1) Calculerenpourcentagelebénéficeréalisésurlatotalitédelavente.

Je passe les proportions en pourcentages :

1/3 = 33%

1/4 = 25 %

le reste = (33 + 25)-100 = 41,67 %

Nous savons que :

Métiers de l'enseignement et de la formation : Math virginie.zampa.free.fr - -- - virginie.zampa@univ-grenoble-alpes.fr 5 - 33%desordinateursontétévendusavecunbénefde20%cequitraduitenchiffresdonne

33,33x1,20=40

- 25%vendusavecunbénéfde16%soit25x1,16=29 - 41,67%vendusavecunepertede7%soit41,67x0,93=38,75

ainsi pour connaître le bénéfice total il suffit d'additionner les pourcentages obtenus et de

comparer avec la valeur 100 de départ, soit :

40 + 29 + 38,75 = 107,75

le bénéfice total est donc de 107,75-100 = 7,75 %

2) Sachantquelebénéficeestde2976€,calculerlemontantdesachatsduresponsable

commercial. Le montant des achats est de 2976*100/7,75 = 38400€

Exercice 9

Deux cyclistes font une course consistant en un aller-retour entre deux villes A et B ; on appelle d la distance entre ces deux villes. Le premier cycliste est plein d'ardeur et fait le trajet de A à B avec une vitesse v très honorable ; malheureusement, dans la ville B, sa bicyclette subit une avarie qui le contraint à Quant au deuxième cycliste, il part de A en même temps que le premier ; il effectue les deux

trajets de A à B puis de B à A avec la même vitesse constante x nettement inférieure à v, mais

la malchance de son compagnon lui permet de terminer la course en A en même temps que lui.

On précise :

- les vitesses v, w et x sont considérées comme constantes ; - aucun temps d'arrêt en B n'est à prendre en compte.

1) On suppose d'abord : d = 20 km, v = 40 km/h et w = 10 km/h

a) Combien de temps ont duré les deux trajets aller et retour du premier cycliste ? aller 20 km à 40 km/h et retour 20km à 10 km/h donc aller en 30 minutes et retour en 2h soit un total de 2h30 b) Quelle était la vitesse x du deuxième cycliste ? les deux cyclistes sont arrivés en même temps donc 40 km en 2h30 = 8km/30 minutes => la vitesse du second cycliste est de 16 km/heure

2) Établissez maintenant une formule générale qui permet de calculer x en fonction de d, v et

w. Là on avait 20=d, 40=v et 10=w et on trouve 2,5 (2h30) avec la formule (d/v)+(d/w) x=2.5/40 on a 2d=40 Donc: x=[(d/v)+(d/w)]/2d

PAS SURE DE LE COMPTER !

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Exercice 10

Une station de sports d'hiver est équipée d'un téléphérique pour permettre aux skieurs

d'atteindre un plateau en altitude. Des pylônes sont placés en A, E, C et B pour soutenir le

câble que l'on considérera rectiligne. Le câble mesure 2,48 km. L'altitude au point A est 2100

m, l'altitude au point B est 2620 m. Remarque : Sur ce schéma, les mesures des longueurs et de l'angle ne sont pas respectées.

1) Ondéfinitlapentecommeétantlerapportentrelahauteurdudénivelé(BB'surledessin)

a. Calculerlapentedececâbleetl'exprimerenpourcentage.

2,480 km = 2480 m

Calcul de BB' : 2620 - 2100 = 520 km

AB² = AB'² + BB'²

2480² = AB'² + 520²

AB'² = 2480² - 520²

AB'² = 2425 m

Pente = 520 / 2425 = x/100

x = 520 x 100/2425 = 21,4 %

La pente de ce câble est de ≈ 21 %

b. Calculerl'altitudeaupointC,arrondieà1mprès. Soit H le point de BB' tel que CH est perpendiculaire à BB'

On utilise la propriété de Thalès :

BC/BA = BH/BB'

BH = BC x BB' = 480 x 520

BA 2480

CC' = BB' - BH = 520 - (480 x 520)/2480 ≈ 419 m L'altitude au point C est donc l'altitude au point C'+ 419 = 2100 + 419 = 2519m a) E est le milieu du segment [AC]. Calculer EC.

BC = 480 => AC=AB-BC=2480-480=2000

=> EC= AC/2 = 1000 m b) Entre E et C, la cabine progresse à la vitesse constante de 5 m/s. En combien de temps la cabine parcourt-elle la distance EC ? Vous donnerez le résultat en minutes et secondes.

1000 : 5 = 200 secondes

La cabine parcourt la distance EC en 200 secondes = 3 minutes et 20 secondes Métiers de l'enseignement et de la formation : Math virginie.zampa.free.fr - -- - virginie.zampa@univ-grenoble-alpes.fr 7

Exercice 11

Deux villes A et B se situent du même côté d'une voie ferrée rectiligne (CD), comme l'indique le schéma ci-dessous.

On cherche où construire la gare G pour que el trajet de la ville A à la ville B en passant par la

gare G soit le plus court possible.

1) ReprésenterlespointsA,B,CetDsurunefigurepourlaquelle1cmcorrespondà1km.

Si on représente sur le schéma, 1 cm pour 1 km, cela veut dire que 1 cm sur le schéma représente 100 000 cm. On dit que le schéma est à l'échelle 1/ 100 000.

2) ConstruirelepointEsymétriquedupointBparrapportàladroite(CD)

3) OnappelleFlepointd'intersectiondesdroites(AE)et(CD).SoitMunpointquelconque

Soit E le symétrique de B par rapport à la droite (CD), et F l'intersection entre (AE) et (CD).

Les points A, F et E sont alignés. BF = FE.

Soit M, un point quelconque sur (CD) différent de F. Construisons le segment [ME].

On a alors ME = MB.

Comparons maintenant AM + MB et AF + FB.

AM + MB = AM + ME et AF + FB = AF + FE.

Les points A, F et E sont alignés, AE peut être considéré comme un côté du triangle AME et,

d'après la définition de l'inégalité triangulaire, la longueur d'un côté d'un triangle est inférieure

à la somme des longueurs des deux autres côtés. On a bien AE < AM + ME. Métiers de l'enseignement et de la formation : Math virginie.zampa.free.fr - -- - virginie.zampa@univ-grenoble-alpes.fr 8

AF + FE < AM + ME

AF + FB < AM + MB ou AM + MB > AF + FB.

4) Endéduirel'endroitoùl'ondoitconstruirelagareG

AF + FB étant la distance la plus courte pour relier A à B en passant par la droite (CD), c'est

au point F que la gare sera construite.

G = F.

Exercice 12

Les instruments autorisés sont le compas et la règle graduée. Soit EFG un triangle isocèle en E tel que FG = 4 cm et EG = 6 cm. Le cercle (C) de diamètre [EG] coupe [FG] en K.

1. Réaliser la figure en vraie grandeur sur la copie.

2. Démontrer que EKG est un triangle rectangle.

Le triangle EKG est inscrit dans le cercle de diamètre un des côtés de ce triangle. Donc EKG est un triangle rectangle en K et son hypoténuse est ce côté [EG].

3. Démontrer que K est le milieu de [FG].

K est également le pied de la hauteur issue de E du triangle isocèle EFG en E.

Il coupe donc le segment [FG] en son milieu.

4. Calculer la valeur exacte de EK.

Appliquons le théorème de Pythagore dans le triangle EKG rectangle en K.

On a alors : EG² = EK² + KG²

Donc EK² = EG²-KG²

En remplacant par les valeurs numériques, on obtient :

EK² = 6²-2²=36-4=32

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5. Soit S le point image du point E par la translation qui transforme K en G. Placer le point

S sur la figure, en expliquant cette construction. On laissera apparents les traits de construction.

6. Démontrer que le quadrilatère ESGK est un rectangle

Le parallélogramme ESGK est un rectangle car l'angle GKE est droit.

7. En déduire que ESGK est inscrit dans le cercle (C).

Le cercle (C) de diamètre [EG] coupe [FG] en K. On a donc E, G et K inscrit dans le cercle. ESKG étant un rectangle, ces diagonales se coupent en leur milieu O. donc S est aussi sur C.

ð LerectangleESGKestinscritdanslecercleC.

Exercice 13

Soit ABCD un rectangle. On note F le milieu du segment [CD], E le milieu de [AD] et

G l'intersection des droites (EC) et (FB).

1) Faire un croquis.

2) Démontrerquel'airedutriangleDECestlequartdel'airedurectangleABCD.

Soit E' le milieu de BC. L'aire du rectangle DEE'C est la moitié de l'aire du rectangle ABCD. Le triangle DEC correspond à la moitié du rectangle DEE'C son aire correspond donc au quart de celle du rectangle ABCD.

3) Démontrerquel'aireduquadrilatèreEDFGestégaleàcelledutriangleBCG.

Selon le même principe BCF = ¼ ABCD donc BGC = ¼ ABCD - GFC EDFG = EDG - GFC or EDG = ¼ ABCD donc EDFG = ¼ ABCD - GFC= BGC Métiers de l'enseignement et de la formation : Math virginie.zampa.free.fr - -- - virginie.zampa@univ-grenoble-alpes.fr 10

Exercice 14

Un cargo de 76 mètres de long et navigant à 25 km/h dépasse un bateau de plaisance de 15 mètres de long se déplaçant à 12 km/h.

Calculer la durée du dépassement.

(Le moment initial du dépassement correspond au moment où l'avant du cargo est à la hauteur de l'arrière du bateau de plaisance. Le moment final du dépassement correspond au moment où l'arrière du cargo est à la hauteur de l'avant du bateau de plaisance. Le cargo (mesurant 76 m de long et navigant à 25 km/h) commence à dépasser le bateau de plaisance (mesurant 15 m de long et navigant à 12 km/h), quand l'avant du cargo arrive au niveau de l'arrière du bateau de plaisance, et le dépassement se termine quand l'arrière du cargo arrive au niveau de l'avant du bateau de plaisance. Un passager du bateau de plaisance, verra donc l'avant du cargo parcourir une distance égale à la longueur du cargo (76 m) augmentée de la longueur du bateau de plaisance (15 m) pour permettre à l'arrière du cargo d'atteindre l'avant du bateau de plaisance, soit :

76 m + 15 m = 91 m.

Pendant ce temps le bateau de plaisance aura continué à avancer à sa propre vitesse et aura parcouru une certaine distance d comme le montre le schéma

Cette distance de 91m étant perçue par rapport au bateau de plaisance, elle sera parcourue à la

vitesse à laquelle un occupant du bateau de plaisance voit avancer le cargo, c'est-à-dire à une

vitesse égale à la différence des vitesses des deux bateaux soit : 25 km/h - 12 km/h = 13 km/h

Le problème revient donc à calculer la durée nécessaire pour parcourir 91 m à la vitesse de 13

km/h.

Distance parcourue en mètres 13 000 91

Durée du trajet en secondes 3600 t

on peut déduire que : 13000 t = 91 x 3600 = 327 600

D'où t = 327 600 13 000 = 25,2

Exercice 15

Une course pédestre est organisée le long d'un parcours rectangulaire comme indiqué par la ci-dessous :

On appelle x la distance parcourue, à partir du départ situé en I, par un coureur représenté par

un point noté M. On appelle V(x) la distance à vol d'oiseau du point I au point M. Métiers de l'enseignement et de la formation : Math virginie.zampa.free.fr - -- - virginie.zampa@univ-grenoble-alpes.fr 11

1) Reproduire et compléter le tableau ci-dessous. On Justifiera les résultats lorsqu'ils

nécessitent un calcul ou un raisonnement.

3) Commentvarieladistanceàvold'oiseauV(X)lorsquelecoureurreprésentéparlepoint

Meffectueuntourduparcours?

On sépare les différents cotés

1°) Pour M sur [IA], V(x) = x

2°) Pour M sur [AB], V(x)

2 = IA 2 + AM 2 avec AM = x-4 donc AM = 16 - 8x + x 2 => V(x) 2 = 32-8x+ x 2

3°) Pour M sur [BC], on aura un triangle rectangle en K soit IKB soit IKC et

V(x) 2 = IK 2 + KM 2 avec IK 2 = 9 et KM = |x-11| donc KM 2 = 121-22x+ x 2 => V(x) 2 = 130 - 22x + x 2

4°) Pour M sur [CD], V(x)

2 = ID 2 + DM 2

Pour M sur [DI], V(x) = tour complet - IM = 22-x

3) Reproduire et compléter le tableau suivant. Les résultats seront arrondis au dixième de

kilomètre et justifiés.

Pour x = 5 et x= 6 on a x sur [AB] donc V(x)

2 = AI 2 + Ax 2 V(5) 2 V(6) 2 Pour x = 8, x=9 et x = 10 on a x sur [BC] donc V(x) 2 = KI 2 + Kx 2 V(8) 2 = 9 + (11-x) 2 V(9) 2 V(10) 2

4) On prévoit pour les vétérans le parcours correspondant au quadrilatère IJKL. De quel

pourcentage le parcours initial a-t-il été réduit ? On donnera le résultat à l'unité près par

défaut. Le parcours initial mesure 2*8 + 2*3 = 16 + 6 = 22 km

Le parcours vétérans mesure 4*IJ avec IJ

2 = AI 2 + AJ 2 = 16 + 2,25 = 18,25 Le parcours vétérans mesure donc mesure 17,09km il correspond donc à 77,68% du parcours initial. Il a donc été réduit de 22,32%.quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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