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Puissance de Matrices - Spe Maths

Exercices

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jaicompris.com Puissance d'une matrice diagonale Soienta,betctrois reels. On considere la matriceD =0 @a0 0 0b0 0 0c1 A Determiner pour tout entiern>1l'expression deDnMethode 1 : Raisonnement par recurrence

SoitA =0 1

2 3 . Montrer que pour tout entiern>0:An=22n2n1

22n+12n+11Calculer A

nen utilisant les proprietes de AOn considere la matriceA =4 3 32

1) CalculerB = AI2

2) CalculerB2

3) En deduire pour tout entiern>0, l'expression deAnen fonction den.Calculer A

na l'aide d'une diagonalisationSoitA =0;8 0;1

0;2 0;9

etP =1 1 21

1) CalculerP2et verier quePest inversible.

2) Verier queD = P1APest une matrice diagonale que l'on precisera.

3) En deduire pour tout entiern>1, l'expression deAnen fonction den.Matrices : un calcul de puissances par recurrence

On pose :A=1 1

0 2 1.

Calculer A2,A3, etA4.

2. Conjecturer l'expression de Anpour tout entier naturelnnon nul. 3. D emontrerv otreconjecture en utilisan tun raisonnemen tpar r ecurrence.1 Matrices : un calcul de puissances a l'aide d'une decomposition

On considere la matriceA=0

@1 0 0 111

1 4 31

A 1. (a)

D eterminerla matrice Jtelle queA=I3+J.

(b) D emontrerque p ourtout en tiernavecn>3, on a :Jn= 03. 2. D emontrerp arr ecurrenceque p ourtout en tiern>1, on a : A n=I3+nJ+n(n1)2 J2 3. En d eduirela matrice Anen fonction denpour tout entiern>1.Matrices : un calcul de puissances

On considere les matricesA=0

@1 0 0 8 08

9 0 81

A ,P=0 @1 0 0 0 11

1 0 11

A etQ=0 @1 0 0 1 1 1

1 0 11

A 1. V erierque les matrices PetQsont inverses l'une de l'autre. 2.

On d enitla matrice B=QAP.

CalculerBet exprimer pournentier naturel non nulBnen fonction den. 3. (a) Mon trerque p ourtout en tiernaturel non n uln, on a :An=PBnQ. (b)

Calculer Anpour tout entier naturel non nuln.2

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