Examen du baccalauréat Session de contrôle Session de Juin 2015 PDF

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Examen du baccalauréat Session de contrôle

Session de Juin 2015

Section : Sciences techniques

Épreuve : Mathématiques

Exercice 1

I) II) III)

1) 2) a b b c

Exercice 2

Les points

A(4,0,0) ; B(0,4,0) et C(0,0,4).

1)a)

4 4 16

AB 4 ; AC 0 AB AC 16 .

0 4 16

AB AC 0,

AB et AC

ne sont pas colinéaires, donc les points A, B et C ne sont pas alignés. Par conséquent les points A, B et C déterminent un plan P.

Un vecteur normal à ce plan est

AB AC 16 ,

16 ion du plan P est de la forme

16x 16y 16z c 0.

A(4,0,0) P, d'où 16 4 16 0 16 0 c 0, donc c 64.

P: 16x 16y 16z 48 0.

Ainsi

P: x y z 4 0.

2 2 2 21 1 1AB AC 16 16 16 3 16 8 3.2 2 2

2)a) 8 4 4 3 3 3

4 4 4 4 8 4G( , , ) ; GA ; GB ; GC .3 3 3 3 3 3

4 4 8 3 3 3

Il est clair que

GA GB GC 0.

b) Le vecteur 4 3 4OG3 4 3 est colinéaire au vecteur 1 n1 1 normal au plan P, or le plan P est le plan (ABC). Donc la droite (OG) est perpendiculaire au plan (ABC) en G. Ainsi @OG est la hauteur issue de O du tétraèdre OABC.

3) I, J et K les milieux respectifs des segments

@>@>@,eAC ABtBC. a) En appliquant le théorème des milieux dans le triangle ABC, on a : (KI) est parallèle à (AB) et

1KI AB,2

en prenant compte du sens on a

1KI BA.2

De même on a

1KJ CA.2

1 1 1 1KI KJ BA CA BA CA AB AC.2 2 4 4

Remarque : On pourra utiliser les coordonnées pour établir les relations.

1b)L'airedutriangleIJK KI KJ2

1 1 1 1AB AC AB AC2 4 4 2

11airedutriangleABC 8 3 2 3.44

4) V et respectivement, les volumes des tétraèdres OABC et OIJK.

On peut remarquer que G est aussi le centre de gravité du triangle IJK et que @OG est la hauteur issue de O du tétraèdre OIJK.

1V (airedutriangleABC) OG3

14 airedutriangleIJK OG 4V'3

1D'où V' V.4

u u u

Exercice 3

Soit f la fonction définie sur Թ par xf(x) (1 x)e . x xx x x x x x x x x x x

1)a) lim f(x) lim (1 x)e .

lim f(x) lim (1 x)e lim e xe 0,car lim e 0 et lim xe 0. of of of of of b) x x x x x f(x) (1 x)e 1lim lim lim ( 1)e .x x x f On a xx f(x)lim f(x) et lim ,x f admet une (O,j) au voisinage de (+λ). 2)a) xf(x) (1 x)e ,x .

On a f est dérivable sur

x x x x xf '(x) (1 x)'e (1 x)e e (1 x)e xe , x . b) xf '(x) 0 xe 0 x 0.

Le tableau de variation de f :

c) 3)a)

2x x x x xe f(x) f '(x)f(x) e f '(x) f(x) e xe f(x) (1 x)e f(x)f(x)f(x) f(x) . quotesdbs_dbs2.pdfusesText_2

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