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Inverse d'une matrice carree - Exercices
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jaicomp ris.com1.Mon trerque les matrices A et B son tin versesl'une de l'autre. A =0 B @1 2 341C
AB =12
0 B @42 3 11 C A 2. Quelle sv aleursfaut-il donner aux r eelscetdde facon a ce que C et D soient inverses? C =0 BBBB@c2 3
0 1 45 6 01
CCCCAD =0
BBBB@24 18 5
20154d4 11 C
CCCAMontrer que la matrice A =
0 B @2 4 3 61 CAn'est pas inversible (sans utiliser le determinant).On considere deux matrices carrees A et B de m^eme ordre et inversibles.
Montrer que le produit AB est inversible et donner son inverse en fonction de A1et B1.Soit A une matrice carree telle que A
2= 0. 1. A l'aide d'un raisonnement par l'absurde, montrer que A n'est pas inversible. 2.Mon trer,en rev anche,que I + A est in versible(I d esignantla matrice iden titede m ^emeordre que A). Demontrer que si une matrice est inversible alors son inverse est unique.
Soit A une matrice carree dierente de la matrice unite, montrer en utilisant un raisonnement par l'absurde
que si A verie A2= A alors A n'est pas inversible.On considere la matrice A =
0 B @12 3 41 C A. 1.Calcul erA2, puis A23A + 2A2.
2. En d eduireque la matrice A est in versibleet donner son in verse.1On considere les matrices A =
0 B @a b c d1 CAet B =0
B @db c a1 CAoua,b,cetdsont des reels.
1.Justier que A B = (adbc)I2.
2. (a) Mon trerque si adbc6= 0, la matriceAest inversible et preciser l'inverse de A. (b) R eciproquement,mon trerque si Aest inversible alorsadbc6= 0. 3.On consid erela matrice C =
0 B @4 3 6 51 CAet la matrice D =0
B @32 961C A.
C est-elle inversible? Si oui, donner C
1. M^eme question pour D.On souhaite resoudre le systeme (S) :8
>>>>>:x2y2z= 32x+y+ 2z=2
2x+z= 1oux,yetzsont des reels.
On pose : X =
0 B BBB@x y z1 CCCCAet B =0
B BBB@3 2 11 C CCCA. 1. D eterminerle mat riceA telle q uele syst eme( S) soit equivalent a l'equation AX = B d'inconnue X. 2.V erierque A a p ourin versela matrice
0 BBBB@1 22
2 56 24 51C CCCA. 3.
R esoudrele syst eme( S).2
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