Etude doptimisation dune aire marine gérée à léchelle de la ZEE
Jan 28 2018 Les années 2000 ont vu l'émergence d'une nouvelle forme d'AMP (Wilhelm et al.
Etude doptimisation dune aire marine gérée à léchelle de la ZEE
Etude d'optimisation d'une aire marine gérée à l'échelle de la ZEE polynésienne. Revue documentaire sur les aires marines protégées. Novembre 2016
Optimisation dune aire dans un tétraèdre Sommaire (liens internes
Optimisation d'une aire dans un tétraèdre. Sommaire (liens internes au document) : 1 Fiche résumé. 2. 2 Fiche professeur. 3. 2.1 Analysemathématique .
Boîte à outils doptimisation économique et touristique du marché du
majeur ou d'événement aire existante
Etude doptimisation dune aire marine gérée à léchelle de la ZEE
Jan 28 2018 Etude d'optimisation d'une aire marine gérée à l'échelle de la ZEE polynésienne : revue documentaire sur les aires marines protégées.
La raclette
Optimisation d'une aire. 1) Objectifs. • Mathématiques : Recherche d'un maximum d'une fonction. • TICE : Niveau seconde : Activité simple pour une
Thème 17: Optimisation
Exprimez la quantité Q à optimiser (une aire un volume
Optimisation de laire dun triangle
Optimisation de l'aire d'un triangle. Fiche professeur. I. Présentation de l'activité. On considère la figure ci-contre avec : OO? = 14 cm ;.
Probl`emes doptimisation
Question 4. Déterminer la valeur de x o`u un rectangle inscrit entre la courbe d'équation y = (x ? 5)2 et les axes de coordonnées a une aire maximum.
Analyse II
b) Pour quel point Ppx;yq de la parabole l'aire du rectangle grisé est-elle maximale ? 0 ? x ? 2 c) Calculer l'aire maximale du rectangle grisé. Exercice 7.11:
Question 1
Quelles sont les dimensions du rectangle d"aire maximale dont le p´erim`etre est de 36m.
Question 2
Trouver deux nombresxetytels quex+yest minimum et
xy=3.Question 3
D ´eterminer le plus grand produit possible de deux nombresxety tels que 2x+3y=1.Question 4
D ´eterminer la valeur dexo`u un rectangle inscrit entre la courbe d" ´equationy=(x5)2et les axes de coordonn´ees a une aire maximum.5A(x)xy xyQuestion 5
D ´eterminer la valeur dexo`u un rectangle inscrit entre la courbe d" ´equationy=4x2et la partie positive des axes de coordonn´ees a une aire maximum.A(x)xy xyQuestion 6
Quelles sont les dimensions (rayon et hauteur) d"un cylindre d"aire minimale et de volume 1024?Question 7 Suite `a une´etude, on d´etermine que la probabilit´e de gu´erison Pd"une maladie grave d´epend de la dose administr´eex(en grammes) d"un m´edicament par la fonction
P(x)=3px
4(x+1):
Quelle quantit
´e de ce m´edicament donne`a un patient la plus grande probabilit´e de gu´erir?
Question 8
On sait que la r
´esistance d"une poutre est proportionnelle au pro- duit de sa base et du carr´e de sa hauteur. Quelle sont les dimen-
sions de la poutre la plus r´esistante que l"on peut tailler d"un tronc
d"arbre de 30cm de diam `etre?Question 9 On veut imprimer sur une feuille de papier dont l"aire est de 2m 2 en laissant des marges de 10cm en haut et en bas et de 8cm sur les c ˆot´es. Quelles seront les dimensions de cette feuille pour que la surface imprim´ee soit maximale?
Question 10
Une entreprise a d
´etermin´e que le nombrexd"unit´es vendues chaque jour d´epend du prix de venteppar la fonction
x(p)=1000p: Le coˆut de production dexunit´es est de
C(x)=3000+20x:
a) Exprimer le re venuR(x) de l"entreprise en fonction du nombre d"unit´es venduesx.
b) Exprimer le profit P(x) de l"entreprise en fonction du nombre d"unit´es venduesx.
c)Si la capacit
´e maximale de production de l"entreprise est de1000 unit
´es par jour. Combien d"unit´es doit-elle produire pour maximiser son profit? d)Quel est le profit maximal de l"entreprise ?
e) `A quel prix doit-elle vendre chaque unit´e pour maximiser son profit? 1Question 11
On veut couper une corde de 200cm en deux. L"une des deux parties servira `a former un carr´e et l"autre,`a former un cercle. a) `A quelle longueur doit-on couper la corde pour que la somme des surfaces des figures soit maximale? b) `A quelle longueur doit-on couper la corde pour que la somme des surfaces des figures soit minimale?Question 12
On peut fabriquer une bo
ˆıte sans couvercle en enlevant un carr´e de chaque coin d"une feuille de carton rectangulaire de dimensions24cm par 45cm, puis en repliant chaque c
ˆot´e. Quelle devraitˆetre
la mesure du c ˆot´e de ce carr´e pour que la boˆıte ait un volume maximal?Question 13 Une compagnie fabriquant des petits pingouins de plastique es- time que le co ˆut (en $) pour fabriquerxpingouins de plastique est donn´e par
C(x)=6300+10x+x228
En divisant ce co
ˆut parx, on obtient le coˆut unitaire de produc- tion. Combien de pingouins de plastique la compagnie doit-elle produire pour minimiser ce coˆut unitaire?
Question 14
On forme un c
ˆone en supprimant un secteur d"un disque de rayon egal`a 20cm. Quelle hauteur a le cˆone de volume maximal ainsi form´e?Question 15
Une entreprise vend un produit 100$ l"unit
´e. Le coˆut total (en $)
de production quotidienne dexunit´es est deC(x)=100000+50x+x2400
a)Combien d"unit
´es doit-elle produire chaque jour pour´eviter les pertes? b)Si l"usine a une capacit
´e de production de 7000 unit´es par
jour et qu"elle vend toutes les unit´es qu"elle produit, combien
d"unit ´es doit-elle produire par jour afin de maximiser son pro- fit.c)Si l"entreprise d ´ecide d"investir pour augmenter sa capacit´e de production (agrandissement, machinerie, employ´es...),`a quel
niveau (en unit´es par jour) devrait-elle le faire?
Question 16
On veut passer un fil
´electrique entre le pointAet le pointB. La
r ´ealisation de ce projet implique un coˆut 800$=kmle long d"une route existante et de 1200 $=kmautrement. Trouver la position du pointPpour que le coˆut soit minimal.Question 17 Trouver les dimensions du rectangle d"aire maximale que l"on peut inscrire entre l"axe desx, l"axe desyet la courbe d"´equation (x9)2.Question 18Trouver le point de la courbe def(x)=x+1px
le plus pr`es du point (1;0).Question 19
Le propri
´etaire d"un immeuble de 30 logements a d´etermin´e que si le loyer est de 600$, tous ses logements sont occup´es et que
chaque augmentation de 25$ entraˆınera la perte d"un locataire.
Quel doit
ˆetre le prix du loyer pour que le propri´etaire ait un re- venu de location maximal?Question 20
Dans le contexte du probl
`eme pr´ec´edant, consid´erons que chaque logement entra ˆıne des d´epenses de 40$ par mois s"il est inoccup´e et de 90$ par mois s"il est occup´e. Quel doitˆetre le prix du loyer
pour que le propri´etaire maximise son profit?
Exercices r
´ecapitulatifs
Question 21
R ´epondre aux questions suivante sur le graphique de la fonction fdonn´e ci-dessous.2 a)T rouverles v aleursde xo`ufa un minimum relatif. b)T rouverles v aleursde xo`ufa un maximum relatif.
c) T rouverles v aleursde xo`ufa un point d"inflexion.i d) T rouverles v aleursde xo`ufn"est pas d´erivable. e) Quel est le maximum absolu sur l"interv alle[0 ;x6[? f) Quel est le minimum absolu sur l"interv alle[ x2;x5]? g) Quels sont les e xtremumsabsolus sur l"interv alle[ x1;x7]?Question 22
Sur quel(s) intervalle(s) les fonction suivantes sont-elles crois- sante? a)y=2x3+3x236x+1 b)y=2x2+x+8x c)y=87xx 21d)y=x24 4=5
Question 23
Sur quel(s) intervalle(s) la fonction donn
´ee est-elle concave vers
le bas? a)f(x)=(14x)3 b)f(x)=(x1)2(x+1)2 c)f(x)=xp2x2Question 24
Une compagnie lance sur le march
´e un nouveau mod`ele de cure-
dents r ´evolutionnaires. Une´etude de march´e r´ev`ele que le profit mensuelPde la compagnie d´epend du prix de vente fix´expar la fonctionP(x)=400x3380x2+5600x:
Quel prix maximise ce profit?
Question 25
Trouver les dimensions du rectangle de p
´erim`etre maximal que
l"on peut inscrire dans un cercle dont le rayon est de 10m.Question 26
On veut fabriquer une bo
ˆıte`a base carr´ee, avec un couvercle. Les mat ´eriaux utilis´es coˆutent 0,03$ par cm2pour le fond, 0,05$ par cm2pour le couvercle et 0,02$ pour les cˆot´es. Si la boˆıte doit
co ˆuter 24$, quelles doiventˆetre ses dimensions pour que son vo- lume soit maximal?Question 27 Trouver les dimensions du triangle rectangle d"aire maximale que l"on peut inscrire sous la courbe dey=12xx2?Question 28Soit la fonction
f(x)=1px Trouver le pointPsur la courbe de cette fonction qui minimise la pente d"une droite passant par ce pointPet le point (0;1).Question 29
Trouver le pointPde la courbe d"´equation
f(x)=(x3)2 tel que le triangle rectangle d´elimit´e par l"axe desx, l"axe desyet
la droite tangente `a la courbe au pointPsoit d"aire maximale.Question 30Vrai ou faux. Trouver un contre-exemple si l"
´enonc´e est faux.
a) Si fetgsont croissantes sur un intervalle, alorsf+gl"est egalement. b) Si fetgsont croissantes sur un intervalle, alorsfgl"est egalement. c) Si fetgsont concaves vers le haut sur un intervalle, alorsf+g l"est´egalement.
d) Si fetgsont concaves vers le haut sur un intervalle, alorsfg l"est´egalement.
Question 31
Soit un polyn
ˆome de degr´e troisy=ax3+bx2+cx+d.
a)Montrer que ce polyn
ˆome ne poss`ede qu"un seul point d"in-
flexion. b)Montrer que si ce polyn
ˆome a 3 z´eros, alors la coordonn´ee
enxde ce point d"inflexion correspond`a la moyenne des 3 z´eros.
c) T rouverle point d"infle xionde y=x33x2+2xen utilisant d"abord le r ´esultat montr´e en b), puis`a l"aide de la d´eriv´ee seconde. 3Solutions
Question 1
9m par 9m.
Question 2
OptimiserS(x)=x+3x
.S0(x)=3x2+1. Va-
leurs critiques :x=p3. Avec le test de la d´eriv´ee
seconde, on trouve un minimum enx=p3 et un maximum enx=p3. Les nombres cherch´es sont
doncx=p3 ety=3p3 =1p3Question 3
On doit maximiser le produitxy. Comme 2x+
3y=1, on a quey=12x3
, on a que le produit estP(x)=xy=x 12x3
= x2x23On optimiseP(x) :
P0(x)=13
4x3 P0(x)=0()13
4x3 =0()x=14 On v ´erifie que c"est bien un maximum`a l"aide de la d´eriv´ee seconde :
P00(x)=43
<0; on a bien un maximum enx=14 . Le produit maxi- mum est donc P 14 =124Question 4
On commence par exprimer la valeurA(x)`a
maximiser en fonction dex. Comme l"aire du rec- tangle estxyet quey=(x5)2, on aA(x)=xy=x(x5)2:
A la valeur maximum de la fonctionA(x), la pente`a la fonctionA(x) doitˆetre nulle. A0(x)=x(x5)20
x(x210x+25)0 x310x2+25x0 =3x220x+25 =(3x5)(x5)On trouve les z
´eros deA0(x) :
(3x5)(x5)=0()x=5 oux=5=3:Comme la solutionx=0 correspond au sommet de la
parabole d"´equationy=(x5)2, cette solution corres-
pond `a un rectangle d"aire nulle qui n"est´evidemment enx=5=3.Question 5On commence par exprimer la valeurA(x)`a
maximiser en fonction dex. Comme l"aire du rec- tangle estxyet quey=4x2, on aA(x)=xy=x(4x2):
A la valeur maximum de la fonctionA(x), la pente`a la fonctionA(x) doitˆetre nulle. A0(x)=x(4x2)0
4xx30 =43x2 =(2p3x)(2+p3x) Les z´eros deA0(x) sontx=2p3
Comme on a prix
x0, l"aire maximum est dont atteinte enx=2p3Question 6
A=2r2+2rh, contrainte :V=r2h=1024,
doncA(r)=2r2+2r 1024r2!
=2r2+2048rOn optimiseA(r) :
A0(r)=4r2048r
2 A0(r)=0()4r2048r
2=0()r=8:
On utilise le test de la d
´eriv´ee seconde :
A00(r)=4+(2)2048r
3 A00(8)=4+(2)20488
3=12 >0
On a bien un minimum.
Si le rayon est 8, la hauteur est de 16 (utiliser la contrainte).Question 7
1g, pour une probabilit
´e de 3=8.
Question 8
Si base=xet hauteur=h, alors la r´esistance est donn´ee par
R=Kxh2
o `uKest la constante de proportionnalit´e.Par Pythagore, comme la diagonale de la poutre
co¨ıncide avec le diam`etre, on doit avoir
x2+h2=302;
donc, en isolanth h=p30 2x2:En substituant dansR, on trouve que
R=Kx(302x2)=302KxKx3:
La d´eriv´ee est
dRdx =302K3Kx2:La d´eriv´ee s"annule si
x=10p3: On v´erifie que l"on a bien un maximum : la
d´eriv´ee seconde est
d 2Rdx2=6Kx:
Comme la d
´eriv´ee seconde trouv´ee est n´egative six est positif, on a bien un maximum par le test de la d´eriv´ee seconde.
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