SECOND DEGRÉ (Partie 1)
la représentation graphique d'une fonction polynôme de degré 2 est une parabole. M est le sommet de la parabole. Il correspond au maximum (ou au minimum) de
FONCTIONS POLYNÔMES DE DEGRÉ DEUX
min x = ? b. 2a minimum a < 0 x ??. ? b. 2a. +?. Max f. ?. ?. ??. ?? x = ? b. 2a. Maximum. Dans un repère (O;.
SECOND DEGRÉ (Partie 1)
la représentation graphique d'une fonction polynôme de degré 2 est une parabole. M est le sommet de la parabole. Il correspond au maximum (ou au minimum) de
LA DÉRIVÉE SECONDE
La rubrique précédente nous a permis d'analyser une fonction par sa dérivée première. Les points stationnaires critiques
Chapitre 3 Dérivabilité des fonctions réelles
une fonction polynôme est dérivable sur R et sa dérivée est un polynôme. On dit que f admet un minimum local en x0 si ?f admet un maximum local en x0.
G. VALIRON - Sur le maximum et le minimum des fonctions de deux
<fi(x y) étant un polynôme homogène de degré i à coefficients numériques
FONCTIONS POLYNOMES DU SECOND DEGRE
Le point de la courbe qui correspond au maximum ou au minimum est appelé le sommet de la parabole. Exemple : La fonction f définie sur ? par.
ficall.pdf
49 120.02 Maximum minimum
FONCTIONS POLYNÔMES DE DEGRÉ 3
Les coefficients et sont des réels donnés avec ?0. Partie 2 : Représentation graphique. Propriétés : Soit une fonction polynôme de degré 3 telle
Première S - Extremums dune fonction
est le maximum de sur D si et seulement si On appelle extremum de sur D son maximum ou son minimum ... est dérivable sur I (fonction polynôme ).
Extremums d'une fonction
I) Définitions (rappels de seconde : voir la fiche de cours correspondante) Soit ࢌ une fonction définie sur un ensemble D inclus dans , et ࡹ deux réels. • On appelle extremum de ࢌsur D son maximum ou son minimum (s'il existe). • Si ou ࡹ est un extremum de ࢌ sur un intervalle I ouvert inclus dans D, on dit que ou ࡹ est un extremum local de ࢌ sur DExemples
1°)
La figure ci-dessus est la représentation graphique d'une fonction ݂ définie sur l'intervalle
D = [-0,5 ; 4,5 ]
Sur I = ] 0 ; 4 [ intervalle ouvert contenu dans D, ݂admet un minimum local2°)
La figure ci-dessus est la représentation graphique d'une fonction ݂ définie sur l'ensembleD = ] - ; 2 [
Sur D, ݂ admet ni minimum, ni maximum.
II) Extremums et dérivée
Propriété :
Si une fonction ࢌ, dérivable sur un intervalle I, admet un extremum en ࢻ sur I et si ࢻ n'est pas une borne de I alors ࢌԢ(ࢻ) = 0Démonstration :
Supposons que ݂ admette un maximum en ߙ, ߙ݂sur J.
00 et les rapports
que 0.Démonstration analogue pour un minimum.
Attention :
que ࢌadmet un extremum en ࢻ. ( Voir exemple ci-dessous)Exemple :
définie et dérivable sur Թ est strictement croissante sur Թ et s'annule en ݔ ൌ Ͳsans que la fonction ait d'extremum en ce point.En revanche :
si ࢌǯs'annule en changeant de signe en un réel ࢻ, ࢻ n'étant pas une borne de I,
alors ࢌ admet un extremum local en ࢻpuisque ࢌ est : • Soit croissante avant ࢻ et décroissante après (maximum local en ࢻ) • Soit décroissante avant ࢻ et croissante après (minimum local en ࢻ)Exemples :
݂est dérivable sur I (fonction polynôme ) dont la représentation graphique est : Graphiquement on conjecture que ݂ admet un maximum en ݔ = 1 et un minimum en ݔ = 3 (ces points n'étant pas des bornes de l'intervalle de définition). Montrons que la dérivée݂ǯ s'annule en ݔ = 1 et en ݔ = 3La propriété est bien vérifiée.
2) Exemple montrant la nécessité de l'hypothèse " Į n'est pas une borne de
l'intervalle I » ݂ est dérivable sur I (fonction polynôme ) dont la représentation graphique est : ݂ admet un minimum en 0 et un maximum en 3 qui sont les bornes d' l'intervalle de définition.3) Exemple montrant que la réciproque est fausse
x 4 - 12 x 2 + 12 = 0 et pourtant ݔ = 2 n'est pas un extremum de ݂4) En lisant un tableau de variation
tableau de variation.ݔ - 4 0 2 6
Variations de
5 3
െͳ 1La lecture de ce tableau nous permet d'affirmer :
[2 ; 6].III) Etude d'une fonction
E 7 F 9quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47[PDF] maxwell equation in differential form
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