MECANIQUE DES FLUIDES. Cours et exercices corrigés
Chapitre 1 : Introduction à la mécanique des fluides. Notions de mécanique des fluides. Cours et exercices corrigés. Auteur : Riadh BEN HAMOUDA.
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J.ROUSSEL
www.almohandiss.com 2 cJimmyRousselwww.almohandiss.com
www.almohandiss.comTabledesmatières
1Cinématiquedesfluides5
2DynamiquedesfluidesNewtoniens15
3Fluidesenéquilibre25
5Écoulementsvisqueux43
3www.almohandiss.com
www.almohandiss.com4Tabledesmatières
6Phénomènesdetensiondesurface49
AFormulairemathématique57
DDiagrammedeMoody69
cJimmyRousselwww.almohandiss.com
www.almohandiss.comChapitre1
Cinématiquedes¯uides
sablesdecetécoulement.1.1L'état¯uide
1.1.1Propriétésd'un¯uide
Approximation:constante
T=1 V@V@P T=1 @@P T0Pa1 =1 V@V@T P=1 @@T P0K1 passeparunetransitiondephase).5www.almohandiss.com
www.almohandiss.com6Chapitre1.Cinématiquedesfluides
uncoefficientdedilatationtrèsfaible(1 parfait,ona:Approximationdugazparfait:T=1P
c'estlecasdescristauxliquidesparexemple. desliquides.1.1.2Lemodèlecontinu
parled'échellemésoscopique.LamassevolumiquelocaleenM:(M;t)=m
dans,àl'instantt. dansàl'instantt. cJimmyRousselwww.almohandiss.com
www.almohandiss.com1.2.Descriptiond'unfluide7
l lÉchelle microscopique
Monde fluctuant et aléatoireN molécules
Échelle mésoscopique
lissage des fluctuations par un effet de moyenne locale L >> v(M,t)M (M,t) mparticule de fluideFluidea >>
FIG.1.1-Modèlecontinudufluide.
cules,ions,...).Remarques:
uidemaislamoyennede K n= L1 conceptsdephysiquestatistique.1.2Descriptiond'un¯uide
1.2.1DescriptiondeLagrange
www.almohandiss.com8Chapitre1.Cinématiquedesfluides
xu zuyu x0y0z0 O xyzTrajectoire
M(x,y,z) à l'instant tM( , , )
0 instant t (a)Visualisationdelatrajectoiresdespar- ticulesautourd'unobstacle 8 :x=x(x0;y0;z0;t) y=y(x0;y0;z0;t) z=z(x0;y0;z0;t)Lavitessedelaparticules'écrit:
!v(P)=0 B @v x v y v z1 C A=0 B @@x @t@y @t @z @t1 C A avecunlongtempspose(cf.figure1.2).1.2.2Descriptiond'Euler
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www.almohandiss.com1.2.Descriptiond'unfluide9
équationsdifférentiellessuivantes:
dx vx=dyvy=dzvzDescriptiond'Euler=>Lignedecourant
y xM (x , y , z , t) 111M (x , y , z , t)
222Lignes d'écoulement
à l'instant t
(a)Ligned'écoulement(effetMagnus). (b)Visualisationdeslignesdecourantau- tourd'undisqueFIG.1.3-Notiondelignedecourant.
1.2.3Régimesd'écoulement
@t=!0.Attention www.almohandiss.com10Chapitre1.Cinématiquedesfluides
courantsn'évoluentpasaucoursdutemps. complexeetchaotique. defluideP:8 :x=x(x0;y0;z0;t) y=y(x0;y0;z0;t) z=z(x0;y0;z0;t) !a(P)=0 B @a x a y a z1 C A=0 B 2x @t2 2y @t2 2z @t21 C A champdesvitesses. s'écrit t=d!vdt ensuivantlaparticule=D!v DtOù,
D!v a x=@vx cJimmyRousselwww.almohandiss.com
www.almohandiss.com1.3.Conservationdelamasse11
defaçoncompacteonaàsavariationtemporellepar:
DGDt=@G@t+(!v:!r)G
1.3Conservationdelamasse
1.3.1Vecteurdensitédematière
dt.Onadonc dm=dtdS!v:!n a vdt vn v dS a volume : dS.v.dt.cos( )FIG.1.4-Calculdudébit.
www.almohandiss.com12Chapitre1.Cinématiquedesfluides
(unité:kg:s1): Q m=ZZ (S)dm dt=ZZ (S)!v:!ndSPourunesurfacefermée:
Q sortie m=I (S)!v:dS!n oùQsortie tique). unitédetemps(unité:m3:s1): Q V=ZZ1 dmdt=ZZ (S)!vdS!n !j=!vRemarques:
1.3.2Équationdecontinuité.
tiondecontinuité».M(t)=ZZZ
(V)(x;y;z;t)dxdydz dM(t) dt=ZZZ (V)@@tdxdydz=ZZ (S)!vdS!n cJimmyRousselwww.almohandiss.com
www.almohandiss.com1.3.Conservationdelamasse13
Lignes de courant
v (S) n dSFIG.1.5-Conservationdelamasse.
ZZZ (V)(div(!v)+@ @t)dxdydz=08V d'oùl'équationdecontinuité:Équationdecontinuité:div(!v)+@@t=0
1.3.3Casdes¯uidesincompressibles
cegaz. div !v=0)I (S)!vdS!n=0 lavitesseestàfluxconservatif.Conséquences:
Q ventrant=Qvsortant www.almohandiss.com14Chapitre1.Cinématiquedesfluides
Débit massique entrant = débit massique sortant2 uu1 (S )Tube de courant 1 (S ) 2 v=1SZZ!v:!udS
Onobtient
v1S1=v2S2 delavitessemoyenne. cJimmyRousselwww.almohandiss.com
www.almohandiss.comChapitre2
Dynamiquedes¯uidesNewtoniens
2.1Bilandesforces
Ondistinguedeuxtypesdeforces:
forcesdesurface.2.1.1Forcesdepression
dSdésignelacontrainte.Onadmettraque:
d !Fn=P(M):dS:!n où15www.almohandiss.com
www.almohandiss.com dF dF dF aire dS 1 223 aire dS
3aire dS1
pressionprendlamêmevaleur. valeur.Pascal(pa).
1Pa=1N:m2
UnitéÉquivalenceenpascal
Bar1bar=105Pa
atmosphère(atm)1atm=1;013105Pa torr(mmHg)1torr=1mmHg=133;3PaTAB.2.1-Unitésdepression.
voisinesdelasurface.ApproximationdesGazParfaits:PnRTV
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www.almohandiss.com2.1.Bilandesforces17
1300atm!
yz xP(x,y+dy/2,z)P(x,y-dy/2,z)P(x,y,z+dz/2)
P(x,y,z-dz/2)M(x,y,z)
Parallèlépipède de volume dxdydz
quedelacoordonnéey. cettecomposante: F y=dxdz[P(x;ydy2;z)P(x;y+dy2;z)]
F y=dxdz[P(x;y;z)dy !F=Fx!ux+Fy!uy+Fz!uz=!rPd miquedepressionForcevolumiquedepression:!fp=!rP
www.almohandiss.comV!fpd.
2.1.3Notiondeviscosité
wFil de torsionFluide visqueux
aFIG.2.3-ExpériencedeCouette.
Ontrouve
/v e cJimmyRousselwww.almohandiss.com
www.almohandiss.com2.1.Bilandesforces19
surunélémentdesurfacedSs'écrit: y xvitesses profil desécoulement laminaire
dv dyt = hyxt = -yyP contrainte normalecontrainte tangentielleFluide(20C,1atm)Viscosité(Pa.s.)
Eau(liq)1;006103
Huilemoteur(liq)0;3
Glycérinepure(liq)0,8
Mercure(liq)1;56:103
vapeurd'eau(gaz)9;7:106Airsec(gaz)18;2:106
TAB.2.2-Quelquesvaleursdeviscosités.
/p www.almohandiss.com cisaillement. généraliseronslerésultat. y xvitesses profil desM(x,y,z)
(y+dy)t t(y) !dF=@v @y(y+dy)@v@y(y) dxdz!ux=@2v@y2d!ux cetteformulesegénéralise: !4A=4Ax!ux+4Ay!uy+4Az!uz pluscomplexe. cJimmyRousselwww.almohandiss.com
www.almohandiss.com2.2.L'équationdeNavier-Stokes.21
2.1.5Forcesextérieures
!dF=!fextd ^!v)2.2L'équationdeNavier-Stokes.
2.2.1L'équationdeNavier-Stokes.
Dynamique:
dm D!vDt=!rPd+!fextd+!4vd
D!vDt=!rP+!fext+!4v
Distinguonsdeuxcas:
lefluideestincompressible(constante): www.almohandiss.com continuitédiv(!v)+@ grosordinateurs...2.2.3Approximations
(!v!r)!v !v v2 d v=vd=Re typesd'écoulements: (@!v @t+(!v:!r)!v)=!rP+!fext cJimmyRousselwww.almohandiss.com
www.almohandiss.com2.3.Conditionsauxlimites23
visqueux.L'équationdevient @!v @t=!rP+!fext+!4v2.3Conditionsauxlimites
2.3.1Écoulementparfait
d'uneinterface.2.3.2Écoulementvisqueux
uneinterfaceliquidesolide) www.almohandiss.com cJimmyRousselwww.almohandiss.com
www.almohandiss.comChapitre3
Fluidesenéquilibre
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