Mémoire de Master 2 MODÉLISATION MULTI-VOIES DU TRAFIC PDF

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Modélisation dynamique de lécoulement du trafic routier : du

Une autre façon de voir le trafic est de le considérer comme un flux par analogie avec la mécanique des fluides. Il s'agit de la vision macroscopique.

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Modélisation du trafic routier Le modèle de Lighthill-Whitham-Richards

Modélisation du trafic routier le trafic routier. ... et pour cela nous utiliserons des équations issues de la mécanique des fluides.

Modèles hétérogènes en mécanique des fluides : phénomènes de

8 juil. 2016 Obtention de bouchons stationnaires en trafic routier . ... thématiques de la mécanique des fluides dans laquelle cette thèse s'inscrit et ...

PSI Physique

1) Expliquer brièvement à quoi correspond le « modèle continu » en mécanique des fluides. Transposer ce modèle à l'étude du trafic routier. On se place dans ce

Modélisation dynamique de lécoulement du trafic routier : du

Comme en mécanique des fluides les modèles d'écoulement du trafic sont séparés en deux grandes catégories : les modèles microscopiques et les modèles

De la modélisation à la simulation numérique - Illustration sur un

23 janv. 2007 Exemples en mécanique des fluides. Echelle moléculaire. Zones hautes de l'atmosph`ere. ... Une modélisation du trafic routier. Cadre général.

Mémoire de Master 2

Université de Nice Sophia-Antipolis

Parc Valrose,

06 108 Nice Cedex 2, FranceMODÉLISATION MULTI-VOIES

DU TRAFIC ROUTIERAuteur :

BastienPolizziSous la direction de :

MagaliRibot

FlorentBerthelin

14 juin 2013

.Je tiens tout particulièrement à remercier Mme Ribot qui a encadré la partie numérique de mon stage.

Ses encouragements, la pertinence de ses remarques et la richesse de ses connaissances m"ont été d"une aide

précieuse. Je tiens également à remercier sincèrement M Berthelin qui a supervisé la partie modélisation

de ce stage. Ses conseils avisés et la clarté de ses explications m"ont permis de gagner un temps précieux.

Je tiens aussi à les remercier pour le temps qu"ils m"ont consacré et la patience dont ils ont fait preuve

tout au long de cet accompagnement.

Je voudrais également remercier M Goudon et Mme Kozinski qui m"ont aidé dans toutes mes démarches

administratives auprès de l"INRIA.

Un grand merci également à l"ensemble des professeurs qui m"ont donné le goût des mathématiques et

me les ont enseignées.

Table des matières

I Présentation des modèles

II Étude du modèle à une voie

3 II.A Existence de solution de type bouchons collants 3 II.B Lemme d"approximation et lemme de compacité 7

II.C Existence et propriétés des solutions

III Étude du modèle multi-voies

13 III.A Solutions de type bouchons collants pour le modèle multi-voies 13 III.B Variantes pour les lemmes d"approximations et de compacité : 17 III.C Existence de solutions faibles au problème ( I.7 18 IV Étude des schémas numériques pour un système d"Euler avec congestion 21
IV.A Présentation du problème et du schéma numérique 21

IV.B Schéma semi-implicite en pression

23
IV.C Comparaison avec le schéma implicite en pression ( IV.4 24

IV.D Schéma en densité

IV.E Conclusion

V Perspectives

I)Présentation des modèlesLes modèles de trafic routier sont fortement inspirés des modèles de mécanique des fluides et peuvent

être principalement regroupés en trois catégories, qui sont les suivantes : les modèles cinétiques, les modèles

de type particules (par exemple : le modèle Follow-the-Leader) et les modèles de type dynamique des

fluides. Bien évidemment, ces différents modèles sont liés et on notera, entre autres, que les modèles de

type fluide sont issus des modèles de type particules. Les modèles de type mécanique des fluides décrivent

l"évolution dans le temps et l"espace de variables macroscopiques, telles que la vitesse ou la densité. Lorsque

ces quantités sont reliées par une équation de conservation telle que : tρ+∂xf(ρ) = 0(I.1)

oùρ(t,x)représente la densité de véhicules etf(ρ)le flux associé, on obtient un modèle du premier ordre.

Ceux-ci sont notamment dus à Lighthill-Whitham [ 9 ] et Richards [ 10

En prenantf(ρ) =ρuoùu(t,x)représente la vitesse des voitures et en ajoutant une seconde équation

de conservation du moment, on obtient le modèle de Aw-Rascle [ 1 ] donné par : tρ+∂x(ρu) = 0 (∂t+u∂x)(u+p(ρ)) = 0p(ρ) =ργ.(I.2)

Icipest la réserve de vitesse, par analogie avec la pression en mécanique des fluides. Ce modèle peut être

réécrit sous la forme conservative suivante :? tρ+∂x(ρu) = 0 t(ρ(u+p(ρ))) +∂x(ρu(u+p(ρ))) = 0p(ρ) =ργ.(I.3)

Toutefois, ce modèle admet des limites; par exemple, la conditionρ6ρ?, oùρ?représente la densité

maximale de voitures (situation où les voitures sont pare-chocs contre pare-chocs) n"est pas nécessairement

préservée.

Nous étudierons, dans un premier temps, les améliorations apportées par [4] qui consistent à redéfinir

la réserve de vitesse par p(ρ) =?1ρ -1ρ (γ >0).(I.4) 2 Mémoire de M2 Modélisation multi-voies du trafic routier

Ainsi,p≂ρ→0ργce qui lui confère le même comportement que pour le modèle deAw-Rascle(I.3) dansles zones de faible densité. Par contre, étant donné quelim

?p(ρ) = +∞, la densité maximale devient une

limite qui ne sera jamais atteinte. Finalement, on construit le modèle RMAR (Rescale Modified Aw-Rascle)

en changeantpenεp(ρε)et en prenant la limite formelle lorsqueε→0+; cette limite est notée¯p. On

obtient alors le système avec contraintes : tρ+∂x(ρu) = 0(I.5a) t(ρ(u+ ¯p)) +∂x(ρu(u+ ¯p)) = 0(I.5b)

06ρ6ρ?,¯p>0,(ρ?-ρ)¯p= 0.(I.5c)

Toutefois, le nombre de voies sur une route peut évoluer; aussi, [3] propose de prendre en compte ce

phénomène. Pour cela, on définitρ?par : ?(x) =M? j=0ρ ?j1]rj,rj+1[(x)(I.6)

où(rj)16j6Mest une suite croissante réelle etr0=-∞,rM+1= +∞. Ainsi, tout changement du nombre

de voies a lieu en un pointrj,j?[[1,M]]. Pour simplifier, on suppose que sur les sections à une voie la

densité maximale est de1et de2sur une section à deux voies. Le système(I.5)se note alors sous sa

forme conservative : tρ+∂x(ρu) = 0(I.7a) t(ρ(u+ ¯p)Iα) +∂x(ρu(u+ ¯p)Iα) = 0(I.7b)

06ρ6ρ?,¯p>0,(ρ?-ρ)¯p= 0(I.7c)

où la fonctionIαest définie par : I

α(x) =?

1siρ?(x) = 1

1/αsiρ?(x) = 2.(I.8)

Le paramètreαreprésente le changement de vitesse lors de la modification du nombre de voies, c"est-à-dire

qu"une voiture seule sur une route passerait d"une vitesseuà une vitesseαuen entrant dans une zone à

deux voies.

Enfin, l"un des objectifs de ce stage est de proposer un schéma numérique pour le système(I.5). Dans

ce but nous avons, entre autres étudié le schéma numérique proposé par [7] pour le système d"Euler avec

pression ( I.4 ) qui est plus connu et relativement proche du système ( I.5 La structure du mémoire sera la suivante : dans un premier temps, nous montrerons l"existence de

solution au problème(I.5)puis nous généraliserons ce résultat au modèle multi-voies donné par(I.7). Pour

finir, nous étudierons le schéma numérique proposé dans [7] pour le système d"Euler avec pression(I.4),

ainsi que quelques unes de ses variantes.

II)Étude du modèle à une voie

La preuve de l"existence de solutions pour le modèle à une voie se décompose en deux parties principales :

a) Existence de solutions p ourdes don néesinitiale sparticuliè res. b)

Utilisation de lemmes de compacité pour prouver l"existence de solutions pour des données initiales

quelconques. II.A)Existence de solution de type bouchons collants Dans cette partie, on considèreρ(t,x)etρ(t,x)u(t,x)définis par :

ρ(t,x) =N?

i=1ρ ?1ai(t)tels quea1(t)< b1(t)< a2(t)< b2(t)<···< bN(t). Le nombre de blocs est constant par morceaux et

dépend seulement det. De plus, tant que deux blocs n"entrent pas en collision, ils se déplacent à une

3 POLIZZI Bastien

Mémoire de M2 Modélisation multi-voies du trafic routiervitesse constanteui(t). Localement, lorsque deux blocs entrent en collision au tempst?et au pointx?la

densité est donnée par

ρ(t,x) =?

ρ?1al(t) ?1a(t) t?(II.1) et le flux est donné par
ρu(t,x) =?
ρ?ul1al(t) t?.(II.2)
Nous avons également
a l(t) =a?+ul(t-t?)bl(t) =x?+ul(t-t?)(II.3a) a r(t) =x?+ur(t-t?)br(t) =b?+ur(t-t?)(II.3b) a(t) =a?+ur(t-t?)b(t) =b?+ur(t-t?).(II.3c) Cette configuration est représentée sur la figure 1 ???.fi???? ???
F.
?.fi ? ???? ?? ??? ? ? ?.?P??? ? fi??? ?? ???? ???. P????:??? ??? , ?? ??? ???? ??? ???? ? ?.fi ??? ??? ???? ??Figure1 - Schéma de la collision de deux blocs (Modèle à une voie).
Théorème: II.1
Considérons la densité définie par(II.1), le flux défini par(II.2)et les conditions II.3 ).Il existe alors une fonction¯p(t,x)positive qui définit une solution de(I.5).
Preuve :
Notons, pour commencer, que tant qu"il n"y a pas de collision, chaque bloc se déplace à une
vitesse constanteuiet les quantitésρetusont alors solutions du système d"Euler sans pression1. On
peut donc prendre¯p(t,x) = 0.
Détaillons ce qui se passe dans le cas où deux blocs entrent en collision au tempst?et au pointx?.

Notons, au passage, que le cas de plusieurs collisions simultanées peut être traité de manière analogue. Il
existeα >0,t0ett1tels que sur l"ensembleΩαdéfini par (t,x)t0< t6t?eta?+ul(t-t?)-α < x < b?+ur(t-t?) +α out?< t < t1eta?+ul(t-t?)-α < x < b?+ur(t-t?) +α?
avec les notations précédentes, il y a une seule collision. On définitu(t,x)de sorte que pour toutx?R,
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