[PDF] Chapitre 2 : Cinématique du point matériel

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uPointmatéri lChapitre2:CinématiqueSMPC1Prof.M. EL BAZ Automne2014Page 1 / 14Chapitre2:CinématiquedupointmatérielI-DéfinitionsGénéralesI.1)-CinématiqueLacinématiqueestl'étudedumouvementenfonctiondutempsindépendammentdescausesproduisantcemouvement(lesforcesappliquéesaupointmatériel).I.2)-RepèrePourrepérerlapositiond'uneparticule,ilestnécessairededéfinirunrepèred'espace.CelaconsisteàchoisirunorigineOetunebase!,!,!.Letrièdre!; !,!,!estlerepèred'espace.I.3)-RéférentielUnréférentielestunrepèrespatialmunid'unrepèretemporel(repère+horloge).Unréférentielestdoncunobjetparrapportauquelonétudielemouvement.Toutmouvementestrelatifauréférentielutilisé.II-CinématiquesanschangementderéférentielII.1)-TrajectoireLatraject oired'unpointmobil eMdansunrepèr edonnéestlaco urbef orméeparl'ensembledespositionssuccessivesdupointMdanscerepère.Latrajectoired'unpointmobiledépendduréférentielchoisi.II.2)-Vecteurvitessed'unpointmatérielPuisquelatrajectoired'unpointmobiledépendduréférentielchoisi,lescaractéristiquesdumouvementdoiventchangerd'unréférentielàunautre.Unedecescaractéristiquesestlevecteurvitessedupointmobile.C'estpourcetteraisonqu'onutiliselanotation!!/!poursignifierqu'ils'agitdelavitessedupointMparrapportauréférentielR.Onutiliseralamêmenotationpourlesdeuxtypesdevitessequ'onvatraiterdanslasuite,lavitessemoyenneetlavitesseinstantanée.

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uPointmatéri lChapitre2:CinématiqueSMPC1Prof.M. EL BAZ Automne2014Page 2 / 14Vitessemoyenne:Soitunpointma térield écrivantunetrajectoire(C)dansunréférentielR.LepointmatérieloccupelapositionMàl'instanttetlapositionM'àl'instantt'=t+Δt.Lavitessemoyennedupointmatérielentretett'estalorsdonnéepar:!!/!=!!′!′-!=!"-!"′Δ!Levecteurvitesseestdoncunvecteurquialamêmedirectionetlemêmesensque!!′(sit'>t).Figur II.1Vitesseinstantanée:LevecteurvitesseinstantanéedeMparrapportauréférentielRàuninstanttestobtenueenprenantlalimiteΔt⇾0dansladéfinitiondelavitessemoyenne,(c.à.

.lespointsMetM'sontinfinimentproche):!!/!=lim∆!→!!!!-!"∆!=!!"!"!Propriétésduvecteurvitesseinstantanée:• Sonorigineestlapositiondelaparticuleàl'instantt.• Sadirectionesttangenteàlatrajectoireàlapositionconsidérée.• Sonsensestdonnéparlesensdeparcoursdelatrajectoire.• Sonmoduleest!"!"où

sreprésenteledéplacementcurviligneélémentaire.Onpeutrésumercespropriétésdansl'expression:!!/!=!!"!"!=!!′!"=!"!"!!où!!dénotelevecteurunitairetangentàlatrajectoiredemêmesensquelesensdumouvement.Figur II.2

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uPointmatéri lChapitre2:CinématiqueSMPC1Prof.M. EL BAZ Automne2014Page 3 / 14II.3)-VecteuraccélérationUneautrecaractéristiquedumouvementd'unpointmatérielestlevecteuraccélération.Onutiliseunenotationsimilaireàcellepourlavitesse,!!/!,poursignifierqu'ils'agitdel'accélérationdupointMparrapportauréférentielR.Levecteuraccélérationestladérivéeparrapportautempsduvecteurvitesse,oudefaçonéquivalenteladérivéesecondeduvecteurpositionparrapportautemps:!(!/!)=!!(!/!)!"!=!!!"!!!!Onpeutdéfinirlevecteuraccélérationmoyenneaussidefaçonsimilaireauvecteurvitesse.Ilmesurealorslavariationmoyennedelavitessesurunintervaldetemps∆!.II.4)-HodographedumouvementL'hodographe(H)d'unmouvementparrapportàunpointfixeOestl'ensembledespointsHtelqueàchaqueinstant:!"(!)=!!/!Trajectoired'unpointmatérielFigur II.3.aHodographedumêmemouvementFigur II.3.bLafigureII.3cihaut,décritlemouvementd'unpointmatériel.Agauchelatrajectoireestobtenueenreliantlesextrémitésduvecteurpositionàchaqueinstantt.L'hodographe,àdroite,estlacourbedécriteparlevecteurvitesse,d'origineO.II.5)-VecteurvitessedanslesdifférentssystèmesdecoordonnéesII.5.1)Cordonnéescartésiennes:Endérivantl'expressionduvecteurpositionencoordonnéescartésiennesparrapportautemps,onobtientl'expressiondelavitesseencoordonnéescartésiennes:!!/!=!"!"!+!"!"!+!"!"!Lesvecteursdelabase!,!,!descoordonnéescartésiennesétantfixes,leursdérivéesparrapportautempssontnulles:!!!"=!!!"=!!!"=0Onutiliseaussilanotationsuivante!!/!=! !+! !+! !oùlepointsurlavariablesignifieladérivéeparrapportautemps.

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uPointmatéri lChapitre2:CinématiqueSMPC1Prof.M. EL BAZ Automne2014Page 4 / 14II.5.2)Coordonnéescylindriques:Pourobtenirl'expressionduvecteurvitesseencoordonnéescylindriquesondérivelevecteurpositionencoordonnéescylindriques:!!/!=!!"!" =!!!!+!!!" =!"!"!!+!!!!!"+!"!"!+!!!!"Sachantque!estunvecteurfixesadérivéeestnulle!!!"=0.Levecteur!!étantmobile,sadérivéen'est pas nulleengénérale. Eneffet,!!dépenddefaçonimplic itedet,àtraverssadépendancedel'angle!.Ainsi!!!!"=!!!!"!"!".Enutilisantl'expressionduvecteur!!danlabase!,!,!onobtient!!!!"=!cos! !+sin! ! !"=-sin! !+cos! !=!!Ladérivéeparrapportautempsestalorsdonnéepar:!!!!"=!"!"!!ouencore!!!!"=!!!Onobtientalorspourlevecteurvitesse:!!/!=!"!"!!+!!"!"!!+!"!"!ouencore!!/!=! !!+!! !!+! !II.5.3)Coordonnéessphériques:Levecteu rpositionencoordon néessphériquesdépendduvecteu r!!.Ce dernierdépenddesangles!et!,doncsadérivéeparrapportautempsestdonnéepar:!!!!"=!!!!!!!!"+!!!!"!"!".Enutilisant lesexpressions desvecteurs !!,!!,!!enfonction desvecteurs!,!,!donnéesaupremierchapitre(paragraph V.4.1),onmontreque!!!!!=!! et !!!!"=sin!!!Ainsi!!!!"=!!!"!!+sin!!"!"!!.Levecteurvitesseestobtenuendérivantlevecteurposition:!!/!=!!"!"=!"!"!!+!!!!!"Ainsi,encoordonnéessphériques,levecteurvitesses'écrit:

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uPointmatéri lChapitre2:CinématiqueSMPC1Prof.M. EL BAZ Automne2014Page 5 / 14!!/!=!"!"!!+!!!!"!!+!sin!!"!"!!ouencore!!/!=!!!+!!!!+!!sin!!!II.6)-VecteuraccélérationdanslesdifférentssystèmesdecoordonnéesPourobtenirl esexpressionsdescompos antesduve cteuraccélérationsdanslesdifférentssystèmesdecoordonnéesilfautdériverlesexpressionsduvecteurvitesseobtenuesdansleparagrapheprécédent!!/!=!!!/!!"=!!!"!!!II.6.1)Coordonnéescartésiennes:Enutilisantl'expressionduvecteurvitesseencoordonnéescartésiennes,ona:!!/!=!! !+! !+! !!"Puisquelesvecteursdelabasedescoordonnéescartésiennessontfixes,ondériveseulementlescomposantesduvecteurvitesse,cequidonne!!/!=!!!!!!!+!!!!!!!+!!!!!!!Onutiliseparfoislanotationsuivante!!/!=!!+!!+!!oùlesdeuxpointssurunevariablesignifieladérivéesecondedelavariableparrapportautemps.II.6.2)Coordonnéescylindriques:Encoord onnéescylindriqueslevecteuraccélérationes tdonnéparl'expressionsuivante:!!/!=!-!! !!!+(!!+2!!)!!+!!Preuve:Onutilisel'expressionduvecteurvitesseencoordonnéescylindriques:!!/!=!! !!+!! !!+! !!"!!/!=!! !"!!+! !!!!"+!!!"! !!+!!! !"!!+!! !!!!"+!! !"!.Onavaitobtenul'expressiondeladérivéeparrapportautempsduvecteur!! :!!!!"=!!!Onobtientdefaçonsimilaireladérivéeduvecteur!! :!!!!"=!!!!"!"!"=!-sin! !+cos! ! !"!"!"=-cos! !-sin! !!"!"!!!!"=-!!!Enremplaçantdansl'expressiondel'accélérationcidessusonobtient:!!/!=!!!+! !!!+!! !!+!!!!-!! !!!+!!quidonnefinalement:

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uPointmatéri lChapitre2:CinématiqueSMPC1Prof.M. EL BAZ Automne2014Page 6 / 14!!/!=!-!! !!!+(!!+2!!)!!+!!II.6.3)Coordonnéessphériques:Levecteuraccélérationencoordonnéessphériquesest:!!/!= !-!!!-!!!sin!!!! + 2!!+!!-!!!sin!cos!!! + 2!!sin!+2!!!cos!+!!sin!!!Preuve:Onutilisel'expressionduvecteurvitesseencoordonnéessphériques:!!/!=!!!!+!!!!+!!sin!!!!"Pourdériverlesvecteursdelabase!!,!!,!!onutiliseleursexpressionsenfonctionsdesvecteursdelabase!,!,!.Onobtientalors!!!!!=-!! , !!!!"=cos!!! , !!!!"=-!!=-sin!!!+cos!!!Lesdérivéestemporellesdesvecteursdelabase!!,!!,!!sontalorsdonnéespar:!!!!"=!!!!!!!!"+!!!!"!"!" ⟹!!!!"=!!!+!sin!!!!!!!"=!!!!!!!!"+!!!!"!"!" ⟹ !!!!"= -!!!+!cos!!! !!!!"=!!!!"!"!" ⟹ !!!!"=-!sin!!!-!cos!!!Ainsiendérivantlescomposantesduvecteurvitesseencoordonnéessphériquesainsiquelesvecteursdelabase,onobtientalorsl'expressionfinaleduvecteuraccélérationencoordonnéessphériquesdonnéecidessus.II.7)-RepèredeFrenetDanslecasd'unmouvementplanonpeutdéfinirenchaquepointMdelatrajectoirelabasedeFrenet.PourcelaondéfinitentoutpointMunvecteur!!,tangentàlatrajectoireetorientédanslesensdecelleci,etondéfinitlevecteur!!perpendiculaireà!!etorientéverslaconcav itédelatrajectoire.Pourc ompléterl etrièdreondéfinitunvecteur!telqueletrièdre!!,!!,!estuntrièdredirectec.à.

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uPointmatéri lChapitre2:CinématiqueSMPC1Prof.M. EL BAZ Automne2014Page 7 / 14Abscissecurviligne:Danslecasd'unmouvementcurviligneilestparfoisutiled'utiliserl'abscissecurvilignepourrepérerlapositiondupointmatériel.Pourcela,onfixeunpointAdelatrajectoire(voirlafigur II.5).L'abscissecurvilignes(t)estalorsdéfiniecommeétantladistancecurvilignedupointfixeAaupointM(t)qu'occupelepointmatérielàl'instantt:Figur II.5Al' instantt'=t+

t,lep ointmaté rieloccupantlap ositionM'(t')onaura levecteurposition:Ledéplacementélémentaires'écritalors:

sestunarcdecercledecentreCetderayonRC,appelérayondecourbure.Lesvecteurs!!et!!peuventalorsêtreobtenuede façonanalytiquedel afa çonsuivante!!=!!"!" ; !!=!!!!!!"Preuve:Ona!!"=!!′=!" !!,cequidonneladéfinitionduvecteurtangent!!=!!"!".Pourlevecteurnormal,onremarqued'abordd'aprèslefigureII.5,que!!estlevecteurdirectementperpendiculaireauvecteur!!onadonc(Voir x rcic 2séri I):!!=!!!!".D'autrepartona!"=!!!"⟹ !"=!"!!.Cequidonnepour!!l'expression!!=!!!!!!".VecteurvitessedanslerepèredeFrenet:Endérivantlevecteurpositionparrapportautempsontrouvel'expressionduvecteurvitessedanslabasedeFrenet:!!/!=!"!"!!

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uPointmatéri lChapitre2:CinématiqueSMPC1Prof.M. EL BAZ Automne2014Page 8 / 14Eneff et,onadéjàvuque!!"=!!′=!" !!cequidonne pourle vecteur vitesse!!/!=!!"!"=!"!"!!.VecteuraccélérationdanslerepèredeFrenet:LevecteuraccélérationdanslabasedeFrenetestdonnépar!!/!=!"!"!!+!!!!!!Preuve:Pourdériverl 'expressiondu vecteurvitesseobtenueci-haut,ondoitdériver,entre autres,levecteurtangentielle!!parrapportautemps:!!!!"=!!!!"!"!"Sachantque!"!"=!,lemoduleduvecteurvitesseetque!!!!"=!!!!!,onobtient!!!!"=!!!!!.Ondérivelevecteurvitessepourobtenirl'expressionduvecteuraccélération:!!/!=!!!/!!"=!!"!"!!!"=!!!!"!!!+!"!"!!!!"=!"!!!!+!!!!!!Levecteuraccélérationpeutêtredécomposéenunecomposantetangentielle,appeléeaccélérationtangentielle:!!=!"!"!!etunecomposantenormale,appeléeaccélérationnormale:!!=!!!!!!telque!!/!=!!+!!ouencoreentermedemodules!!=!!!+!!!Onpeutremarquerquelacomposantedel'accélérationnormaleesttoujourspositive,cequisignifie quel'accélérationnormale esttoujou rsorientéeverslaconcavitédelatrajectoire.II.8)-Exempledemouvement:LemouvementcirculaireOnconsid èrelemouvementd'unpointmaté rielMdontlatrajectoireestuncercledansleplanXOY,decentreOetderayonR.Danscecaslevect eurp ositionpeut s'écriredan slabasecartésienne:!"=!cos!!+!sin!!ouencoredanslebasedescoordonnéespolaires:!"=!!!=!!!Icionaintroduitlevecteur!!=-!!.Onremarqueainsiqueletrièdre!!,!!,!(àn pasconfon

r av clabas

Fr n t)estuntrièdredirecte.Figur II.6

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uPointmatéri lChapitre2:CinématiqueSMPC1Prof.M. EL BAZ Automne2014Page 9 / 14II.8.1)Levecteurvitesse:EnutilisantlesrésultatsdanslabasedeFrenetlevecteurvitesses'écrit:!!/!=!"!"!!=! !!Onavaitaussivuque!"=! !",cequidonnepourlavitesse!!/!=!!!!"!!.Cequipermetd'écrire:!=! ! où !=!!!" est la vitesse angulaire.Larotationétantautourdel'axeOZ,ondéfinitlevecteurrotationangulairedanscecasdelafaçonsuivante:!=! !=!!!"!Onpeutainsimontrerque!!"!"=!∧!"Preuve:Letrièdre!!,!!,!étantuntrièdredirecteona!!=!∧!!cequipermetd'écrirepourlevecteurvitesse:!!/!=!!"!"=! !!=! ! !!=! ! !∧!!=!!∧!!!.Enutilisantladéfinitionduvecteurvitesseangulaire,!=! !,etl'expressionduvecteurposition,!"=! !!,onobtientalors!!"!"=!∧!".Remarque:Si!"estunvecteurunitaire:!"=!,alorsonalerésultatimportantsuivant!!!"=!∧!II.8.2)Levecteuraccélération:Làaussi,enutilisantlesrésultatsobtenusdanslabasedeFrenet:!!/!=!"!"!!+!!!!!!,onréécritlevecteuraccélérationenfonctiondelavitesseangulairedelafaçonsuivante!!/!=!!"!"!!+!!!!!!"!"estl'accélérationangulaire.Remarque-Mouvementcirculaireuniforme:Danslecasd'unmouvementcirculaireuniformelavitesseangulaireestconstante,c.à.d.quel'accélérationangulaireestnulle:!=!"# ⟹ !"!"=0.L'accélérationtangentielleétant nulle,l'accélérationn'aqu'uneseulecomposante,lacomposantenormale:!!/!=!!=!!!!!.Dansl cas

'unmouv m ntcirculair uniform l'accélération sttoujoursnormal àlatraj ctoir tori ntév rsl c ntr

uc rcl :l'accélération stc ntripèt . Cours

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uPointmatéri lChapitre2:CinématiqueSMPC1Prof.M. EL BAZ Automne2014Page 10 / 14III-CinématiqueavecchangementderéférentielIII.1)-MouvementrelatifetmouvementabsoluOnconsidèredeuxréférentielsR1(O1;X1,Y1,Z1)etR2(O2;X2,Y2,Z2),debaserespectives!!,!!,!!et!!,!!,!!,enmouvementl'unparrapportàl'autre.OnsupposequeR1estfixe,onl'appelréférentielabsolu.LeréférentielR2estalorsappeléréférentielrelatif;ilestenmouvementparrapportàR1.Onétudielemouvementd'unpointmatérielMparrapportauxdeuxréférentiels:Figur III.1III.1.1)LemouvementabsoludeMLemouvementdeMparrapportauréférentielabsoluestappelémouvementabsolu.LapositiondupointMestrepéréparladonnéedescoordonnéescartésiennesdansleréférentielR1(voirfigur III.1)!!!=!!!!+!!!!+!!!!LavitesseabsoluedeMestlavitessedupointmatérielMparrapportauréféretielabsolu,elleestobtenueendérivantparrapportautempslevecteurpositiondansleréférentielR1:!!/!!=!!!!!"!!Lesvecteursdelabase!!,!!,!!étantliésauréférentielR1leursdérivéestemporellesrespectivessontnulles:!!!!"!!=!!!!"!!=!!!!"!!=0.Ilsuffit alorsde dériver lescomposantes:!!/!!=!!!!+!!!!+!!!!.L'accélérationabsolueestobtenueendérivantlavitesseabsolueparrapportautempsdansleréférentielabsolu:

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uPointmatéri lChapitre2:CinématiqueSMPC1Prof.M. EL BAZ Automne2014Page 11 / 14!!/!!=!!!/!!!"!!Làaussi,ilsuffitdedériverlescomposantesduvecteurvitesseabsolue:!!/!!=!!!!+!!!!+!!!!.III.1.2)MouvementrelatifdeMLemouvementdeMparrapportauréférentielrelatifestappelémouvementrelatif.LapositiondupointMestrepéréparladonnéedescoordonnéescartésiennesdansleréférentielR2(voirfigur III.1)!!!=!!!!+!!!!+!!!!LavitesserelativedeMestlavitessedupointmatérielparrapportauréférentielrelatif,elleestobtenueendérivantparrapportautempslevecteurpositiondansleréférentielR2:!!/!!=!!!!!"!!Danscecaslesvecteursdelabase!!,!!,!!étantliésauréférentielR2leursdérivéestemporellesrespectivessontnulles:!!!!"!!=!!!!"!!=!!!!"!!=0.Donclàaussi,ilsuffitdedériverlescomposantes:!!/!!=!!!!+!!!!+!!!!.L'accélérationrelativeestobtenueendérivantlavitesserelativeparrapportautempsdansleréférentielrelatif:!!/!!=!!!/!!!"!!Elleacommeexpressiondanslabaserelative:!!/!!=!!!!+!!!!+!!!!.III.1.3)Casparticulier:R2entranslationrectiligneparrapportàR1Danscecas,lesvecteursdelabaserelative!!,!!,!!sontaussifixeparrapportauréférentielR1:!!!!"!!=!!!!"!!=!!!!"!!=0III.1.4)Casparticulier:R2enrotationparrapportàR1Siler éférentielR 2estenrotat ionpar rapportauréf érentielR1avecunevite sseangulaire!!!/!!.Lesvecteursdelabaserelativesontalorsaussienrotationaveclamêmevites seangulaire!!!/!!=!.Enutilisantle résultatexprimédanslaremarqueàlafinduparagrapheII.8.1onobtientlesdérivéestemporellesrespectivesdesvecteursdebase:!!!!"!!=!∧!! ,!!!!"!!=!∧!! ,!!!!"!!=!∧!!

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uPointmatéri lChapitre2:CinématiqueSMPC1Prof.M. EL BAZ Automne2014Page 12 / 14III.1.5)Casgénéral:R1enmouvementquelconqueparrapportàR2Toutmouvementd 'unréférentielparrap portàl'autre peutêtreramenéàlacompositiond'unmouvementdetranslationrectiligneetd'unmouvementderotation,d'oùl'importancedecesdeuxtypesdemouvement.III.2)-DérivationenrepèremobileDanstoutelasuite(saufsiautrementprécisé),onvaconsidérerlesdeuxréférentielsR1 tR2liésrespectivementaurepères(O1;X1,Y1,Z1)et(O2;X2,Y2,Z2)etcaractérisés,respectivement,parlesbasesorthonormées!!,!!,!!et!!,!!,!!.OnconsidèrequeR2estenmouveme nt(quel conque)parrapportàR1etquecemouvementestcaractériséparlavitesseangulaire!=!!!/!!.Soitunvecteur!définiparsonexpressiondanslerepèrerelatifR2:!=!!!!+!!!!+!!!!Pourdériverlevecteur!parrapportauréférentielR1ilfautdériverlescomposantesetlesvecteursdelabase!!,!!,!!mobileparrapportàR1:!!!"!!=!!!!+!!!!!!"+!!!!+!!!!!!"+!!!!+!!!!!!".Onavuqueladérivéed'unvecteurunitaire! enrotationavecunevitesseangulaire!parrapportàunrepèrefixeestdonnéepar!!!"=!∧!.Enremplaçant!parlesvecteursdelabase!!,!!,!!onobtientalors:!!!"!!=!!!!+!!!!+!!!!+!!!∧!!+!!!∧!!+!!!∧!!.Or!!!!+!!!!+!!!!=!!!"!!estladérivéeduvecteur!dansleréférentielrelatifet!!!∧!!+!!!∧!!+!!!∧!!=!∧!!!!+!!!!+!!!!=!∧!Cequipermetd'écrireladérivéeduvecteur!dansleréférentielR1connaissantsonexpressiondansleréférentielR2.!!!"!!=!!!"!!+!!!/!!∧!III.3)-CompositiondesvitessesLaloidecompositiondesvitessess'écrit:!!=!!+!!où!! =!!/!!=!!!!!"!!:estlavitesseabsoluedupointmatériel,!!=!!/!!=!!!!!"!! :estlavitesserelativedupointmatériel,!!=!!!!!!"!!+!!!/!!∧!!! :estlavitessed'entrainement.

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uPointmatéri lChapitre2:CinématiqueSMPC1Prof.M. EL BAZ Automne2014Page 13 / 14Preuve:Oncommenc epardécomposerlev ecteurposit ionabsoluenfonctionduvec teurpositionrelatif:!!!=!!!!+!!!LavitesseabsolueestobtenueendérivantdansleréférentielabsoluR1:!! =!!!!!"!!=!!!!!!"!!+!!!!!"!!Enutilisantlesrésultatsobtenusdansleparagrapheprécédentconcernantladérivationenrepèremobile,onexprimelederniertermeenhaut(onremplace!par!!!)!!!!!"!!=!!!!!"!!+!!!/!!∧!!!Cequidonnepourl'expressiondelavitesseabsolue:!! =!!!!!"!!+!!!!!!"!!+!!!/!!∧!!!quiestlerésultatcherché.Lepremiertermeestlavitesserelativeetlesdeuxdernierstermesdonnentlavitessed'entrainement.III.4)-CompositiondesaccélérationsLaloidedécompositiondesaccélérationss'écritdelafaçonsuivante!!=!!+!!+!!où:!! =!!/!!=!!!!"!!estl'accélérationabsoluedupointmatériel,!!=!!/!!=!!!!"!!=!!!!!!"!!!estl'accélérationrelativedupointmatériel,!!=!!!!!!!"!!!+!!!!/!!!"∧!!!+!!!/!!∧!!!/!!∧!!! estl'accélérationd'entrainement,et!!=2 !!!/!!∧!!estl'accélérationcomplémentaire,aussiappeléeaccélérationdeCoriolis.Preuve:!! =!!!!"!!=!!"!!+!!!!!!"!!+!∧!!!!!⟹!! =!!!!"!!+!!!!!!!"!!!+!!!"∧!!!+!∧!!!!!"!!Ondéveloppelepremieretledernierterme.!!!!"!!=!!!!"!!+!∧!!

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uPointmatéri lChapitre2:CinématiqueSMPC1Prof.M. EL BAZ Automne2014Page 14 / 14oùonautilisélarèglededérivationd'unvecteurdansunrepèremobile.Pourlederniertermeonobtient!∧!!!!!"!!=!∧!!!!!"!!+!∧!!! =!∧!!+!∧!∧!!!Enrappor tantdansl 'expressionin itiale,onobtientl'expressioncomplèt edel'accélérationabsolue:!! =!!!!"!!+!!!!!!!"!!!+!!!"∧!!!+!∧!∧!!!+2!∧!!Lepremie rtermeàdroiteest l'accélération relat ive,ledernierestl'accél érationdeCoriolisetlestermesrestantscomposentl'accélérationd'entrainement.III.5)-ExemplesdemouvementsparticuliersOnconsidèredeuxcasparticuliersdemouvementduréférentielrelatifparrapportauréférentielabsolu.III.5.1)Mouvementrectiligne:SileréférentielR2estentranslationrectiligneparrapportauréférentielabsoluR1,lavitessederotationangulaireestnulle!!!/!!=0Laformulededécompositiondesvitessesdevientalors:!! =!!(!)+!!!!!!"!!Lesecondtermen'étantriend'autrequelavitesseabsoluedupointO2:!! =!!(!)+!!(!!)Demême,l'accélérationabsolues'écrit!! =!!!!"!!+!!!!!!!"!!!Lepremiertermeétantl'accélérationrelativedupointMetlesecondl'accélérationabsoluedupointO2:!! =!!(!)+!!(!!) Sienpluslemouvementrelatifestrectiligneuniformeonauralavitesseduréférentielrelatifparrapportauréférentielabsoluquiestconstantec.à.

.!!!!=!"#$%&#%et!!!!=0.L'accélérationrelativeestalorségaleàl'accélérationabsolue:!!(!)=!!(!)III.5.2)MouvementdeRotationuniforme:OnsupposequeleréférentielR2estenrotationuniformeparrapportauréférentielabsoluR1,etquelarotations'effectueautourd'unaxepassantparl'originecommunauxdeuxréférentielsO=O1=O2.Danscecas!!!/!!=!=!"#$%&#% ;c.à.

.!!!!/!!!"=0.Lesexpressi onsdelavitessed'entrainementet del'acc élératio nd'entrainementdeviennentparticulièrementsimples:!!(!)=!∧!" !!(!)=!∧!∧!"

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