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Physique

1

èreannée - 2èmeannée MP

Vincent Démery

2

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C Cb ySA

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Table des matières

I Éléments mathématiques

7

1 Éléments d"analyse vectorielle

9

2 Notions sommaires d"analyse de Fourier

13

II Mécanique

15 III Mécanique du point et des systèmes de points 17

3 Cinématique du point19

4 Dynamique du point matériel dans les référentiels galiléens

21

5 Étude énergétique23

6 Théorème du moment cinétique

25

7 Changement de référentiel

27

8 Dynamique dans les référentiels non galiléens

29

9 Éléments cinétiques des systèmes

31

10 Dynamique des systèmes

33

11 Étude énergétique des systèmes

35

12 Cinématique des solides

37

13 Dynamique des solides39

14 Étude énergétique des solides

41

15 Système isolé de deux particules

43

16 Particules en interaction newtonienne

45

17 Oscillateurs47

IV Électromagnétisme

49

18 Électrostatique51

19 Analogies avec l"interaction gravitationnelle

53

20 Dipôle électrostatique55

21 Milieux conducteurs57

22 Magnétostatique59

23 Mouvement d"une particule dans un champ électromagnétique

61

24 Équations de Maxwell63

4TABLE DES MATIÈRES25 Induction électromagnétique67

26 Dipôle magnétique69

27 Généralités sur les ondes

71

28 Ondes électromagnétiques dans le vide

73

29 Ondes électromagnétiques transversales dans d"autres milieux

75

30 Rayonnement d"un dipôle oscillant

79

V Électricité, électronique

81

31 Modélisation des circuits, lois de Kirchhoff

83

32 Dipôles électrocinétiques

85

33 Théorèmes généraux87

34 Réseaux en régime sinusoïdal forcé

89

35 Systèmes linéaires invariants : généralités

91

36 Systèmes linéaires classiques

93

37 Système linéaire en régime non sinusoïdal

95

38 Grandes fonctions linéaires

97

VI Optique

99

39 Fondements de l"optique géométrique

1 01

40 Miroirs et lentilles dans l"approximation de Gauss

1 03

41 Interférences lumineuses

1 05

42 Interférences données par des lames minces

1 09

43 Interféromètre de Michelson

1 11

44 Diffraction des ondes lumineuses

1 15

45 Réseaux plans119

46 Interférences à ondes multiples

1 23

VII Thermodynamique

125

47 Théorie cinétique du gaz parfait

1 27

48 Gaz réels129

49 Statique des fluides131

50 Premier principe de la thermodynamique

1 33

51 Second principe de la thermodynamique

1 35

52 Étude d"un corps pur sous deux phases

1 37

TABLE DES MATIÈRES553 Diffusion thermique141

54 Rayonnement thermique

1 43

55 Rayonnement du corps noir

1 47

A Unités et constantes149

6TABLE DES MATIÈRES

Première partie

Éléments mathématiques

1

Éléments d"analyse vectorielle

1.1 Définitions

Champ de scalaires: application qui à chaque point de l"espace associe un scalaire (i.e. un nombre).

Champ de vecteurs: application qui à chaque point de l"espace associe un vecteur. Bordsdevolumesetdesurfaces: pour un volumeV, on note@Vla surface délimitant ce volume, orien-

tée vers l"extérieur (on l"appelle aussiborddeV). De même, pour une surface orientée (non fermée)S,

on note@Sle contour "faisant le tour» de cette surface; son orientation dépend de celle de la surface

(c"est leborddeS). Un exemple est donné Fig. 1.

1.2 Caractéristiques usuelles des champs

Surface de niveau: pour un champ scalairef, ensemble de pointsMtel qu"il existe une constantek vérifiantf(M)½{k}.

Lignedechamp: pour un champ vectoriel¡!A, ligneLtelle que8M2L,¡!t(M) est colinéaire à¡!A(M),

où

¡!t(M) est le vecteur tangent àLenM.

1.3 Grandeurs fondamentales associées à un champ de vecteurs

Circulation d"un champ de vecteurs: sur un contourCorienté,CAEZ

C¡!A¢¡!dl. Plus précisément, un

contour est une application

¡!°:[0,1]!R3etCAEZ

1 Flux d"un champ de vecteurs: à travers une surfaceSorientée :ÁAEZ

S¡!A¢¡!dS. Une définition plus

précise fait intervenir une paramétrisation de la surface.S ∂SFig. 1.1- S urfaceor ientéeet son bor d.

10 1 - Éléments d"analyse vectorielleM

u x-→u y-→u zz x yM-→u zz r

θ-→u

r-→u M

θ-→u

r u? ur ?Fig. 1.2- C oordonnéesc artésiennes,cyl indriqueset p olaires.

1.4 Repérage d"un point dans l"espace

Coordonnées cartésiennes: un pointMest repéré par ses coordonnées (x,y,z) telles que¡¡!

OMAEx¡!uxÅy¡!uyÅz¡!uz.

Coordonnées cylindriques: un pointMest repéré par ses coordonnées (r,µ,z) telles que¡¡!

OMAEr¡!urÅz¡!uz.

Coordonnées sphériques: un pointMest repéré par ses coordonnées (r,µ,') telles que¡¡!

OMAEr¡!ur.

1.5 Opérateurs fondamentaux

Gradient: grandeur vectorielle associée à un champ scalaire :

D éfinition: le gr adientdu ch ampscalair efvérified fAE¡¡¡!gradf¢¡!droùd fAEf³¡!rÅ¡!dr´

¡f¡¡!r¢.

¡!Adérive d"un potentiel scalairefsi¡!

AAE¡¡¡!gradf.

E xpressiondu g radientd ansles diff érentssyst èmesde coor données: ¡¡¡! gradfAE8 @f@r¡!urÅ1r @f@µ

¡!uµÅ@f@z¡!uz

@f@r¡!urÅ1r @f@µ

¡!uµÅ1rsinµ@f@'

¡!u'-E xpressionav ecl "opérateur¡!

r AE0 B @@@x@@y@@z1 C

A:¡¡¡!

gradfAE¡!rf. Rotationnel: grandeur vectorielle associée à un champ vectoriel :

D éfinition: pour un c hamp

¡!AAE0

@A x A y A z1 A rot¡!AAE¡!r ^¡!A. -Théorème de Stokes: pour une surface orientéeS,I @S¡!A¢¡!dlAEZ

S¡!rot¡!A¢¡!dS. Ce théorème se

montre facilement pour des contours et surfaces élémentaires et bien orientés, ce qui s"étend

ensuite naturellement au cas général.

P ropriété: on mon treai sémentqu e¡!

rot³¡¡¡!gradf´

AE¡!0. Si

¡!rot¡!AAE¡!0 sur un volume convexe,¡!A

dérive d"un potentiel scalaire sur ce volume (ce volume sera le plus souvent l"espace tout entier).

1.6 - Formules d"analyse vectorielle 11

Divergence: grandeur scalaire associée à un champ vectoriel :

D éfinition: av ecles mêmes n otations,div

¡!AAE¡!r ¢¡!AAE@Ax@xÅ@Ay@yÅ@Az@z.

-Théorème d"Ostrogradski: pour une surfaceSfermée, orientée vers l"extérieur et le volumeV,

intérieur à la surface :I @V¡!A¢¡!dSAEZ V div¡!A dV. Ce théorème se montre de la même manière que le théorème de Stokes.

P ropriété: on mont requ ediv

³¡!rot¡!A´

AE0. Si div

¡!AAE0 sur un volume convexe,¡!Adérive d"un potentiel vectoriel sur ce volume. Laplacien: il est définit pour un champ scalairefpar¢fAEdiv³¡¡¡!gradf´

AE¡!r2f. En coordonnées car-

tésiennes,¢AE@2@x2Å@2@y2Å@2@z2. Cette dernière expression permet de définir le laplacien pour un champ

vectoriel.

1.6 Formules d"analyse vectorielle

Formule du gradient: cette formule, de même que les deux formules suivantes, se montre de la même

manière que le théorème de Stokes :Z

V¡¡¡!gradf dVAEI

@Vf¡!dS

Formule de Kelvin:I

@Sf¡!dlAEZ

S¡!dS^¡¡¡!gradf.

Formule du rotationnel:Z

V¡!rot¡!A dVAEI

@V¡!dS^¡!A.

12 1 - Éléments d"analyse vectorielle

2

Notions sommaires d"analyse de Fourier

Théorème de Fourier: toute fonctionT-périodiquefà valeurs complexes peut se décomposer sous la

forme :f(t)AEÅ1X nAE¡1c ne in!tavec!AE2¼T etcn2Cn-ième coefficient de Fourier def. Cette décomposition est appeléedéveloppe- ment en série de Fourier.

La convergence de la suite de fonctions du deuxième membre vient de résultats purement mathéma-

tiques : théorème de Weierstrass (approximation d"une fonction périodique par des polynômes trigono-

métriques) et algèbre sur des espaces complexes.

Calcul des coefficients de la décomposition: on montre facilement en utilisant la décomposition def

dans le calcul de l"intégrale que :c nAE 1T Z t0ÅT t

0f(t)e¡in!tdtDécomposition des fonctions réelles: dans le cas oùfest une fonction à valeurs réelles, elle peut se

décomposer sous la forme :f(t)AEa0ÅÅ1X nAE1a ncosn!tÅbnsinn!toù les coefficients réelsanetbnsont donnés par :a 0AE1T Z t1ÅT t

1f(t)dt

a nAE2T Z t1ÅT t

1f(t)cos(n!t)dt

b nAE2T Z t1ÅT t

1f(t)sin(n!t)dtFormule de Parseval: on montre la relation suivante pour la décomposition ci-dessus d"une fonction à

2.Cette propriété vient simplement de l"orthonormalité des fonctions intervenant dans la décomposition.

Pour la décomposition réelle, on ahf2(t)iAEa20Å12 P

Å1nAE1(a2nÅb2n).

14 2 - Notions sommaires d"analyse de Fourier

Deuxième partie

Mécanique

Troisième partie

Mécanique du point et des systèmes de

points 3

Cinématique du point

Vitesse: on définit la vitesse d"un pointMdans un repèreRpar :¡! vAE³d¡¡!OMdt R. Accélération: on définit l"accélération d"un pointMdans un repèreRpar :¡! aAE³d¡!vdt R

AE³d2¡¡!OMdt

2´ R. Expressions dans les différents systèmes de coordonnées: coor donnéescar tésiennes: ¡!

vAEx¡!uxÅy¡!uyÅz¡!uz¡!aAE¨x¡!uxŨy¡!uyŨz¡!uz-coor donnéescyl indriques:

vAEr¡!urÅrµ¡!uµ¡!aAE(¨r¡rµ2)¡!urÅ(2rµÅr¨µ)¡!uµ-coor donnéessph ériques: ¡!

vAEr¡!urÅrµ¡!uµÅr'sinµ¡!u'(il n"y a pas d"expression simple de l"ac- célération avec ce système de coordonnées).

203 - Cinématique du point

4

Dynamique du point matériel dans les

référentiels galiléens

4.1 Éléments cinétiques

Quantité de mouvement(ou impulsion) : on définit la quantité de mouvement d"un point matériel de

massemet de vitesse¡!vpar¡! pAEm¡!v(vitesse et quantité de mouvement sont définies dans le même référentiel). Énergie cinétique: l"énergie cinétique d"un point matériel est définie parE CAE12 mv2. On utilise aussi l"expressionECAEp22m, oùpest le module de la quantité de mouvement.

4.2 Lois de Newton

Principe fondamental de la dynamique(PFD) : pour un point matériel de quantité de mouvement¡!p

soumis à une résultante des forces

¡!F, on ad

¡!pdt

AE¡!F. Pour un point matériel de masse constante on a : m

¡!aAE¡!F.

Principe des actions réciproques: siAetBsont deux points matériels, on note¡¡¡¡!FA!Bl"action deAsur

B. On a alors, d"après le principe des actions réciproques :¡¡¡¡!

FA!BÅ¡¡¡¡!FB!AAE¡!0.

Conservation de la quantité de mouvement: pour un système isolé de particules (chaque particule

n"est soumise qu"aux actions d"interaction avec les autres particules), on a : d P k¡!pkdt AEX kd

¡!pkdt

AEX kX l6AEk¡¡¡! Fl!k

par application du principe fondamental de la dynamique. Avec le principe des actions réciproques, les

forces s"annulent deux à deux et on a :d P k¡!pkdt

AE¡!0.

22 4 - Dynamique du point matériel dans les référentiels galiléens

5

Étude énergétique

5.1 Énergie cinétique

Énergie cinétique: la définition de l"énergie cinétique a été donnée plus haut :ECAE12

mv2.

¡!FAE¡!F¢¡!voù

¡!vest la vitesse du pointM.

par±W¡!FAEP¡!Fdt. Avec la définition de la puissance, on a directement :

±W¡!FAE¡!F¢d¡¡!OM.

B:W

¡!F,A!BAEZ

B

A¡!F¢¡!dlOn remarque qu"il s"agit de la circulation de la force sur la trajectoire du pointM.

Théorème de l"énergie cinétique: pour un point matériel de massemconstante, on adECdt AE 12 md(¡!v¢¡!v)dt

AEm¡!v¢d¡!vdt

. En appliquant le principe fondamental de la dynamique, on adECdt

AE¡!v¢¡!F, c"est-

à-diredE

Cdt

AEP¡!F.

Attention :

¡!Freprésente la résultante des actions extérieures. Ce théorème peut aussi s"écrire sous sa forme intégrale :¢

A!BECAEW¡!F,A!B.

5.2 Énergie potentielle

Force conservative: on dit qu"une force¡!Fest conservative si son travail élémentaire peut s"écrire

comme une différentielle, c"est-à-dire s"il existe une fonctionEPtelle que Cette condition est vérifiée si et seulement si

¡!rot¡!FAE¡!0 .

Énergie potentielle: l"énergie potentielle est définie pour une force conservative¡!F. L"énergie poten-

tielle est alors la fonctionEPcaractérisée plus haut (à une constante près). On a alors, par définition du

gradient :¡!

FAE¡¡¡¡!gradEP.

Travail d"une force conservative: avec l"expression de la force en fonction de son énergie potentielle,

sur la trajectoireA!B, on a directement :W

¡!F,A!BAE¡¢A!BEP.

245 - Étude énergétique5.3 Énergie mécanique

Énergie mécanique: on considère un pointMsoumis à l"action conservative¡!Fdérivant de l"énergie

potentielleEPet à l"action¡!F0non nécessairement conservative. On définit alors l"énergie mécanique de

Mpar :E

MAEECÅEPoùECest l"énergie cinétique deM.

Théorème de l"énergie mécanique: on montre facilement que±EMAE±W¡!F0, c"est-à-dire, sous forme

intégrale :¢

A!BEMAEW¡!F0,A!B.

Notamment, si un point matériel est soumis seulement à des actions conservatives, son énergie méca-

nique se conserve. 6

Théorème du moment cinétique

Moment cinétique d"un point matériel: dans un repèreR, on définit le moment cinétique du point

matérielM, de massem, de vitesse¡!vet de quantité de mouvement¡!p, par rapport au point fixeOpar¡!

On définit aussi le moment cinétique deMpar rapport à l"axe¢, passant parOet orienté par¡!u, parL

¢AE¡!LO¢¡!u.

Attention : le signe deL¢dépend du sens du vecteur¡!u.

Moment d"une force: le moment de la force¡!F(appliquée au pointM) au pointOest donné par :¡¡¡¡!

MO,¡!FAE¡¡!OM^¡!F. On peut ici aussi définir le moment par rapport à un axe :M Théorème du moment cinétique(TMC) : le calcul ded¡!LOdt et l"application du principe fondamental de la dynamique montre directement le théorème du moment cinétique :d

¡!LOdt

AE¡¡¡¡!MO,¡!F.

Cette démonstration montre que le TMC n"apporte rien de plus que le PFD : c"est une conséquence du

PFD parfois plus facile à utiliser.

26 6 - Théorème du moment cinétique

7

Changement de référentiel

7.1 Eléments de cinématique du solide

Vecteur rotation: pour caractériser la rotation d"un solide par rapport à un repère ou d"un repère par

rapport à un autre repère, trois informations sont nécessaires : la vitesse de rotation, l"axe et le sens. Ces

trois informations peuvent être contenues dans un vecteur, respectivement avec sa norme, sa direction

et son sens. Ce vecteur, appelé vecteur rotation, est noté¡!. Son utilisation est très pratique pour les calculs.

Formule de Varignon: en considérant les projections sur les axes de coordonnées, on montre que,

si¡!est le vecteur rotation du repèreR0par rapport au repèreR, pour un vecteur¡!A, on a :³

d¡!Adt R

AE³d¡!Adt

R

0Å¡!^¡!A. Cette relation se vérifie facilement pour des rotations simples et s"étend par

changement de repère aux autres rotations.

Cette relation est un autre moyen d"introduire le vecteur rotation : en dérivant les vecteurs de la base du

repèreR0dans le repèreR, on montre qu"il existe un vecteur tel que la formule ci-dessus soit vérifiée,

ce vecteur est le vecteur rotation.

Relation fondamentale de cinématique du solide: en utilisant la relation précédente et la relation de

Chasles(

vB¡¡!vAAE¡!^¡!AB,où

¡!estlevecteurrotationdusolideconsi-

déré par rapport au repère dans lequel on calcule les vitesses.

7.2 Composition des mouvements

Composition des vitesses: on considère un point matériel dans les repèresR(absolu) etR0(relatif),

OetO0sont les origines respectives deRetR0.¡!est le vecteur rotation du repèreR0par rapport au repèreR. L"application de la définition de la vitesse permet de montrer que¡! vaAE¡!vrÅ¡!veoù

¡!vaest la

vitesse absolue (dansR),¡!vrest la vitesse relative (dansR0) et¡!veest la vitesse d"entraînement, donnée

par¡!quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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