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Mécanique du solide

et des systèmes||

Jean-Claude Hulot

Professeur en classes préparatoires

Marc Venturi

Professeur de chaire supérieure

en classes préparatoires au lycée Carnot à Dijon© Nathan,classe prépa

Cet ouvrage fait partie de la collection " Classe prépa », une collectiond'ouvrages simples et accessibles couvrant l'ensemble des programmes

des classes préparatoires aux Grandes Écoles scientifiques. Élaborée pour aider les élèves à surmonter leurs difficultés, cette collec- tion est basée sur une approche pragmatique des programmes. Ainsi, chaque chapitre est constitué de cinq rubriques : • Retenir l'essentiel qui reprend les notions indispensables du cours et indique des conseils pour éviter les erreurs les plus fréquentes ; Avant la colle qui regroupe des QCM et des exercices d'application immédiate pour vérifier les connaissances ; Savoir résoudre les exercices qui, sur la base d'exercices " classiques », permet aux élèves de développer les méthodes indispensables en prépa : analyse de l'énoncé, démarche à suivre, réflexes à acquérir... terie d'exercices ; mentés.

Coordination éditoriale : Isabelle Ravilly

Relecture : Fanny Morquin

Composition : Softwin

Couverture : Marie-Astrid Bailly-Maître

Maquette intérieure : Thierry Méléard

© Nathan, 2009 - ISBN 978-2-09-160920-1

© Nathan,classe prépa

Avant-propos

La mécanique a non seulement pour but de décrire les mouvements des objets mais aussi d'en comprendre les causes (les forces). Les lois fondamen- tales de la mécanique newtonienne, associées à des modèles de forces, four- nissent les équations nécessaires à la compréhension et à la prévision des mouvements. Le domaine de validité des lois newtoniennes est vaste. Il s'étend des systè- mes ayant pour dimension celle de quelques molécules aux distances astro- nomiques entre les galaxies, à plusieurs centaines de millions d'années- lumière de la Terre, et englobe en particulier l'échelle des phénomènes de taille humaine. En dehors de ces domaines et pour quelques systèmes parti- culiers (superfluides, supraconducteurs...), la mécanique quantique ainsi que la mécanique relativiste restreinte et générale deviennent nécessaires. Le modèle du solide (au sens de système indéformable idéal) joue un rôle particulier mais extrêmement important. Les systèmes indéformables (ou quasi indéformables) sont fréquents autour de nous. La mécanique de ces objets acquiert ainsi un intérêt concret et directement utile. Même si les phénomènes en jeu nous semblent familiers (les forces de con- tact par exemple), leur compréhension et leur description mathématique restent difficiles. Loin d'être évident, le mouvement des objets ou la cause de ces mouvements restent parfois hors du " sens commun » et de l'intui- tion. Dans cet ouvrage destiné aux élèves de seconde année de CPGE, on rap- pelle dans le cours tous les théorèmes et relations au programme. Les exer- cices proposés sont issus pour la plupart d'écrits et d'oraux de concours d'entrée aux Grandes Écoles. Que ces exercices soient des vérifications et applications directes du cours ou qu'ils permettent de vérifier sa maîtrise et de s'entraîner, leur correction est toujours explicite et détaillée. Nous espérons que les étudiants trouveront ici les moyens de se familiariser avec les lois de la mécanique des systèmes. Nous voulons remercier très chaleureusement Philippe Fleury pour ses con- seils et ses remarques toujours judicieux et constructifs, les éditions Nathan, et tout particulièrement Isabelle Ravilly pour ses travaux d'éditions.

Jean-Claude Hulot

Marc Venturi

© Nathan,classe prépa

Sommaire

Avant-propos ......................................................................................................... 3

1Le centre de masse des systèmes matériels

1 - Définition et propriétés du centre de masse ............................................... 7

2 - Les symétries des systèmes matériels .......................................................... 11

savoir résoudre les exercices ........................................................................ 15

corrigés .......................................................................................................... 18

2Cinématique du solide

1 - Champ des vitesses d'un solide ................................................................. 23

2 - Cas particuliers de mouvements d'un solide ............................................. 24

3 - Contact entre deux solides ....................................................................... 26

4 - Rappel des lois de composition des vitesses

et des accélérations ........................................................................................

28

savoir résoudre les exercices ........................................................................ 33

s'entraîner ..................................................................................................... 36

corrigés .......................................................................................................... 37

3La résultante et le moment cinétiques

1 - La résultante cinétique ............................................................................. 41

2 - Le moment cinétique ............................................................................... 43

3 - Théorème de Koenig ................................................................................ 44

savoir résoudre les exercices ........................................................................ 49

s'entraîner ..................................................................................................... 52

corrigés .......................................................................................................... 54

4Moment cinétique d'un solide

1 - Moment d'inertie d'un système par rapport à un axe .............................. 61

2 - Moment cinétique d'un solide en un point d'un axe de rotation ............ 63

3 - Moment cinétique d'un solide

par rapport à un axe de rotation ...................................................................

65

savoir résoudre les exercices ........................................................................ 72

s'entraîner ..................................................................................................... 81

corrigés .......................................................................................................... 83

5Les actions sur un système

1 - La résultante des actions .......................................................................... 91

2 - Le moment des actions ............................................................................ 94

3 - Exemples d'actions sur des systèmes ......................................................... 96

savoir résoudre les exercices ...................................................................... 103

s'entraîner ................................................................................................... 108

corrigés ........................................................................................................ 113

6Énergie cinétique d'un système matériel

1 - Définition et expressions de l'énergie cinétique ..................................... 125

2 - Le second théorème de Koenig ............................................................. 127

savoir résoudre les exercices ...................................................................... 131

© Nathan,classe prépa

s'entraîner ................................................................................................... 138

corrigés ........................................................................................................ 141

7Les travaux des actions sur un système - Énergie potentielle

1 - Puissance et travail d'un système de forces ............................................. 147

2 - Puissance et travail des actions exercées sur un solide ............................ 149

savoir résoudre les exercices ...................................................................... 155

s'entraîner ................................................................................................... 159

corrigés ........................................................................................................ 162

8Théorème de la résultante cinétique

1 - Le théorème de la résultante cinétique ................................................. 171

2 - La loi de conservation de la résultante cinétique ................................... 172

savoir résoudre les exercices ...................................................................... 176

s'entraîner ................................................................................................... 185

corrigés ........................................................................................................ 188

9Théorème du moment cinétique

1 - Théorème du moment cinétique appliqué à un point matériel (rappel) .... 195

2 - Théorème du moment cinétique des systèmes matériels ........................ 196

3 - Théorème du moment cinétique scalaire ............................................... 197

4 - Conservation du moment cinétique ...................................................... 198

savoir résoudre les exercices ...................................................................... 202

s'entraîner ................................................................................................... 211

corrigés ........................................................................................................ 213

10Théorème de l'énergie cinétique

1 - Système fermé de points matériels .......................................................... 221

2 - Théorème de l'énergie cinétique appliqué à un solide .......................... 222

3 - Système de solides .................................................................................. 224

4 - Énergie potentielle et énergie mécanique ............................................. 225

savoir résoudre les exercices ...................................................................... 231

s'entraîner ................................................................................................... 237

corrigés ........................................................................................................ 239

11Actions de contact

1 - Description des actions de contact ......................................................... 249

2 - Les lois de Coulomb du frottement ....................................................... 251

3 - Puissance des actions de contact ............................................................ 254

savoir résoudre les exercices ...................................................................... 257

s'entraîner ................................................................................................... 262

corrigés ........................................................................................................ 269

Index ....................................................................................................................... 287

© Nathan,classe prépa

© Nathan,classe prépa

1 - Le centre de masse des systèmes matériels

retenir l'essentiel 7

Le centre de masse

des systèmes matériels Une notion très importante en physique est celle de centre de masse. Ainsi dans un réfé- rentiel galiléen, le centre de masse d'un système isolé a un mouvement rectiligne et uni- forme, alors que ce n'est généralement pas le cas d'un point quelconque du système. Plus généralement, on montrera dans les chapitres suivants que les lois du mouvement du cen- tre de masse sont relativement simples à écrire.

1Définition et propriétés du centre de masse

1.1.La masse

La masse est une grandeur physique qui, en physique newtonienne, a les propriétés suivantes : - elle est strictement positive ; - elle est additive : on peut sommer les masses de sous-systèmes disjoints (on dit que la masse est une grandeur extensive) ; - elle est conservée au cours du temps, quand le système est fermé ; - elle garde la même valeur dans tous les référentiels (on dit que c'est une grandeur inva- riante). En outre, c'est l'une des grandeurs fondamentales du Système International d'unités (SI). L'unité SI de masse est le kilogramme (kg). L'étalon international du kilogramme est con- servé au Bureau international des poids et mesures, à Sèvres. 1.2.

Le modèle du point matériel

Le point matériel est le système physique le plus simple, c'est-à-dire celui dont l'état com-

plet est décrit avec le plus petit nombre de paramètres. Ce nombre se réduit à trois variables

réelles, les trois coordonnées de position dans l'espace ( dans une base cartésienne ou dans une base cylindrique par exemple). Il ne faut pas confondre un point matériel avec un système ponctuel. Ce dernier peut pos-

séder d'autres paramètres d'état qui en font un système plus complexe qu'un point matériel.

xyz,,() rθz,,()

Remarque

Par exemple, un dipô-

le électrostatique ponc- tuel possède, en plus de sa position et de sa masse, un vecteur mo- ment dipolaire électri- que. L'état complet du dipôle nécessite de connaître l'orientation de son moment dipo- laire. MP

© Nathan,classe prépa

retenir l'essentiel Mécanique du solide et des systèmes PC, MP, PT - © Nathan, Classe prépa 81.3.

Les systèmes de points matériels

1.3.1.Masse d'un système de points matériels

On considère un ensemble de N points matériels indicés par de masse respective Cet ensemble forme le système de points matériels : La description de l'état complet du système de N points matériels nécessite donc

3Ncoordonnées de position (3 pour chaque vecteur position ) et N masses.

On définit la masse M de l'ensemble du système grâce à la propriété d'additivité des

masses :

1.3.2.Le centre de masse d'un système de points matériels

Définition: le centre de masse (ou centre d'inertie) G d'un système matériel est le point géométrique G tel que : Il s'agit donc du barycentre des points matériels, pondérés par leur masse. Une expression plus utilisée pour déterminer explicitement la position de G est celle qui fait intervenir un point particulier du repère d'espace, son origine O le plus souvent. Dans ce cas, on montre que : 1.4.

Propriétés du centre de masse

1.4.1.Coordonnées du centre de masse

Soit un système d'axes Ox, Oy et Oz définissant une base cartésienne de l'espace. La base vectorielle associée est orthonormée directe. Soient les trois coordonnées cartésiennes du centre de masse G du système Alors Soient les trois coordonnées cartésiennes de chaque point matériel du sys- tème. Alors, les coordonnées de G sont données par :

Pi,i1...N,,,=

mi.S()

S()Pimi,()i1...N,,()?,{}=

S() OPi S() Mmi i1=N=

Remarque

Cette définition est

intrinsèque. Elle ne fait intervenir que les positions des points matériels de et leur masse, indépen- damment de tout système de coordon- nées. G est unique, sous réserve que la masse M du système soit non nulle, ce qui est le cas des systè- mes physiques en mécanique newto- nienne. S()

S()Pimi,()i1...N,,()?,{}=

miGPi i1=N0= OG1

M-----miOPi

i1=N= exeyez,,() xGyGzG,,()

S().OG xGexyGeyzGez++=.

xiyizi,,()Pi xG1

M-----mixi

i1=N= y G1

M-----miyi

i1=N z G1

M-----mizi

i1=N

© Nathan,classe prépa

9

1.4.2.Associativité du centre de masse

On est souvent amené, par commodité des calculs par exemple, à décomposer un système complexe en plusieurs sous-systèmes plus simples Sur la figure 1, est formé de la réunion de trois sous-ensembles disjoints. Soit un système matériel formé de sous-systèmes matériels, notés à Utilisons l'indice entier j pour indicer ces sous-systèmes : Soit le centre de masse du sous-système et la masse de ce sous-système. Soit G le centre de masse du système matériel et M sa masse totale :

Soit O un point de l'espace.

Alors on a :

1.5.

Les systèmes continus

1.5.1.Le centre de masse d'un système tridimensionnel

Un système de volume V, de masse M, est découpé (par la pensée) en éléments maté-

riels de volume δV et de masse δm. Chaque élément est repéré et distingué des autres par

son centre de masse P. On notera donc les volume et masse et pour les distinguer entre eux (fig. 2). On définit la masse volumique moyenne de l'élément matériel : Lorsque l'élément de volume δV tend vers 0, on obtient la masse volumique locale : La relation précédente peut se noter de manière équivalente . Pour la détermination du centre de masse d'un système matériel composé, cha- que sous-système est équivalent à un seul point matériel : son centre de masse affecté de la masse du système

S()s().S()

Fig. 1

(S )(s 1) (s 3)(s 2)

S()N′s1()sN′().

j 1 ...N′.,,=

Gjsj()mjmsj()=

S()Mmj

j 1=N=. OG1

M-----mjOGj

j1=N′= S() sj() Gjmj. S()

δVP()δmP()

Fig. 2

PδVδV

(P )δm δm (P )V P(S

ρP()ρP()δmP()

δVP()----------------.=

ρP()δm

δV-------

δV0→limdm

dV--------== dmρP()dV=

© Nathan,classe prépa

- © Nathan, Classe prépa

10Le symbole de sommation discrète Σ, qui utilise des indices entiers, est remplacé par le

symbole qui décrit une sommation continue sur un ensemble de points P du volume

V qui définit le système

La masse totale s'exprime alors par : et le centre de masse G est défini par : De même, les coordonnées de G s'obtiennent en projetant cette expression vectorielle sur une base cartésienne telle que les coordonnées du point P soient : Les cas bidimensionnel et unidimensionnel sont traités en exercice.

1.5.2.Les théorèmes de Guldin

Les théorèmes de Guldin, mathématicien suisse (1577-1643) contemporain de Galilée, per- mettent, dans certains cas, une détermination rapide de la position du centre de masse.

Ils s'énoncent de la façon suivante.

Premier théorème de Guldin

Soit une courbe plane, de masse linéique

λ uniforme, de longueur L, de centre de masse

G (fig. 3).

Soit Δ un axe ne coupant pas La rota-

tion de autour de Δ engendre une surface d'aire S.

Alors la distance d de G à l'axe Δ est .

Second théorème de Guldin

Soit une surface plane, de masse surfaci-

que σ uniforme, d'aire S, de centre de masse

G (fig. 4).

Soit Δ un axe ne coupant pas La rota-

tion de autour de Δ engendre un volume V.

Alors la distance d de G à l'axe Δ est .

V S(). MdmV= OG1

M----OPdmV

1

M----ρP()OPdVV==

xyz,,() xG1

M-----ρP()xdVV=

y G1

M-----ρP()ydVV

z G1

M-----ρP()zdVV

dS

2πL----------=

Fig. 3

L Gd dV

2πS----------=

Fig. 4

(?) d G V

© Nathan,classe prépa

11

1.5.3.Enveloppe convexe (ou minimale) d'un système de points

Définitions:

- Dans le cas d'un système plan, l'enveloppe mini- male du système est la courbe de plus petite lon- gueur contenant tous les points (fig. 5). - Dans le cas d'un système à trois dimensions, l'enveloppe minimale est la surface de plus petite aire contenant tous les points.

2Les symétries des systèmes matériels

2.1.Invariance d'un système

Soit un système matériel décrit par le champ de masse volumique La transformation T laissant le système invariant est aussi appelée symétrie du sys- tème

Couramment, les symétries des systèmes matériels sont constituées par, outre l'élément

neutre, les opérations suivantes : - les translations ; -les rotations; - les symétries planes (opération miroir) et ponctuelles (inversion). 2.2.

Points invariants

Définition: un point P d'un système est dit invariant par une transformation T si

Exemples:

- l'opération identité : tous les points sont invariants ; - les translations : aucun point n'est invariant ; - les rotations : l'ensemble des points invariants constitue l'axe de rotation ; - les symétries planes (opération miroir) : l'ensemble des points invariants constitue le plan de symétrie ; - les symétries ponctuelles (inversion) : le point invariant est le point de symétrie. Le centre de masse G d'un système matériel se trouve à l'intérieur de l'enve- loppe minimale de Définition: on dit que le système est invariant par une transformation T si pour tout point M de d'image Autrement dit, on ne peut pas distinguer le système après la transformation du système avant l'opération. Il s'agit de déterminer les invariances de par ces transformations.

Remarque

On montre mathé-

matiquement que cette enveloppe est convexe, c'est-à-dire qu'elle contient tous les points du segment reliant deux points quelconques à l'inté- rieur de l'enveloppe.Fig. 5 S() S().

Attention

Il ne faut pas confon-

dre " élément de sy- métrie » d'un système et les opérations " sy- métrie ponctuelle » ou " symétrie plane ».S()ρM(),MS().?

Remarque

L'ensemble des sy-

métries d'un système forme un groupe.

L'opération identité,

qui correspond à une symétrie pour tous les systèmes, consti- tue l'élément neutre du groupe de symé- trie d'un système. S()

S()M′TM[],=ρM′()ρM().=

S() S(). S()

PTP[].=

ρP()

© Nathan,classe prépa

retenir l'essentiel Mécanique du solide et des systèmes PC, MP, PT - © Nathan, Classe prépa 12

2.3.Symétries et centre de masse

En d'autres termes, si le système possède une symétrie T, son centre de masse est inva- riant par cette transformation :

On justifiera cette propriété en exercice.

Le centre de masse est un des points du système invariant par l'ensemble des éléments de

symétrie du système. Si on peut montrer que les symétries ne préservent qu'un seul point,

le centre de masse est alors entièrement déterminé, et l'on évite ainsi de longs calculs.

Le centre de masse G d'un système matériel est un point invariant des opéra- tions de symétrie du système.S() S()

TG[]G.=

© Nathan,classe prépa

1 - Le centre de masse des systèmes matériels

13

Tester ses connaissances?Corrigés p. 18

1Montrer que la définition intrinsèque de G

est équivalente à l'expression :

2Démontrer la relation d'associativité

où le point est le cen- tre de masse du système de masse On considérera que le système i est formé des points matériels de masses telles que

3Écrire la relation analogue à

définissant le centre de masse G pour :

1.une distribution volumique de masse

2.une distribution surfacique de masse

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