Polycopié dexercices et examens résolus: Mécanique du point
Caractériser le vecteur vitesse de la balle lors de son impact sur le sol. Corrigé : 1. La méthode est rigoureusement la même que pour l'exercice de
Exercices et Contrôles Corrigés de Mécanique du Point Matériel
Calculer cos( ?. uA uB)
L1 L2
Loïc Villain. 22 fiches. Résumés de cours. 107 exercices corrigés. Méthodologie et conseils. L1 L2. M écanique du point. PHY. SIQUE. Mécanique du point. L1.
Stratégie de résolution dexercice en mécanique du point matériel
21 sept. 2007 d'édition « Ellipses » est intitulé « Mécanique newtonienne du point : Exercices corrigés ». [63]. Alors que le manuel publié dans la même ...
CAHIER COURS SIMPLIFIES 100 EXERCICES CORRIGES
MECANIQUE DU POINT MATERIEL L'énergie mécanique…………………………………………………………… 205 ... Corrigés des exercices 1.7 à 1.12: Exercice1.7 :.
MECANIQUE DES FLUIDES. Cours et exercices corrigés
Dans l'étude dynamique nous serons amenés à distinguer les fluides incompressibles et les fluides compressibles. Le chapitre 1 constitue une introduction à la
Cinématique et dynamique du point matériel (Cours et exercices
À la fin de ce polycopié nous proposons quelques exercices corrigés. MAHAMDIA
Polycopié dexercices et examens résolus: Mécaniques des
1- Pour quelles valeurs des paramètres ? ? et ?
Exercices de Mécanique
Mêmes questions qu'`a l'exercice précédent dans le cas de la base locale Sur une route rectiligne Ox une voiture (1) de longueur l1 de vitesse v1 ...
Cours et Exercices de mécanique du point matériel
C'est aussi un support utile à nos étudiants en L1- SM et ST pour bien préparer leurs contrôles continus et examens du Semestre 1. Page 3. TABLE DES MATIERES.
Ex-M1.1Base locale cylindrique
Retenir :
nous avons absolu- ment besoin dela base cylindriqueÜdonc : la com-
prendre et bien eyez H m M O xyzex ey Ozxy MVue de dessusz
HM mOVue dans le
"plan de la porte" ezEx-M1.3Mouvement circulaire uniforme :
Un" disque vynile 33 tr », placé sur la platine du tourne- disque, effectue un mouvement de rotation uniforme à raison de 33 tours par minute. Calculer :1)sa vitesse angulaire de rotation, sa période et sa fré-
quence;2)la vitesse et les accélérations (normale, tangentielle et
totale) d"un pointMà la périphérie du disque (rayonR=15cm).
3)même question pour un pointM0tournant àr= 5cm
du centre du disque.Rép. : 1)!= 3;5rad:s¡1;f= 0;55Hz;T= 1;8s.
2)v= 0;52m:s¡1;an= 1;8m:s¡2;at= 0;a=?
a2t+a2n.
3)v0= 0;17m:s¡1;a0n= 0;6m:s¡2;a0t= 0;a0=a0n.
mouvement uniformen'estpasnulle si la trajectoire n'estpasune droite.Autrement dit :
Pour chacune des questions, indiquer les propositions exactes : b) de m^eme sens que le vecteur vitesse; c) toujours de valeur constante. a) tangent µa la trajectoire; c) nul si la vitesse deMest constante.Ex-M1.5Relation vitesse-position :
4a.Ex-M1.6Poursuite en mer
se dirige vers l'est µa la vitessevAetBvers le nord µa la vitessevB. La courbure de la surface2)Quelle directionBdoit-il prendre pour rattraperAavec un mouvement rectiligne uniforme?
v 2A v2A+v2B;2)¿=d0
v2B¡v2A¨
Ex-M1.7Mouvement elliptique(ÜCf CoursM7)
1 +ecosµ
2)Sachant que le mouvement est tel quer2_µ=cste=C,
PM Oq 2 ; ¼;3¼ 2 quel point de la trajectoire la vitesse est-elle maximale? minimale?¡!v=C?esinµ
p¡!er+1 +ecosµ
p¡!eµ?
;3)v2=v2r+v2µ=C2 p2(1 +e2+ 2ecosµ).
2http ://pcsi-unautreregard.over-blog.com/qadripcsi@aol.com
(base" locale » = base définie enM) :OM=r¡!er+z¡!ez
vM=R= _r¡!er+r_µ¡!eµ+ _z¡!ez dRque : Une B.O.N.D. vérifie la " règle des trois doigts de la main droite »Üalorsvérifiez-le
avec la vôtre, de main droite! eyez H m M O xyzex ey Ozxy MVue de dessusz
HM mOVue dans le
"plan de la porte" ez er eq ezr eqer r er eq qr e q H z z ez ez qSolution Ex-M1.2
Ma pour coordonnées(r; µ; ')dans le référentielRd"origineOet de Base locale(¡!er;¡!eµ;¡!e')
(base " locale » = base définie enM) :OM=r¡!er
vM=R= _r¡!er+r_µ¡!eµ+rsinµ_'¡!e' dRque : Une B.O.N.D. vérifie la " règle des trois doigts de la main droite »Üalorsvérifiez-le
avec la vôtre, de main droite! ex ej ey er eq ez H m M O xyzex ey Ozxy MVue de dessusz
HM mOVue dans le
"plan de la porte" ez j qrer r er r je j ej eq eqqSolution Ex-M1.4
1.b)(la réponse c) n"est vraie que lorsqu"on exprime l"accélération dans la base cartésienne; elle
est fausse si on travaille dans la base polaire));2.a);3.b);4.c) Sur une route rectiligneOx, une voiture(1)de longueurl1de vitessev1double un autocar de longueurLet de vitesseV. En face arrive une voiture(2)de longueurl2à la vitessev2. Quelle distance minimumDentre l"avant de la voiture(1)et l"avant de la voiture(2)permet à la voiture (1)de doubler?A.N.avecl1=l2= 4m,L= 20m,v=v2= 90km:h¡1etV= 72km:h¡1. qadripcsi@aol.comhttp ://pcsi-unautreregard.over-blog.com/3¦Ex-M1.9Vitesse moyenne et vitesse maximale
Un automobiliste parcourt une distanced= 1;25kmsur une route rectiligne. Son mouvementest uniformément accéléré, puis uniforme, puis uniformément retardé. L"accélérationaest égale
en valeur absolue à0m:s¡2ou à2;5m:s¡2et la vitesse moyenne vaut75km:h¡1. Déterminer la vitesse maximale de l"automobiliste.Rép :vmax=a:d
2vmoy¡?
a:d2vmoy?
2¡a:d= 25m:s¡1= 90km:h¡1
Ex-M1.10Spirale et base polaire
Un point matériel M parcourt avec une vitesse de norme constantevla spirale d"équation po- laire :r=aµ. Exprimer en fonction deµet devle vecteur vitesse de M dans la base polaire.Rép. :¡!v=v
p1 +µ2(¡!er+µ¡!eµ).
Soit l"hélice droite définie en coordonnées cylindriques par les équations :r=Retz=hµ et orientée dans le sensµcroissant (soithcste>0). L'origine de la trajectoire du point M est enz= 0.1)Déterminer les équations de l"hélice en coordonnées car-
tésiennes.2)Le point M parcourt l"hélice à une vitesse constantev.
a) Déterminer les vecteurs vitesse et accélération en fonction deR, hetv. b) Montrer que l'angle®=(¡!ez;¡!v)est constant.En déduire l'hodographe du mouvement.xyz
2 hp
Ex-M1.12Mouvement cycloijdal (**)
Une roue de rayonRet de centre C roule sans glis-
ser sur l"axe(Ox)à vitesse angulaire!constante tout en restant dans le plan(Oxz). Soit M un point liée à la roue situé sur la circonférence. À l"instant t= 0, M se trouve enM0(x= 0; z= 2R). Les mou- vements sont étudiés dans le référentiel Rassocié au repère(O;¡!ex;¡!ey;¡!ez).1)Comment exprimer la condition " la roue ne
glisse pas »? xz exeye z wM O0 M CC eyq I 02)Déterminer les coordonnéesxCetzCde C à l"instantt.
3)Même question pour M.
4)Étudier la trajectoire définie par le système d"équations paramétriques(x(µ);z(µ))avecµ=
!t. La tracer pourµ2[-4¼; 4¼].5)Calculer la vitesse¡¡¡!vM=Rdu point M à l"instantt. Exprimer sa normeven fonction de???cosµ
2En déduire l"hodographe du mouvement.
6)Calculer l"accélération¡¡¡!aM=Rdu point M à l"instantt. Exprimer sa norme en fonction deR
etv. Calculer numériquement cette norme de l"accélération dans le cas d"un point périphérique
d"un pneu de voiture roulant à130km:h¡1sur une autoroute (R= 35cm).7)Déterminer¡¡¡!vM=Ret¡¡¡!aM=RlorsqueMest en contact avec l"axe(Ox).
4http ://pcsi-unautreregard.over-blog.com/qadripcsi@aol.com
Il est nécessaire de faire deux sché-
mas de l"axeOxoù, sur le pre- mier, on fait apparaître les posi- tions des trois véhicules au début du dépassement (l"origineOétant l"avant de la voiture (1) coïncidant,àt= 0, avec l"arrière du bus qu"elle
dépasse) et où, sur le second, on re- présente les positions des véhiculesà la fin du dépassement dans la si-
tuation la plus critique, la voiture (1) se rabattantin extremis.l1l2 L O D x x v1v2 V t=0 t=tfEn utilisant les propriétés du mouvement rectiligne uniforme, on écrit les équations horaires des
diérents points : on notex1les abscisses relatives à la voiture qui double,x2celles relatives à
la voiture qui arrive en face etXcelle relatives au bus. On note l"indiceAVpour l"avant d"un véhicule etARpour l"arrière de ce véhicule. x1;AV=v1t x1;AR=v1t¡l1?
XAV=V t+L
XAR=V t?
x2;AV=¡v2t+D x2;AR=¡v2t+D+l2
À la datetfde la fin du dépassement, l"accident sera évité si : x1;AR=XAV x1;AV< x2;AV,?v1tf¡l1=V tf+L
v1t <¡v2t+D)?
???t f=L+l1 v1¡V
D > v1+v2 v1¡V(L+l1) = 240m
Solution Ex-M1.12
1)Condition de roulement sans glissement :C0C=?OI()vt=Rµ()v=R_µ´R!.
2)¡¡!OC?xC=Rµ=R!t
z C=R 3) ¡¡!OM=¡¡!OC+¡¡!CM?xC=R(µ+ sinµ) =R(!t+ sin!t) zC=R(1 + cosµ) =R(1 + cos!t)
4)z(µ)est une fonction périodique paire
de période2¼etx(µ+2¼) =x(µ)+2¼R: il suffit donc d"étudierxetzsurµ2[0;2¼].Le reste de la courbe se déduisant par
translation de2¼Rselon(Ox)et par sy- métrie par rapport àOzsi on veut tracerOn étudie d"abord
?x0(µ) =R(1 + cosµ) z0(µ) =¡Rsinµ
On pose²=µ¡¼pour étudier la tangenteà la courbe au point de paramètreµ=¼.
Le coefficient directeur de la tangente à la
courbe est :p=dz dx=dz dµdµ dx=z0(µ) x0(µ)
p=¡Rsin(¼+²)R(1 + cos(¼+²))=sin²
1¡cos²
z(q) 0 pR2R 2pR x(q)3pR !Doncp(µ=¼) = lim²!0sin²1¡cos²'²
2=2=2 ¡! 1: la tangente enµ=¼[2¼]est verticale : on dit que la courbe présente un point de rebroussement enµ=¼. qadripcsi@aol.comhttp ://pcsi-unautreregard.over-blog.com/5 _z¡R!sin!t
¡R!sinµ
Cl :L"hodographe du mouvement est donc un cercle de centre(R!;0)et de rayonv=R!.De plus :
v2M= _x2+ _z2=R2!2:2(1 + cos!t) = 4R2!2cos2µ
2 !vM= 2R!jcosµ 2 j 6)¡!aM=R=
¡R!2sin!t=¡!2
Rsinµ
¡R!2cos!t
Rcosµ
¡!aM=R=¡!2¡¡!CM
Soit :a=!v=v2
R ; A. N. :a¼3;7:103m:s¡2.¥Dynamique newtonienne
M2 Soit trois cubes (1), (2) et (3) posés l"un sur l"autre, l"ensemble reposant sur le sol (S). On note¡!F1!2l"action de (1) sur (2), par exemple. !Calculer :F1!2,F3!2etFS!3. Données :m1= 100g;m2= 200g;m3= 400g;g= 10;0m:s¡2.Rép. :F1!2=m1g= 1;0N;F3!2= (m1+m2)g= 3;0N(1)
(2) (3) (S) FS!3= (m1+m2+m3)g= 7;0N.
Rq :Les expressions littérales peuvent sembler intuitives : mais, ici, on de les établir par un
raisonnement(élémentaire, certes, mais raisonnement quand même!)Ex-M2.2C¾±cient de frottement
Une bille de massem= 120gtombe dans un
fluide. On a enregistré sa vitesse (norme)ven fonction du temps.1)Quelles sont les différentes phases du mou-
vement?2)Donner une valeur approximative du temps
caractéristique¿de ce mouvement.3)Quelle est la valeur limite dev(notée
v lim)?4)En négligeant la poussée d"Archimèdeet en prenant¡!f=¡k¡!v(k >0) comme force de
frottement, établir l"équation différentielle satisfaite parv.5)En déduire l"expression devlimen fonction dem,ketg.
6)Calculer la valeur dek.
Rép : 2)¿¼0;4s(cf. "méthode de la tagente»);4/5)cf.Cours;6)k¼0;29kg:s¡1 (attention aux unités!; cf.Cours).Ex-M2.3Profondeur d'un puits
Pour mesurer la profondeur d"un puits, Mímir laisse tombe rune pierre du bord du puits etchronomètre la durée qui s"écoule jusqu"au moment où il entend le bruit de l"impact de la pierre
au fond du puits (il a pris soin de placer son oreille à hauteur du bord du puits). La durée mesurée
est¢t= 2;6s.!Calculer la profondeurhdu puits.On négligera les frottements de l'air sur la pierre et l'équation enhsera résolue numériquement.
Données :g= 9;81m:s¡2; célécité du son dans l"air :c= 340m:s¡1.6http ://pcsi-unautreregard.over-blog.com/qadripcsi@aol.com
2h g+h c; d"où :h¼31m:Ex-M2.4Anneau glissant sur un cercle
Un anneau ponctuelMde massemest enfilé sur un cercle fixe de centreOet de rayonbplacé horizontalement dans le plan(Oxy).´À l"instantt= 0, une vitesse initiale¡!v0tangente au cercle est communiqué à l"anneau qui glisse alors sans frottement le long du guide. !Déterminer les composantes de la réaction¡!Rdu guide circulaire sur l"anneau.z x yb qg O M Ex-M2.5Point soumis µa une force centrale et µa une force de frottement °uide Un point matériel M de massemse déplace sur un plan horizontal (on suppose la réaction du plan normale au plan). M est lancé à partir de M0, de coordonnées cartésiennes(0; y0)et est
soumis à la force¡!F=¡a¡¡!OMet à une force résistante¡!f=¡b¡!v(a et b sont des constantes
positives).1)Établir en coordonnées polaires, les équations différentielles du mouvement de M.
2)Dans le cas où_µ=!=cste, déterminer!et l"expression deren fonction du temps.
Rép : 1)Système? référentiel? bilan des forces? projeter leP.F.D.dans la base cylindrique;
2)r(t) =y0exp?
¡bt
2m? et!=? a m¡b2
4m2.Ex-M2.6Chute libre d'une tige
Une tige rectiligneABverticale de longueurl= 80cm, lâchée avec une vitesse initiale nulle, tombe en chute libre dans le vide. Elle passe au cours de sa chute par un trou ménagé dans uneplaque horizontale de faible épaisseur. Quand son extrémité inférieureAatteint le trou, sa vitesse
estv= 5m:s¡1.1)À quelle distancehde la plaque se trouvait initialement le pointA?
2)Quelle est la vitessev0de la tige lorsque son extrémité supérieureBsort du même trou?
3)Quelle est la duréeTdu passage de la tige à travers le trou?
Rép : 1)h= 1;25m;2)v0= 6;4m:s¡1;3)T= 0;14s.
sorts horizontaux Le référentiel terrestre est supposé galiléen. Un point matérielMde massemest attaché à deux ressort (1)et(2)horizontaux de raideursk1etk2, et de longueurs à videl01etl02reliés à deux points fixesAetBdistants de(l01+l02).
Le pointMglisse sans frottement le long de l"axe
(Ox)à partir de sa position d"équilibre. Il est repéré sur cet axe par son abscissex= OM. eyex ez l02l01 k 2k1 OM x (1) (2) BA1)Justifier la position d"équilibre enOdu pointM.
2)Établir l"équation différentielle du mouvement deM. En déduire la périodeTdes oscillations
et la raideurkdu ressort équivalent à cette association.3)À l"instantt= 0, le point matériel est abandonné sans vitesse initiale du pointM0d"abscisse
x0. Déterminer l"équation horaire du mouvementx(t).
Rép : 2)T=2¼
0= 2¼?
m k1+k2;3)x(t) =x0cos(!0t).
qadripcsi@aol.comhttp ://pcsi-unautreregard.over-blog.com/7quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47[PDF] mecanique quantique exercices corrigés gratuit
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