[PDF] Travaux dirigés de mécanique quantique – L2 ; 2019

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Travaux dirigés de mécanique quantique - L2 ; 2019

Constantes Physiques

c= 299792458 m=skB= 1:3806581023J=K h= 6:6260761034Js~= 1:0545731034Js

0= 8:8541881012F=me= 1:6021771019C

R

1= 10973731:534 m

1a0= 0:5291771010m

m e= 9:1093901031kgmp= 1:6726217771027kg m n= 1:6749273511027kgNA= 6:0221371023mol1

2=(2mea20) =e2=(80

a0) = 13:61 eV

2 - Les échecs de la physique classiques

1 Rayonnement du corps noir

a) On considère la loi de déplacement de Wien et on étudie un corps noir maintenu à la température de 2500

K. Calculer, en nanomètres, la longueur d"onde pour laquelle l"émission est maximale d"après la loi de Wien.

Cette longueur appartient-elle au visible?

b) Démontrer la loi de déplacement de Wien à partir de la formule de Planck : (;T) =8hc 5 1exp( hck BT)1;

où(;T)est la densité d"énergie électromagnétique du rayonnement de corps noir par unité d"intervalle de

longueur d"onde, pour la longueur d"ondeet la températureT.

c) D"après la loi de Planck, montrer que la puissance totale émise par un corps noir (c"est-à-dire pour toutes

les longueurs d"onde) est proportionnelle à la puissance quatrième de la températureT.

2 Effet photoélectrique

On envoie sur une photocathode en potassium une radiation ultraviolette= 253;7nm (raie du mercure); on

constate que l"énergie maximale des photoélectrons éjectés est 3,14 eV. Si on envoie une raie visible= 589;5

nm (raie jaune du sodium), l"énergie maximale est alors 0,36 eV. a) Retrouver la valeur de la constante de Planck. b) Calculer l"énergie d"extraction minimale des électrons du potassium.

c) Calculer la longueur d"onde maximale des radiations pouvant produire un effet photoélectrique sur le potas-

sium. 1

3 L"atome d"hydrogène de Bohr

Selon le modèle de Bohr de l"atome d"hydrogène, l"électron tourne autour du proton sur des orbites circulaires.

a) Considérant un référentiel dont l"origine est au centre du proton, écrire l"équation fondamentale de la dy-

namique pour le mouvement de l"électron sur une orbite circulaire. En déduire la vitessevde l"électron en

fonction de la distancerentre l"électron et le proton.

b) Bohr postule que seules certaines trajectoires circulaires privilégiées, appeléesorbites stationnaires, peuvent

être suivies par l"électron. Pour quantifier ces orbites, Bohr reprend une condition établie antérieurement

partant de l"idée que toute grandeur d"un système quantique qui s"exprime en joules secondes, comme la

constante de Planck, est égale à un multiple entier de cette constante. Montrer que l"intégrale de la quantité

de mouvementpd"une particule le long d"une trajectoire quelconque, à savoir : S=Z ~pd~l

a bien les mêmes dimensions que la constante de Planck. Dans le cas de la trajectoire circulaire d"un électron,

déterminer la condition de quantification en intégrant sur un cercle. Cette condition de quantification a été

interprétée par Louis de Broglie comme une condition derésonancede l"onde associée à l"électron.

c) Calculer l"expression des rayonsrndes orbites stationnaires.

d) Calculer numériquement le rayona0de la plus petite orbite stationnaire, appelérayon de Bohr.

e) Calculer l"énergieEnde l"électron lorsqu"il circule sur une orbite stationnaire.

4 Temperature des étoiles

a) Comme=c, la loi de déplacement de Wien peut être mise sous la forme maxT= const;

oùmaxest la longueur d"onde à laquelle le rayonnement spectral est maximum pour une températureT

donnée. La valeur déterminée expérimentalement pour la constante de Wien est 2.898103m K. Si on

assume que la surface d"une étoile se comporte comme un corps noir, nous pouvons obtenir une bonne

estimation de leur température par une mesure demax. Pour le Soleil,max= 510nm, alors que, pour l"étoile polaire,max= 350nm. Trouver les températures de surface de ces deux étoiles.

b) En utilisant la loi de Stefan et les températures obtenues, déterminer la puissance émise par 1 cm

2de surface

stellaire.

5 Travail d"extraction

La figure ci-dessous montre le résultat d"une expérience ou une photocathode du sodium a été illuminée par de

la lumière. L"énergie cinétique des électrons éjecté a été mesurée en fonction de la fréquence de la lumière :a) Calculer le travail d"extraction pour le sodium

b) Quelle longueur d"onde de la lumière est nécessaire pour obtenir des électrons d"énergie 51019J?

2

6 Modèle de Bohr

a) Calculez (en nm) la longueur d"onde de la lumière émise quand un atome d"hydrogène subit une transition

du 2 emeétat excité vers le 1erétat excité.

b) Sans calcul numérique, comment se compare-t-elle à la longueur d"onde de la lumière émise dans une tran-

sition de 1 erétat excité vers l"état fondamental?

7 Séries de Rydberg

a) Utiliser la formule de Rydberg pour calculer les longueurs d"ondes pour les trois premières raies dans la

première série de Rydberg (la série de Lyman), en nm. b) Avec la même formule, estimer l"énergie d"ionisation pour l"hydrogène. 3

3 - Dualité onde - particule

8 Diffraction des particules quantiques

Outre les phénomènes de diffraction des électrons ou des neutrons thermiques, diverses expériences d"inter-

férences, du type fentes d"Young, ont également permis de vérifier l"expression de la longueur d"onde de de

Broglie. Les particules utilisées ont été des électrons, des neutrons, des ions, et, plus récemment, des molécules.

Les longueurs d"onde mises en jeu sont cependant bien inférieures à celles de la lumière ainsi que nous allons le

voir.

a) Déterminer l"expression de la longueur de l"onde associée à un faisceau monocinétique d"électrons accélérés

sous une différence de potentielV. Calculer cette longueur d"onde pourV= 10kV.

Des molécules de fullerène C

60ont été utilisées pour effectuer une expérience d"interférences. Ces molécules

comportent 60 atomes de carbone situés aux sommets d"un icosaèdre tronqué (voir figure), polyèdre ayant la

structure d"un ballon de football.b) Les molécules sortent d"un four à environ 1000 K à une vitesse la plus probable de 220 m/s. Calculer la

longueur d"onde de de Broglie des ondes associées à ces molécules. c) Un faisceau collimaté de ces molécules traverse un réseau nanogravé de SiN xcomposé de fentes de largeur

nominale 50 nm et dont la période est de 100 nm. La figure d"interférence est mesurée à une distanceDdu

réseau avec une résolution de l"ordre du micromètre (voir figure de droite). Les premiers minima bordant la

frange centrale sont bien visibles. EstimerDà partir des données du problème.

9 Diffraction d"électrons

a) On envoie sur un cristal métallique, où deux atomes voisins sont distants dea= 200pm, un faisceau

d"électrons d"énergie cinétiqueEc= 20eV. Évaluer la longueur d"onde de de Broglie,dB, caractéristique

des électrons. b) Est-ce qu"on peut prévoir un phénomène de diffraction? Pourquoi?

10 Recul dû à des photons

a) Un faisceau de lumière infrarouge a une longueur d"onde de 852 nm. Quelle est la quantité de mouvement

d"un seul photon de ce faisceau? b) Si un atome de césium (avec massemCs= 133u) absorbe des photons avec un tauxdN=dt= 1:6107s1, quelle est l"accélération de l"atome, exprimée eng?

11 Déplacement de recul

Un système atomique dans un état excité d"énergieE1revient dans son état fondamental d"énergieE0en

émettant un photon qui emporte la différence d"énergie rendue disponible.

On suppose le système, de massem, initialement au repos. Montrer que la conservation de la quantité de

mouvement lui communique un certain recul et qu"il emporte, en conséquence, une fractionEde la différence

d"énergieEa=E1E0, laissant au photon l"énergieEaE. Montrer que dans les conditions courantes non

relativistes oùEamc2, on aE'E2a=(2mc2). 4

12 Effet Compton

La figure suivante illustre l"effet Compton. En physique quantique, un faisceau de radiation électromagnétique,

de fréquence, est considéré comme un flux de photons qui ont des caractéristiques de particules. Chacune de

ces particules a une énergieE=het une quantité de mouvementp=h=, oùest la longueur d"onde. La

diffusion de ces particules sur des particules chargées peut alors être vue comme une collision.

On suppose qu"un photon se déplaçant le long de l"axe desxsubit une collision avec une particule de masse

m

0. Suite à la collision, le photon est diffusé suivant un angleet sa fréquence est changée.

Trouver l"augmentation de la longueur d"onde du photon en fonction de l"angle de déflection.xyh!h/!E

0 xy

Avant la collisionAprès la collisionp,Eh!

h/! !!13 Pression de radiation

On considère un faisceau de lumière monochromatique d"intensitéI(unité W/m2) et de fréquencefrappant

une surface totalement absorbante. On suppose que la lumière est incidente suivant la normale à la surface. En

utilisant la théorie électromagnétique classique, on peut montrer qu"il y a une pression sur la surface, appelée

la pression de radiation, qui est reliée à l"intensité de la source parP=I=c.

a) Cette pression de radiation est-elle présente dans la description quantique en terme de photons?

b) Quelle est la pression de radiation en fonction du flux de photonsN? 5

4 - La fonction d"onde

14 Amplitude de probabilité

Une particule peut suivre deux trajectoire différentes et indiscernables, vers un détecteur. Les deux différentes

fonctions d"ondes qui correspondent aux trajectoires sont : A

1(x) =Beikx

A

2(x) =Dei(kx+'):

Les quantitésBetDsont réelles et'représente une différence de phase. a) Quelle est la probabilité que la particule prenne la trajectoire 1? b) Quelle est la probabilité que la particule prenne la trajectoire 2? c) Quelle est la probabilité totale de détecter la particule par le détecteur? d) Supposons queB=D. Calculez les probabilités totales pour les deux cas'= 0et'=.

15 Fonction d"onde et probabilités

Au tempst= 0, une particule est représentée par la fonction d"onde : (x;0) =8 >:A xa ;si 0xa; A (bx)(ba);siaxb;

0;ailleurs;

oùA,aetbsont des constantes. a) Normaliser(c"est-à-dire, exprimerAen fonction deaetb). b) Tracer(x;0)en fonction dex. c) Où est-il plus probable de trouver la particule àt= 0?

d) Quelle est la probabilité de trouver la particule à gauche dea? Contrôlez votre résultat pour les cas limites

b=aetb= 2a.

16 Dérivés partielles

Considérons la fonction d"onde :

(x;t) = sin2 (xvt) Pour cette fonction, calculer les quatre dérivés partielles suivantes : @(x;t)@x ;@(x;t)@t ;@2(x;t)@x

2;@2(x;t)@t

2:

17 Valeur absolue d"une fonction d"onde

Montrer que la fonction(x;t)(x;t)est forcement réelle et positive (ou zéro).

18 Normalisation

Normaliser la fonction :

(x;t) =Ae(pCm=2~)x2e(i=2)pC=mt C"est à dire, trouver la constanteAexprimée en fonction deC,met~. On donne queR+1

1exp(x2)dx=p.

6

19 Fonction d"onde exponentielle

Une fonction d"onde est de la forme (x) =Aejxj=a.

a) Normaliser la fonction d"onde et préciser la valeur deAen fonction dea. b) Tracer la densité de probabilitéj (x)j2en fonction dex.

c) Quelle est la probabilitéP(b)de trouver la particule entrebet+b. TracerP(b)en fonction deb. Evaluer

la valeurb99debpour laquelleP(b) = 0:99.

20 Densité en parabole inversée

Une fonction d"onde est de la forme (x) =Ap1x2=a2pourax+aet zéro en dehors. a) Normaliser la fonction d"onde et préciser la valeur deAen fonction dea. b) Tracer la densité de probabilitéj (x)j2. Quelle est la position la plus probable? c) Calculer les valeurs moyennes de la positionhxiet de la quantité de mouvementhpi.

d) Calculer la valeur de moyenne de la position au carréhx2i. En déduire l"écart quadratique moyenx=phx2i hxi2

21 Interféromètre de Mach-Zender

Dans un interféromètre de Mach-Zender, les photons émis par une source traverse une lame séparatrice qui leur

fait suivre deux chemins possibles de même longueur. Sur chaque chemin, les photons sont réfléchis sur des

miroirs puis envoyés sur deux détecteurs par une seconde lame séparatrice. On a 4 amplitudes de probabilités

possibles de modules identiquesA. On noteAb1etAb2les amplitudes pour passer par le chemin du bas et

arriver sur les détecteur1et2.Ah1etAh2sont celles pour passer par le chemin du haut et arriver sur les

détecteurs 1 et 2. Sur le chemin du haut, on place un appareil qui donne un déphasageà la lumière. Pour le

moment = 0.Miroir Lame séparatrice Lame séparatrice

Détecteur 1Détecteur 2

Miroir

Chemin BasChemin Hauta) A chaque fois qu"un photon subit une réflexion sur un miroir ou une réflexion directe sur une lame, il subit

un changement de phase de. A chaque fois qu"un photon traverse une lame ou subit une réflexion après

avoir traversé l"épaisseur de la lame, il ne subit pas de changement de phase. Trouver les expressions des

amplitudes de probabilité. b) En déduire les probabilitésP1etP2d"arriver aux détecteurs 1 et 2.

c) On applique maintenant une phase supplémentairesur le chemin du haut. Retrouver les amplitudes de

probabilité et les probabilités. 7

5 - Opérateurs

22 Valeurs moyennes

Considérons la fonction d"onde normée :

(x;0) =8 :q2 a sinkx;si 0xa;

0;ailleurs;

oùk=n=aetnest un nombre entier (n= 1;2;3;4). a) Pourn= 1, 2 et 3, déterminer quelles valeurs dexsont les plus probables dans une observation. b) Déterminer les valeurs moyennes de la position pour les même trois valeurs den. c) Déterminer aussi les valeurs moyennes de la quantité de mouvement.

23 Largeur de bande d"une émission de télévision

Le signal émis par une station de télévision contient des impulsions de largeur totalet106s. Expliquer

pourquoi ce n"est pas possible de transmettre le signal dans la bande AM (0.5 MHz -1.5 MHz).

24 Transitions atomiques et nucléaires

Revenir à exercice 11, où nous avons calculé le déplacement de recul pour un système atomique qui émet un

photon. On a observé une petite différence entre l"énergie du photon émis et l"énergie de l"état excité de l"atome

due à ce recul.

a) Supposons maintenante que le niveau excité d"énergieE2possède une durée de vie. En déduire qu"il a une

largeur en énergieE2. Qu"en est-il, à cet égard, de l"état fondamental? A quelle condition un photon émis

comme indiqué plus haut peut-il être réabsorbé par un autre système de la même espèce, supposé au repos

dans son état fondamental? b) Appliquer ces résultats aux deux exemples suivants : - raie lumineuse visible du mercure :Ea= 4;86eV,= 108s,m= 3;41025kg; - émission du noyau de nickel :Ea= 1;33MeV,= 1014s,m=1,01025kg.

25 L"oscillateur harmonique quantique

On considère un oscillateur mécanique, de massem, à une dimension, soumis au potentiel harmoniqueV(x) =

12

kx2. L"énergie mécanique totale de cet oscillateur en fonction de sa positionxet de sa quantité de mouvement

ps"écrit :

E=p2x2m+V(x):

a) Rappeler brièvement en quoi consiste le mouvement d"un tel oscillateur six(t= 0) =x0etpx(t= 0) = 0.

Préciser son énergie mécanique en fonction dex0.

b) Dans une approche quantique, on se propose de voir comment les inégalités de Heisenberg permettent de

prévoir l"existence d"un état fondamental. On rappelle que la dispersionad"une grandeuraest donnée

par : (a)2=h(a hai)2i; oùh:::isymbolise la valeur moyenne au sens quantique pour un état du système. i : Donner un argument classique de plausibilité pour l"hypothèse suivante :hxi= 0ethpxi= 0. ii : Montrer que(x)2=hx2iet que(px)2=hp2xi.

iii : Utiliser l"inégalité de Heisenbergxpx~=2pour borner inférieurement l"énergiehEide l"oscillateur

par une fonction dehp2xiuniquement. iv : Montrer que cette fonctionhEipossède un minimum absolu que l"on exprimera en fonction de la pulsation caractéristique du système!=pk=m. 8

26 Vitesse d"un virus

Considérons un virus de taille 1 nm. Supposons que sa densité est égale à celle de l"eau et que le virus est localisé

dans une région environ égale à sa taille. Quelle est la vitesse minimale du virus?

27 Commutateurs

Prouver que, pour des opérateursA,BandC, les identités suivantes sont vraies : a)[B;A] =[A;B] b)[A+B;C] = [A;C] + [B;C] c)[A;BC] = [A;B]C+B[A;C]

28 Incertitudes de la position et de la quantité de mouvement

Une particule est décrite par la fonction d"onde suivante (x) =a

1=4eax2=2:

Calculerxetpet vérifier la relation d"incertitude. On donne +1Z 1 x nexp(x2)dx= ((n+ 1)=2) pourn0 où(n+ 1) =n(n),(1=2) =pet(1) = 1.

29 La position d"un positron

La vitesse d"un positron est mesurée à :vx= (4:000:18)105m/s,vy= (0:350:12)105m/s,vz=

(1:410:08)105m/s. Dans quel volume minimal était positionné le positron au moment de la mesure?

30 Interaction forte

En physique nucléaire, l"interaction forte entre deux protons (ou neutrons) est due à une particule qu"on appelle

le pion (noté). La particule est émise par un des protons puis absorbée par l"autre, ce qui transmet l"interaction.

Pendant que la particule existe, l"énergie du système est augmentée de son énergie de massemc2'139MeV. La

création de la particule est possible car l"énergie du système n"a pas une valeur fixe mais une certaine dispersion

E.

a) Trouver pendant quel temps typiquele pion peut vivre, par utilisation de la relation d"incertitude de

Heisenberg.

b) En déduire quelle distancedle pion peut parcourir au maximum durant sa vie. Cette distance est la portée

des forces nucléaire. Comparer là à la taille typique d"un noyau.

c) On reprend le calcul mais en supposant que la masse du pion tend vers zéro. Comment évoluerait la distance

d"interaction? Comparer au cas du photon, particule de masse nulle qui transmet l"interaction électroma-

gnétique. 9

31 Atome d"hydrogène

Un atome d"hydrogène est composé d"un proton de chargeeet d"un électron de chargeeet de masseme. Le

proton peut être supposé fixe et l"électron se déplace autour du proton dans un potentiel Coulombien

V(r) =e2401r

oùrest la distance proton-électron.

a) On suppose que l"incertitude sur la position de l"électron estret que la valeur moyenne de l"impulsionp

est nulle. En utilisant la relation d"incertitude, trouver que l"énergiehEidoit être supérieure à une certaine

expression dépendant uniquement der.

b) Chercher la valeur minimale possible de l"énergieEminet trouver pour quelle distancerminelle est obtenue.

c) Calculer les valeurs numériques deEminetrminet comparer aux énergies et tailles connues pour l"atome

d"hydrogène. On rappellee= 1:61019C,~= 1:051034kg m2s1,0= 8:851012C2m3kg1s2 etme= 9:11031kg.

32 Relation de Heisenberg

Une fonction d"onde normée est de la forme

(x) =1pa cosx2a poura < x < a et zéro sinon. a) Expliquer pourquoihxi= 0ethpxi= 0. b) Calculerx. c) Calculerpx. d) Vérifier la relation d"incertitude de Heisenberg.

On donne les relations suivantes :

=2Z =2cos

2(x)dx=2

;=2Z =2x

2cos2(x)dx=3624

'0:5605 10

7 - Le puits infini quantique

33 Particule quantique dans un puits rectangulaire infini

On considère une particule piégée dans un puits de potentiel. On suppose que le potentiel est nul pour0xa

et infini (très grand), pourx <0et pourx > a. Une particule n"allant jamais dans une région de potentiel infini,

x 0a ~22md

2 (x)dx2=E (x);

dont une solution générale s"écrit : (x) =Asinkx+Bcoskx: a) Trouver la valeur de l"énergieEen fonction dek. b) La fonction étant continue, elle doit s"annuler enx= 0etx=a. En déduire queB= 0et queka=n oùnest un entier. Pourquoi la valeurn= 0est-elle exclue? c) En déduire que les niveaux d"énergie sont donnés par : E n=~222ma2n2:

d) Représenter la fonction d"onde n(x)ainsi que la densité de probabilitéj n(x)j2des trois premiers niveaux.

34 Puits infini, symétrique autour l"origine

Considérer une particule de massem, piégée dans un puits infini (dans une dimension) de largeura:

V(x;0) =8

:0;sia2 xa2

1;ailleurs:

Trouver les état propres du Hamiltonien (c.a.d. les états stationnaires) et les énergies correspondantes. Vous

devriez trouver des résultats similaires à l"exercice 33.

35 Valeurs moyennes dans un puits infini

Considérer une particule de massemdans une potentiel infini en une dimension :

V(x;0) =8

:0;si 0< x < a;

1;ailleurs

Supposons que la particule se trouve dans l"état stationnaire n=q2 a sinnxa d"énergieE=2~2n22ma2. Calculer : a)hxiethpi b)hx2iethp2i c)xp 11

36 Loi de quantification

Déduire la loi de quantification d"un puits carré infini, E n=~2k2n2m=2~2n22ma2n= 1;2;3;4;5;::: ;

directement par ajustement, en supposant qu"on place un nombre entier de demi-longueurs d"onde,=2, dans

la largeuradu puits.

37 Le noyau d"un atome

Avant la découverte du neutron, on pensait qu"un noyau de numéro atomiqueZet de masseAmpétait

composé deAprotons et deAZélectrons mais il y avait un sérieux problème concernant l"importance de

l"énergie fondamentale pour une particule aussi légère que l"électron confinée dans une région aussi petite que

le noyau.

a) On approxime le noyau par un puits infini, de largeur1014m. Estimer l"énergie fondamentale d"un

électron en eV. Utiliser les expressions trouvées précédemment pour les énergies d"une particule dans un

puits infini (exercice 36, par exemple).

On appelle la plus basse de ces énergies l"énergie de "point zéro". C"est l"énergie cinétique minimale qu"a un

objet simplement par le fait qu"il soit confiné dans une petite région de l"espace.

L"approximation faite en supposant que le noyau est un puits infini est justifiable, de même que le fait de faire

un calcul unidimensionnel. Par contre, si l"énergie de point zéro est beaucoup plus large que l"énergie de masse

mc

2de l"électron, l"expression normale de l"énergie doit être remplacée par une version relativiste.

b) Quelle est l"énergie de masse de l"électron (en eV)?

c) Trouver une version relativiste de l"énergie quantifiée d"un puits infini. Vous pouvez utiliser la technique de

l"exercice 36 en prenantp=h=pour la quantité de mouvement. d) Avec cette formule (correcte) pour l"énergie, recalculer l"énergie du fondamental.

Pour qu"un électron reste dans le noyau avec cette énergie fondamentale, la profondeur du potentiel doit être plus

grande que cette énergie de point zéro. Le potentiel attractif agissant sur l"électron est l"attraction Coulombienne.

e) Estimer le potentiel en utilisant la même distance entre particules que la largeur du potentiel utilisée aupa-

ravant,1014m. Les valeurs des charges sontQ1=AeetQ2=eet on prendra une valeur typique pour le nombre de nucléons :A100.

f) Comparer cette valeur à l"énergie de point zéro trouvée. Quelle est la conséquence pour le modèle de noyau

proposé?

En 1932, Chadwick a découvert le neutron et nous savons maintenant qu"un noyau consiste enZprotons et

AZneutrons, les neutrons ayant une masse proche de celle du proton.

g) Expliquer pourquoi l"énergie de point zéro d"un neutron posera moins de problèmes que celle de l"électron.

12

8 - Systèmes quantiques

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