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Mécanique des milieux continus

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3.0 France

Table des matières

1

Mécanique des milieux continus• • • • • • • • • • • • • • • • • •1

1.1Lois de conservation1

1.1.1Lois de la physique1

1.1.2Étude d"une loi de conservation3

1.1.3Utilisation de la loi fondamentale6

1.2Puissances virtuelles7

1.2.1Théorème des puissances virtuelles7

1.2.2Principe des puissances virtuelles9

1.2.3Théorie du premier gradient11

1.3Thermodynamique des milieux continus12

1.3.1Conservation de l"énergie12

1.3.2Inégalité de Clausius-Duhem14

2Tenseur des contraintes• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •17

2.1Notions générales17

2.1.1Vecteur contrainte et tenseur des contraintes17

2.1.2Contraintes principales et invariants19

2.1.3États de contraintes particuliers20

2.2Représentations géométriques des contraintes22

2.2.1Quadriques des contraintes22

2.2.2Espace des contraintes principales23

2.3Représentation de Mohr25

2.3.1Tricercle de Mohr25

2.3.2Cercle de Mohr et pole26

3Étude des déformations• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •29

3.1Grandes déformations29

3.1.1Description de la déformation29

3.1.2Le tenseur des déformations30

3.2Petites déformations33

3.2.1Hypothèse des petites perturbations33

3.2.2Tenseur linéarisé des déformations34

3.2.3Dualité contraintes-déformations36

3.3Compatibilite des déformations38

3.3.1Calcul de la rotation38

3.3.2Calcul du déplacement39

i iiTABLE DES MATIÈRES

4Lois de comportement• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •43

4.1Problèmes de mécanique des solides43

4.1.1Formulations dynamiques et quasi-statiques43

4.1.2Conditions aux limites44

4.1.3Lois de comportement47

4.1.4Essais classiques49

4.2Comportement des solides50

4.2.1Diversité des comportements50

4.2.2Modèles rhéologiques53

5Élasticité linéaire• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •57

5.1Description du comportement élastique57

5.1.1Tenseur d"élasticité57

5.1.2Isotropie et anisotropie59

5.1.3Élasticité anisotrope60

5.2Élasticité linéaire isotrope62

5.2.1Coéfficients d"élasticité62

5.2.2Découplage déviateur et partie sphérique64

5.3Critère de limite d"élasticité65

5.3.1Forme générale du critère65

5.3.2Critères de Von Mises et Tresca67

6Élasticité classique• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •71

6.1Équations de l"élasticité71

6.1.1Problèmes reguliers71

6.1.2Theorème d"unicité en dynamique73

6.1.3Équations de Navier74

6.1.4Équations de Beltrami75

6.2Problèmes simples76

6.2.1Déformation d"un bloc pesant76

6.2.2Réservoir sphérique sous pression78

7Problème de Saint-Venant• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •81

7.1Traction et flexion pure81

7.1.1Principe de Saint-Venant81

7.1.2Répartition des contraintes normales84

7.1.3Flexion pure85

7.2Torsion87

7.2.1Section circulaire ou annulaire87

7.2.2Théorie générale90

7.2.3Calcul du déplacehent92

7.2.4Sections particulières94

7.3Flexion composée96

7.3.1Champ de contraintes96

7.3.2Calcul des efforts appliqués99

7.3.3Section circulaire101

8Problèmes plans en élasticité• • • • • • • • • • • • • • • • • • •103

8.1Élasticité plane103

8.1.1Déformations planes103

8.1.2Contraintes planes105

8.1.3Utilisation de la variable complexe106

TABLE DES MATIÈRESiii

8.2Exemples108

8.2.1Problème de Saint-Venant108

8.2.2Traction plane d"une plaque perforée110

9Méthodes variationnelles• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •113

9.1Théoremes variationnels113

9.1.1Notions fondamentales113

9.1.2Théorème de l"énergie potentielle115

9.1.3Théorème de l"énergie complémentaire117

9.1.4Application a la torsion119

9.2Théorèmes de l"énergie123

9.2.1Théorème de réciprocité123

9.2.2Théorème de Castigliano124

9.3Méthode des éléments finis125

9.3.1Principe125

9.3.2Application127

9.3.3Étude d"un élément128

9.3.4Assemblage130

10Plasticité classique• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •133

10.1Lois de comportement133

10.1.1Comportenent plastique133

10.1.2Plasticité parfaite135

10.1.3Potentiel plastique136

10.2Exemples138

10.2.1Flexion d"une poutre138

10.2.2Réservoir sphérique140

10.3Méthodes variationnelles141

10.3.1Problème en vitesses141

10.3.2Introduction à l"analyse limite143

11Thermoélasticité linéaire• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •147

11.1Lois de comportement147

11.1.1Théorie thermoélastique147

11.1.2Thermoélasticité classique149

11.2Problèmes de thermoélasticité150

11.2.1Problèmes aux limites150

11.2.2Exemple151

ANotations tensorielles• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •153

A.1Vecteurs et tenseurs153

A.1.1Notations indicielles153

A.1.2Changement de repère154

A.1.3Vecteurs154

A.1.4Applications linéaires155

A.1.5Formes bilinéaires155

A.1.6Tenseurs du second ordre156

A.1.7Tenseurs d"ordre superieur156

A.1.8Invariants157

A.2Permutations et déterminants158

A.2.1Symboles de permutation158

A.2.2Déterminant d"une matrice158

A.2.3Polynôme caractéristique159

A.2.4Adjoint d"un tenseur antisymétrique159

ivTABLE DES MATIÈRES

A.3Calcul vectoriel et analyse vectorielle160

A.3.1Calcul vectoriel160

A.3.2Analyse vectorielle160

A.3.3Transformations d"integrales161

A.4Coordonnées curvilignes162

A.4.1Coordonnées cylindriques162

A.4.2Coordonnées sphériques162

Chapitre 1

Mécanique des milieux continus

Les éléments de base de la mécanique des milieux continus

1, à savoir, la cinématique des

milieux continus, les variables lagrangiennes et eulériennes, les dérivées particulaires ainsi

que la description des efforts intérieurs et des contraintes, ont présentés dans le cours d"introduction à la MMC. Nous nous bornerons donc, dans ce chapitre, à les replacer dans un contexteMécanique des Solides. En particulier, nous ne donnerons pas le détail des démonstrations. Le lecteur pourra se référer aux traités classiques [

5-8,13,16,17,22-24].

1.1Lois de conservation

1.1.1Lois de la physique

En MMC, on appelleloi de conservation, la traduction mathématique des lois de la physique. Dans le cadre d"une schématisation donnée, ellessont donc universelles. Par exemple, dans le cas de la MMC classique objet de ce cours, il faut écrire pour tout domaine matérielD: - la loi de conservation de la masse; - la loi fondamentale de la dynamique qui se décompose en deuxparties : conservation de la quantité de mouvement et conservation du moment cinétique.

En introduisant la masse spécifique, c"est-à-dire la masse par unité de volumeρ, la loi de

conservation de la masse s"écrit : d dt??? D

ρdv= 0(1.1)

où d

dtest la dérivée " particulaire », c"est-à-dire la dérivée obtenue en suivant le domaine

Ddans son mouvement [7].

D∂D

#»n#» TM Pour écrire la loi fondamentale, il faut schématiser les efforts exercés sur le domaine D:

1. Dans la suite de ce document, il sera fait appel à ce domainesous la forme contractée usuelle MMC.

1

21. Mécanique des milieux continus

- les efforts à distance - la pesanteur par exemple - sont caractérisés par une densité volumique#»foù#»f=ρ#»g, par exemple, pour la pesanteur;

- les efforts de contact, c"est-à-dire les efforts exercés surDà travers la frontière∂D

deDseront caractérisés par une densité superficielle de force#»Ten vertu du :

Postulat de Cauchy

(a) Les efforts de contact exercés surDà travers∂Dsont schématisés par une densité

superficielle de force#»T; (b) Cette densité superficielle#»Tne dépend que du pointMconsidéré et du vecteur Malgré son apparence toute naturelle, ce postulat n"est pasle seul possible. On peut,

par exemple, considérer que ces efforts de contact sont schématisés par une densité superfi-

cielle de force#»Tet de moment# »M- on parle alors demilieux avec couples de contraintes, exemple embryonnaire de milieux avec microstructure dont nous reparlerons au para- graphe

1.2.2.

Moyennant ces schématisations, la loi fondamentale de la dynamique : " La dérivée par rapport au temps du torseur des quantités de mouvement d"un domaine matérielD quelconque est égale au torseur de tous les efforts extérieurs (à distance et de contact) appliqués àD» va se traduire par les deux lois de conservation : - de la quantité de mouvement d dt??? D

ρ#»Vdv=??

∂D#»Tds+???

D#»fdv(1.2)

- du moment cinétique (par rapport à 0 fixe) d dt??? D

ρ# »OM?#»Vdv=??

∂D# »OM?#»Tds+???

D# »OM?#»fdv(1.3)

De manière générale, une loi de conservation exprime un bilan : d dt??? D

Adv=??

∂D

αdS+???

D

Adv(1.4)

valable pour tout domaine matérielD: la variation d"une quantité (de densité volumique A) provient, d"une part, de la production interne de cette quantité (densité volumiqueA) et d"autre part, des échanges avec l"extérieur à travers∂D(densité surfaciqueα). Les trois lois de conservation qui nous intéressent (

1.1), (1.2) et (1.3) rentrent dans

ce cadre d"après le tableau suivant : où l"on a introduit les composantes des vecteurs qui

AαA

masseρ00 quantité de mouvementρViTifi moment cinétiqueρεijkxjVkεijkxjVkεijkxjkk interviennent dans les égalités (1.2) et (1.3)2. Nous verrons, au paragraphe1.3.1, que la loi de conservation de l"énergie rentre également dans ce cadre.

2. Le lecteur peut se rendre à l"annexeApour l"expression des produits vectoriels qui interviennent

dans ( 1.3).

1.1. Lois de conservation3

1.1.2Étude d"une loi de conservation

Pour utiliser la loi de conservation générale (1.4), il faut expliciter la dérivée particulaire

d"une intégrale de volume. Lemme 1.1 - Dérivée particulaire d"une intégrale de volume d dt??? D

Adv=???

D∂A∂tdS+??

∂D

A#»V·#»ndS(1.5)

Ce résultat classique concernant la dé-

rivée particulaire peut s"obtenir de diverses manières. L"idée essentielle est que la varia- tion de l"énergie provient de :

1. la variation de la quantitéA;

2. la variation du domaine d"intégration.

DID II D

III#»

Vdt

D(t+ dt)

D(t)θ

#»n

En posant :

J(t) =???

D(t)A(x,t)dv

on peut écrire :

J(t+ dt)-J(t) =???

D(t+dt)A(x,t+ dt)dv-???

D(t)A(x,t)dv

D

I[A(x,t+ dt)- A(x,t)]dv+???

D

IIA(x,t+ dt)dv-???

D

IIIA(x,t)dv

D∂A

∂t(x,t)dv?? dt+???? ∂D

A#»V·#»nds??

dt en remarquant que pour les domainesIIouIII, l"élément de volume dv(hachuré sur la figure ci-contre) est donné par : On trouvera des démonstrations plus détaillées et plus rigoureuses dans [

6-8,16] entre

autres. En utilisant le théorème de la divergence (Annexe

A) et la formule donnant la dérivée

particulaireA: dA dt=∂A∂t+A,iVi où l"on a utilisé la convention de sommation et la notationf,i=∂f/∂xi- voir Annexe A, on peut transformer (

1.5) en :

d dt??? D

Adv=???

D? ∂A∂t+ (AVi),i? dv=??? D? dAdt+Adiv#»V? dv(1.6)

41. Mécanique des milieux continus

Par une hypothèse analogue au Postulat de Cauchy, on supposeque la densité surfacique

αdépend uniquement du point considéré et de la normale#»n:α(M,#»n). Moyennant des

hypothèses de continuité que nous ne préciserons pas davantage, on montre alors :

Lemme 1.2

(a)α(M,-#»n) =-α(M,#»n) (b) En un point donnéM, il existe un flux#»a(M)tel que :

α(M,#»n) =ai(M)ni=#»a·#»n(1.7)

dS#»n n εLe point a) exprime simplement que ce qui rentre dansDest l"opposé de ce qui en sort. Lorsqueε→0, les seuls termes qui subsistent sont ceux relatifs aux deux faces, et (

1.4) donne le

point a). x1x 2 x 3M 0M1M 2 M 3- #»e1 #»e2- #»e3 nPour démontrer le point b), on écrit (

1.4) pour un domaineDen

forme de tétraèdreMOM1M2M3, la faceM1M2M3restant per- pendiculaire au vecteur#»ndonné. Lorsque les dimensions du té- traèdre tendent vers zéro, la fonctionα(M,#»n) reste à peu près constante en et ne dépend donc que de#»n.

De plus, seule subsiste dans (

1.4) l"intégrale de surface :

0 = M

1M2M3α(#»n)dS+??

M

0M1M2α(-#»e3)dS+??

M

0M1M3α(-#»e2)dS+??

M

0M2M3α(-#»e1)dS

Si on noteSla surface de la faceM1M2M3etS1,S2,S3celles deMOM2M3,MOM1M3, M

0M1M2respectivement, il vient :

0 =α(#»n)S+α(-#»e3)S3+α(-#»e2)S2+α(-#»e1)S1

soit, en utilisant a), en posantai=α(#»ei) et en remarquant queSi= cos(#»ei,#»n)S=niS:

α(#»n) =aini

Par utilisation de ces deux lemmes, on obtient la forme locale ou différentielle de la loi de conservation (

1.4) :

Théorème 1.1 - Forme locale de la loi de conservation dA dt=-AVi,i+ai,i+A(1.8)

Première démonstration.On utilise le théorème de la divergence pour transformer l"inté-

grale de surface dans (

1.4). Il vient :

D? dA dt+Ai,i-ai,i-A? dv= 0 Cette égalité devant avoir lieu pour tout domaineD, on en tire la nullité de la quantité intégrée.

1.1. Lois de conservation5

Deuxième démonstration.On écrit la loi de conservation (1.4) en choisissant comme do- maineDun petit parallélépipède de côtésh1,h2,h3. En utilisant le Lemme

1.1, on obtient

en première approximation : d dt??? D

Adv=???

D? dAdt+Adiv#»V? dv??dAdt+Adiv#»V? h 1h2h3 avec l"hypothèse

DAdv=Ah1h2h3.

x1 x 2x 3 h 1 h 2h 3 e1#» e2 e3- #»e1 #»e2

Pour l"intégrale de surface, on obtient :

∂D

αdS=??

∂D (a1n1+a2n2+a3n3)dS S

1···permutation circulaire

S

1[a1(x1+h1)-a1(x1)]dx1dx2+···

puisque #»n= (1,0,0) surS1(x1+h1) et#»n= (-1,0,0) surS1(x1). Finalement il vient : ∂D

αdS=?∂a1

∂x1h1? h

2h3+···=∂ai∂xih1h2h3

d"où le résultat. Cette forme locale suppose la continuité des différentes quantités en cause. En présence

d"une surface de discontinuité Σ se déplaçant à la vitesse#»V, on définit la vitesse relative

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