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B-Modéliser | Statique -2 | Principe Fondamental de la Statique : 02 Principe Fondamental de la Statique.doc- Page 1 sur 8 SII CPGE 1ère année - Créé le 05/03/2018 -

PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA STATIQUE

1- Référentiel Galiléen

Un référentiel Galiléen est l"association d"un repère d"espace et d"une échelle de temps. En SII, on

considère Galiléen : tout repère fixe (sans mouvement) par rapport à la Terre ; ou tout repère en mouvement de translation rectiligne (les trajectoires de ses points sont des segments de droite) uniforme (vitesse constante) par rapport à la Terre.

2- Milieu extérieur, milieu intérieur et action extérieure

Isoler un ensemble de n solides (avec n ³ 1 ) consiste à définir une frontière fictive, un milieu

intérieur (l"ensemble isolé noté E ) et un milieu extérieur (noté E).

Une action mécanique extérieure (AME) est une action mécanique ayant pour origine un élément i

du milieu extérieur (EiÎ) et pour cible un ou des éléments j du milieu intérieur ( j Î E)

Isolement

AM intérieure AE 32®AM, 322¾¾¾ ®¾moteurAM

AM extérieure 32®AM, 322¾¾¾ ®¾moteurAM, 3®ventAM 21®AM, 21¾¾ ®¾vérinAM, 2®pesAM, 3®ventAM

3- Principe fondamental de la statique - PFS

Si un ensemble de solides E est à l"équilibre par rapport à un référentiel Galiléen alors la somme des

torseurs des actions mécaniques du milieu extérieur sur E est nulle. Ainsi, si E est constitué de n solides indéformables : {}{}{}0==®Î®Î∑EE jEjEiTT ⇒⇒⇒⇒  "00

AptEEAEE

AptMR

Le principe fondamental de la statique est un cas particulier du principe fondamental de la dynamique

appliqué à un ensemble de solides en équilibre. L"équation torsorielle ci-dessus conduit donc à l"écriture de 2 équations vectorielles : Théorème de la résultante statique :

0=®EER

Théorème du moment statique au point A :

0,=®EEAM

Après avoir exprimé ces vecteurs dans une seule et unique base ),,(zyx, chacune de ces équations vectorielles donne 3 équations scalaires, soit 6 équations scalaires au total :

0.,0.0.,0.0.,0.

{3} {2+3} B-Modéliser | Statique -2 | Principe Fondamental de la Statique : 02 Principe Fondamental de la Statique.doc- Page 2 sur 8 SII CPGE 1ère année - Créé le 05/03/2018 -

4- Démarche pour une étude statique

Bien que chaque cas soit différent, on peut proposer la démarche ci-dessous.

4-1 Représenter et modéliser

dessiner le graphe d"analyse ; réaliser les figures de changement de base ; éventuellement, représenter des forces sur le schéma cinématique.

4-2 Élaborer une stratégie d"isolement (si les isolements ne sont pas donnés...)

Après avoir identifié les actions mécaniques connues et celles recherchées, le choix des ensembles

isolés diffère selon que l"étude porte sur la détermination : d"inconnues de liaisons ; de loi entrée-sortie en effort d"un mécanisme en chaîne ouverte ; de loi entrée-sortie en effort d"un mécanisme en chaîne fermée.

4-3 Appliquer le PFS, successivement, pour chaque isolement

indiquer l"ensemble isolé (on n"isole jamais le bâti) ;

faire l"inventaire (ou bilan) des actions mécaniques extérieures (BAME), en écrivant leur torseur,

et en tenant compte éventuellement de l"hypothèse de problème plan ;

utiliser sans démonstration les résultats concernant les solides soumis à deux glisseurs OU

appliquer le théorème du moment/de la résultante ;

exprimer, à l"aide de ou des équations obtenues, l"action mécanique recherchée en fonction

de l"action mécanique connue.

Rappel :

{}{}ijjiTT®®-=

L"application du PFS doit impérativement être accompagnée d"une rédaction complète et

précise.

Exemple :

isolons l"ensemble {2+3}. L"inventaire des actions mécaniques extérieures est : l"AM du vent sur 3 :

Î"®0.),(3

uFTv uAPpt vent l"AM de la pesanteur sur 2 :

Î"®0.

2 2 2 gmT gGPptpes

cet ensemble de solides est à l"équilibre. Il est soumis à deux actions mécaniques extérieures

modélisables par des glisseursà l"action dans la liaison glissière, à l"action du vérin.

L"application du PFS permet d"en déduire :...

OU

cet ensemble de solides est à l"équilibre. Appliquons le théorème de la résultante statique :

OU/ET

cet ensemble de solides est à l"équilibre. Appliquons le théorème du moment statique au point

O :

5- Déterminer les actions d"un mécanisme en chaîne ouverte à l"équilibre

5-1 Stratégie d"isolement

Pour qu"un mécanisme en chaîne ouverte soit contrôlé en position, vitesse et effort, un actionneur

est généralement placé en parallèle de chaque liaison. Il y a alors autant de chaînes

d"énergie/puissance que de degrés de liberté dans les liaisons du mécanisme. B-Modéliser | Statique -2 | Principe Fondamental de la Statique : 02 Principe Fondamental de la Statique.doc- Page 3 sur 8 SII CPGE 1ère année - Créé le 05/03/2018 -

Pour déterminer les actions fournies aux effecteurs de chaque chaîne d"énergie/puissance afin de la

maintenir en équilibre dans une position imposée, il faut : À partir du graphe d"analyse et du schéma cinématique :

1- isoler l"extrémité de la chaîne ouverte en conservant l"actionneur à dimensionner comme action

extérieure. Cela revient à choisir une frontière d"isolement qui coupe la liaison en parallèle de

l"actionneur à dimensionner ;

2- si le degré de liberté de la liaison en parallèle de l"actionneur à dimensionner est :

une translation à trajectoire rectiligne : appliquer le théorème de la résultante statique en

projection sur la direction de la translation, une rotation : appliquer le théorème du moment statique, en un point de l"axe de rotation, en projection sur la direction de l"axe.

Rappel : On n"isole jamais le bâti

Exemple de stratégie d"isolement : chaîne ouverte à 3 degrés de liberté Isolement de 3 Isolement de 2+3 Isolement de 1+2+3 Pour déterminer l"AM associée à Isolement Théorème Projection

Résultat

Théorème du

moment statique en A Sur 2z

Moteur 2

3

0.233,=®zMA

)(332,2®¾¾¾ ®¾=ventARfMmoteur

Théorème de la

résultante statique Sur 1x

Vérin

2+3

0.13232=+®+xR

),(2321®®¾¾ ®¾=pesventRRfRvérin

Théorème du

moment statique en O Sur 0x

Moteur 1

1+2+3

0.0321321,=++®++xMO

),(2310,1®®¾¾¾ ®¾=pesventORRfMmoteur B-Modéliser | Statique -2 | Principe Fondamental de la Statique : 02 Principe Fondamental de la Statique.doc- Page 4 sur 8 SII CPGE 1ère année - Créé le 05/03/2018 -

6- Déterminer les actions d"un mécanisme en chaîne fermée à l"équilibre

6-1 Solide soumis à 2 actions mécaniques modélisables par des forces (torseurs

glisseurs)

Si un solide S à l"équilibre, est soumis à deux actions mécaniques modélisées par des forces

(torseurs glisseurs) : ®0 1 1FT AS et { } ®0 2 2FT AS Le théorème de la résultante statique se traduit par 021
=+FF donc 21FF-= ⇒ Les résultantes sont opposées. Le théorème du moment statique en A se traduit par 02,1, =+®®SASAMM

22,2,FABMMSBSAÙ+=®®

02 =ÙFAB ⇒⇒⇒ les vecteurs

ABet 2F sont colinéaires.

Ainsi, si un solide S est en équilibre soumis à deux forces (torseurs glisseurs) alors : les résultantes sont opposées (même direction, même norme, sens contraire) ; les droites d"action sont identiques et passent par les points d"application.

Ces résultats permettent de réduire le nombre d"inconnues d"actions mécaniques de liaison : si l"on

note u le vecteur unitaire de la droite d"action AB , alors il ne subsiste qu"une seule inconnue, l"intensité des résultantes :

Î"®®0.),(21

uFTT uAptSS

Remarque

: les actions mécaniques transmissibles dans les liaisons sphériques, sphères cylindres et sphères plans sont modélisables par des forces (torseur glisseur).

Avec l"hypothèse de problème plan, (vue dans la suite du cours), d"autres liaisons pourront être

également modélisables par des forces...

Exemple : transmetteur bielle/manivelle

En négligeant l"action de la pesanteur, l"isolement de la bielle 2 conduit au bilan des actions mécaniques extérieures (BAME) suivant : - liaison sphérique parfaite : 0...

221221221

21zZyYxXT

B - liaison sphérique parfaite : 0...

223223223

23zZyYxXT

B La bielle 2 étant soumise à deux actions mécaniques modélisables par des torseurs glisseurs, on en déduit que :

Î"®®0.

212
2321
2 xXTT xBpt Cette réduction du nombre d"inconnues d"actions mécaniques de liaison facilite ensuite la détermination de la relation entre l"effort à fournir par le moteur sur 1 et les différentes sollicitations sur 3. B-Modéliser | Statique -2 | Principe Fondamental de la Statique : 02 Principe Fondamental de la Statique.doc- Page 5 sur 8 SII CPGE 1ère année - Créé le 05/03/2018 -

7- Stratégie d"isolement

Pour qu"un mécanisme en chaîne fermée soit contrôlé en position, vitesse et effort, un seul

actionneur est généralement suffisant. Il y a alors une seule chaîne d"énergie/puissance.

Pour déterminer l"action fournie à l"effecteur de cette chaîne d"énergie/puissance afin de la maintenir

en équilibre dans une position imposée, il faut : À partir du graphe d"analyse et du schéma cinématique :

1. identifier les solides ou ensembles de solides soumis à 2 glisseurs et utiliser, sans

démonstration, les résultats du cours afin de déterminer les directions des résultantes de ces

glisseurs et ainsi réduire le nombre d"inconnues d"actions mécaniques de liaison. Représenter ces résultantes sur le schéma cinématique ;

2. isoler, solide après solide, en partant d"un isolement qui fait intervenir l"action de l"actionneur

jusqu"à un isolement qui fait intervenir l"action mécanique " de sortie ».

Pour les solides soumis à 2 glisseurs, utiliser, sans démonstration, les résultats du cours.

Pour les autres isolements, si le degré de liberté de la liaison à supprimer est :

- une translation à trajectoire rectiligne : appliquer le théorème de la résultante statique en

projection sur la direction de la translation,

- une rotation : appliquer le théorème du moment statique, en un point de l"axe de rotation, en

projection sur la direction de l"axe.

Rappel : On n"isole jamais le bâti.

Exemple de de stratégie d"isolement : transmetteur bielle-manivelle Si l"objectif est de déterminer une relation entre l"effort F sur le piston 3 et le couple C

01 du moteur entre 0 et 1, la stratégie d"isolement est la

suivante :

Etape Isolement

Théorème Projection Résultat

1

2 PFS sur un solide soumis à 2 glisseurs

21®R et 23®R suivant (B, 2x)

2

1 Théorème du moment

statique en O Sur

0z )(1210,®¾¾¾ ®¾=RfMmoteurO

3

2 PFS sur un solide soumis à 2 glisseurs

21®R = - 23®R

4 3 Théorème de la

résultante statique Sur 0x ).(023xFfR=® B-Modéliser | Statique -2 | Principe Fondamental de la Statique : 02 Principe Fondamental de la Statique.doc- Page 6 sur 8 SII CPGE 1ère année - Créé le 05/03/2018 -

8- Hypothèse de problème plan

Modéliser les actions mécaniques dans le cas d"un problème plan On peut admettre que l"on est face à un problème dit plan si : la géométrie des liaisons du mécanisme présente un plan de symétrie ;

les actions mécaniques extérieures exercées sur ce mécanisme sont symétriques par rapport

à ce plan. C"est à dire que :

o les résultantes des forces extérieures sont parallèles au plan de symétrie ; o les moments des actions extérieures sont perpendiculaires au plan de symétrie. Dans ce cas, les composantes qui correspondent à des actions mécaniques susceptibles de fairequotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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