Cours dIntroduction au Calcul des Probabilités
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Table des matières
1 Espaces Probabilisés
11.1 Introduction
11.2 Événements
21.3 La probabilité comme fonction d"ensembles
51.4 Exemples
131.5 Remarques sur le choix d"un modèle
171.6 Exercices
192 Conditionnement et indépendance
292.1 Probabilités conditionnelles
292.1.1 Introduction
292.1.2 Propriétés
312.1.3 Quelques exemples
342.2 Indépendance
362.2.1 Indépendance de deux événements
362.2.2 Indépendance mutuelle
392.2.3 Épreuves répétées
402.3 Exercices
423 Variables aléatoires discrètes
513.1 Introduction
513.2 Généralités
523.2.1 Variable aléatoire discrète
523.2.2 Loi d"une variable aléatoire discrète
533.2.3 Fonction de répartition
543.3 Lois discrètes classiques
583.3.1 Lois de Bernoulli
583.3.2 Loi uniforme sur un ensemble fini de réels
583.3.3 Lois binomiales
583.3.4 Lois hypergéométriques
593.3.5 Lois géométriques
61i
3.3.6 Lois de Poisson. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.3.7 Sur le caractère universel de la loi de Poisson
703.4 Exercices
734 Vecteurs aléatoires discrets
834.1 Introduction
834.2 Vecteurs aléatoires
844.3 Variables aléatoires indépendantes
864.4 Exercices
905 Moments des v. a. discrètes
975.1 Espérance
975.2 Moments d"ordrer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .105
5.3 Variance
1075.4 Covariance
1135.5 Exercices
1186 Loi des grands nombres
1296.1 Deux modes de convergence
1296.2 Loi faible des grands nombres
1316.3 Estimation d"une proportion inconnue
1326.4 Convergence presque sûre des fréquences
1346.5 Discussion
1386.6 Exercices
1457 Approximation gaussienne
1517.1 La courbe en cloche
1517.2 Étude graphique
1557.3 Le théorème de De Moivre-Laplace
1597.4 Preuve du théorème de De Moivre-Laplace
1627.4.1 Évaluation asymptotique deb(k,n,p). . . . . . . . . .1 63
7.4.2 Sommes de Riemann
1687.5 Vitesse de convergence
1717.6 Exercices
1748 Variables aléatoires réelles
1818.1 Sortie du cadre discret
1818.2 Notion de variable aléatoire réelle
1858.3 Variables à densité
1888.3.1 Densité
1888.3.2 Moments des variables à densité
192ii
8.4 Lois à densité classiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
8.4.1 Lois uniformes
1938.4.2 Lois exponentielles
1958.4.3 Lois gaussiennes
1988.5 Exercices
201A Ensembles et dénombrements
205A.1 Généralités
205A.2 Ensembles finis
207iii iv
Introduction
Issu du cours de Probabilités en DEUG MASS et MIAS, ce document s"adresse à un public varié. Les étudiants de DEUG pourront y trouver une rédaction détaillée de toutes les questions abordées en cours. Quelques déve- loppements vont au-delà du strict programme et sont susceptibles d"intéresser des lecteurs curieux ou plus avancés. Les outils mathématiques utilisés restent néanmoins strictement dans le cadre du DEUG.Ce premier tome
1est consacré à ce que l"on appelle lesprobabilités dis-
crètes. Par rapport aux rudiments de calcul des probabilités enseignés au lycée, l"innovation est la prise en compte de l"infini. Cette notion s"introduit très naturellement en calcul des probabilités, par exemple dès qu"il s"agit de modéliser des temps d"attente. On ne peut pas étudier avec un espaceΩde cardinal fini une expérience aléatoire aussi simple que : " on lance un dé jusqu"à la première obtention d"un six ». Nous nous posons donc la question de la définition et de l"étude des probabilités sur desuniversΩinfinis. Il est possible au niveau du DEUG de faire une théorie assez rigoureuse si l"on veut bien faire l"impasse sur les problèmes de construction (ou d"existence) de tels espaces probabilisés infinis capables de modéliser correctement les expériences aléatoires envisagées. Le principal outil mathématique utilisé est celui desséries. Il permet une étude classique assez complète des variables aléatoires discrètes. Cette étude débouche sur deux grands théorèmes de convergence de la théorie des probabilités : la loi des grands nombres et la convergence vers une loi gaussi- enne qui sont discutés dans des cas simples dans les deux derniers chapitres. Nous avons choisi de donner autant que possible des démonstrations de ces théorèmes dans ces cas particuliers. Ces démonstrations sont instructives en elles-mêmes et peuvent être considérées comme une introduction au cours de Licence. Une autre particularité de ce document est la discussion sur les questions de vitesse de convergence à propos des approximations (par une loi de Poisson ou par une loi de Gauss). Trop souvent on trouve à ce sujet dansla littérature des recettes qui, données sans justification, ressemblent plus à1. Y en aura-t-il un deuxième?
v de la cuisine2qu"à des mathématiques.
Chaque chapitre contient une section d"exercices qui suit autant que pos- sible l"ordre d"exposition du cours3. Certains sont des applications directes
du cours ou des sujets d"examen ou de D.S., d"autres des approfondisse- ments. Leur niveau de difficulté n"a volontairement pas été indiqué a priori. De même, on ne trouvera pas dans cette introduction de plan de lecture détaillé pour chaque DEUG. De telles indications pourront être données en cours ou en TD, mais je n"ai pas souhaité cloisonner a priori une curiosité qui, pour un scientifique, est tout le contraire d"un vilain défaut... Je remercie tous les collègues qui m"ont aidé directement ou indirectement à rédiger ce polycopié et plus particulièrement MauriceChamontin, Sylvie Roellyet Marie-ClaudeVianoavec qui j"ai fait équipe en DEUG MASS et MIAS. Il va de soi qu"ils ne portent aucune responsabilité pour les quelques débordements auxquels j"ai pu me laisser aller ni pour les quelques fautes 4 que l"on ne manquera pas de trouver dans cette première édition5(septembre
1996).
Comme prévu ci-dessus, le deuxième tome n"a toujours pas été écrit et un certain nombre d"erreurs ont été détectées dans la première édition et corrigées dans la deuxième6(septembre 1997). Je remercie tous ceux qui m"en
ont signalé et plus particulièrement les étudiants de l"amphithéâtre de DEUG MASS 96-97 pour leur vigilance. Merci également à MichelLifshitspour ses précisions sur l"historique du théorème de De Moivre-Laplace, à Youri Davydovet MyriamFradonpour d"utiles discussions ainsi qu"à tous les chargés de TD de probabilités en DEUG MIAS pour leur participation active. Last but not least, merci à DanielFlipoqui avec patience et disponibilité m"a fait bénéficier de ses compétences d"expert dans le traitement de texte scientifique LATEX2ε.
Les troisième et quatrième éditions de ce polycopié (septembre 1998 et1999), ont bénéficié des amendements et corrections suggérés par Myriam
Fradon, JeanneDevolderet AnnePhilippe. C"est pour moi un plaisir de les en remercier ici. La cinquième édition (septembre 2000) de ce polycopié s"est enrichie(alourdie?) d"un chapitre sur les variables aléatoires réelles qui s"est sub-2. Il y a souvent de bonnes raisons cachées derrière une recette qui peut paraître arbi-
traire...3. Ces exercices ne se substituent pas aux séances de TD et à leurs fiches d"exercices
mieux adaptées à chacun des publics concernés.4. Dont le nombre suit une loi de Poisson.
5. Remerciements anticipés à tout lecteur qui m"aidera à réduire le paramètre de ladite
loi pour la prochaine édition.quotesdbs_dbs20.pdfusesText_26[PDF] It is worth pausing to consider how Shakespearean drama became canonical at all. The repertory of a public theater company in Shakespeare's England ma
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