[PDF] FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN (Chapitre 2/2)





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FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN (Chapitre 2/2)

Propriété : La fonction logarithme népérien est dérivable sur ]0 ; +?[ et (ln ) = . Croissance comparée des fonctions logarithme et puissances.



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  • Quel est l'intérêt de la transformation logarithmique ?

    Une transformation logarithmique permet souvent de retrouver une distribution normale et homoscédastique (Cf. Pharmacopée Européenne, chapitre 5.3 Statistical analysis of results of biological assays and tests).

  • Pourquoi on utilise le log pour l Econometrie ?

    La spécification en log se justifie en particulier si vous cherchez à estimer une élasticité, mais également si la distribution de votre variable dépendante (conditionnellement à vos régresseurs) est très asymétrique ou hétéroscédastique.

  • Comment passer logarithmique ?

    Voici les étapes à suivre pour résoudre une équation logarithmique à une variable.

    1Calculer les restrictions.2Réduire l'expression à l'aide des lois des logarithmes, au besoin.3Passer à la forme exponentielle.4Résoudre l'équation.5Valider la ou les solution(s).6Donner la solution.
  • Un logarithme est un exposant dont il faut affecter un autre nombre appelé base du logarithme pour obtenir un nombre donné (argument). On se pose la question «quel exposant faut-il attribuer à la base c pour obtenir le nombre m ?». C'est ce à quoi correspond le logarithme.
1

FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN

- Chapitre 2/2 Tout le cours en vidéo : https://youtu.be/VJns0RfVWGg Partie 1 : Étude de la fonction logarithme népérien

1) Continuité et dérivabilité

Vidéo https://youtu.be/3KLX-ScJmcI

Propriété : La fonction logarithme népérien est continue sur

0;+∞

Propriété : La fonction logarithme népérien est dérivable sur

0;+∞

et ln()

Démonstration au programme :

Vidéo https://youtu.be/wmysrEq4XIg

Rappel : /

En posant :

=ln(), on a : / =(ln())′

Or /

=1.

Donc : (ln())′

=1

Soit : (ln())′=

Méthode : Calculer une dérivée contenant des logarithmes

Vidéo https://youtu.be/yiQ4Z5FdFQ8

Dériver la fonction définie sur

0;+∞

par : ln() 2

Correction

ln()

Avec :

ln() =2× 1

×ln()

=1 2×

×ln()×-

ln() ×1

2ln()-

ln() ln()×(2-ln 2

2) Variations

Propriété : La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur

0;+∞

Démonstration :

Pour tout réel >0,

ln() >0

3) Convexité

Propriété : La fonction logarithme népérien est concave sur

0;+∞

Démonstration :

Pour tout réel >0,

ln() ln() Donc la fonction logarithme népérien est concave.

4) Limites aux bornes

Propriétés : lim

ln()=-∞ et lim ln()=+∞ On dresse le tableau de variations de la fonction logarithme népérien :

0 +∞

ln() ln()

5) Tangentes en 1 et en

Rappel : Une équation de la tangente à la courbe de au point d'abscisse est de la forme :

Dans le cas de la fonction logarithme népérien, l'équation est de la forme : 1 +ln(). Au point d'abscisse 1, l'équation de la tangente est = 1 1 -1 +ln(1) soit : =-1. Au point d'abscisse , l'équation de la tangente est = 1 +ln() soit : 1 3

6) Courbe représentative

Valeurs particulières : ln(1)=0, ln()=1

Partie 2 : Croissance comparée des fonctions logarithme et puissances

Propriétés (croissances comparées) :

a) lim ln() =0 et pour tout entier naturel non nul , lim ln() =0 b) lim ln()=0 et pour tout entier naturel , lim 0 ln()=0 Démonstration du b. dans les cas où =1 (au programme) :

Vidéo https://youtu.be/LxgQBYTaRaw

En posant =ln(), on a : =

1 Or, si tend vers 0, alors =ln() tend vers -∞.

Donc : lim

ln()=lim

1→2/

1 ×=0 par croissance comparée de la fonction exponentielle et des fonctions puissances. Remarque : Les fonctions puissances imposent leur limite devant la fonction logarithme népérien. 4 Méthode : Déterminer une limite par croissance comparée

Vidéo https://youtu.be/lA3W_j4p-c8

Vidéo https://youtu.be/OYcsChr8src

)lim -ln())lim ln() -1 )lim 1 +1)ln()

Correction

a) Il s'agit d'une forme indéterminée de type "".

Levons l'indétermination :

-ln()=1- ln() E

Par croissance comparée : lim

ln() =0,

Donc : lim

1- ln() =1.

Et donc, comme limite d'un produit : lim

F1- ln()

G=+∞

Soit : lim

-ln()=+∞. b) Il s'agit d'une forme indéterminée de type "".

Levons l'indétermination :

ln() -1 #2+ 1- H lim ln =0,parcroissancecomparée. lim 1- 1 =1

Donc, comme limite d'un quotient : lim

ln() 1- 1 0 1 =0

Soit : lim

ln() -1 =0. 1 +1)ln() 1 ln()+ln() R lim ln =0,parcroissancecomparée lim ln

Donc, comme limite d'une somme : lim

ln +ln()=-∞ Et donc, comme limite d'un quotient (inverse) : lim 1 2 ln()+ln() =0 5

Soit : lim

1 2 +1)ln() =0

Partie 3 : Études de fonctions

1) Cas de fonctions contenant la fonction ⟼ln()

Méthode : Étudier les variations d'une fonction contenant des logarithmes

Vidéo https://youtu.be/iT9C0BiOK4Y

a) Déterminer les variations de la fonction définie sur

0;+∞

par =3-+2ln() b) Étudier la convexité de la fonction .

Correction

=-1+ 2

2-

Comme >0,

est du signe de 2-. La dérivée ′ est donc positive sur 0;2 et négative sur

2;+∞

On dresse le tableau de variations :

2 =3-2+2ln(2)=1+2ln(2) -1×-

2-

×1 --2+ -2 <0 On en déduit que la fonction est concave sur

0;+∞

Méthode : Étudier la position relative de la courbe de la fonction logarithme et de la droite d'équation =

Vidéo https://youtu.be/0hQnOs_hcss

Étudier la position relative de la courbe de la fonction logarithme et de la droite d'équation

0 2 +∞

+ 0 -

1+2ln(2)

6

Correction

On considère la fonction définie sur

0;+∞

par =-ln(). =1- 1 -1

Comme >0,

est du signe de -1. La dérivée ′ est donc négative sur 0;1 et positive sur

1;+∞

On dresse ainsi le tableau de variations :

1 =1-ln(1)=1

On en déduit que pour tout de

0;+∞

, on a =-ln()≥1>0 soit >ln(). La fonction logarithme est située en dessous de la droite d'équation =.

2) Cas de fonctions contenant la fonction composée ⟼ln(

Fonction Dérivée

ln()

Démonstration :

On pose :

=ln(), donc : ln() 1

Donc :

ln( , selon la dérivée d'une fonction composée. 1 Méthode : Dériver des fonctions du type ln()

Vidéo https://youtu.be/-zrhBc9xdRs

Dériver la fonction définie sur

0;2 par =ln

2-

Correction

=ln

2-

=ln(

0 1 +∞

- 0 + 1 7

Avec :

=2- =2-2

2-2

2-

Méthode : Étudier une fonction du type ln()

Vidéo https://youtu.be/s9vyHsZoV-4

Vidéo https://youtu.be/3eI4-JRKYVo

Vidéo https://youtu.be/CyOC-E7MnUw

On considère la fonction définie sur

-2;1 par : =ln +2

1-

E a) Calculer les limites de aux bornes de son ensemble de définition et en déduire les

équations des asymptotes à la courbe.

b) Déterminer le sens de variations de la fonction . c) Tracer la courbe représentative de .

Correction

a) lim #→2* X lim #→2* +2=0 lim #→2*

1-=3

Donc, comme limite d'un quotient : lim

#→2* +2

1-

=0 Et donc, comme limite d'une fonction composée : lim #→2* ln +2

1-

E=-∞

En effet, si →-2, on a : =

+2

1-

→0 et donc : lim

1→-

ln()=-∞. lim R lim +2=3 lim

1-=0

,car<1

Donc, comme limite d'un quotient : lim

+2

1-

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